Электромагнитные волны. Уравнения Максвелла и волновое уравнение

Электромагнитное поле описывается уравнениями Максвелла:

В рассматриваемой среде (ε = const., μ = const., σ = 0, ρ = 0) эти уравнения можно переписать так:

(1)

(2)

(3)

(4)

Согласно уравнению (4)

Согласно уравнению (3)

Вычислим ротор от правой части уравнения (1).

где v – фазовая скорость распространения волны.

Полученное нами уравнение для напряжённости электрического поля совпадает волновым уравнением, если

Решениями волнового уравнения являются плоские волны вида

В данном случае в пространстве распространяются колебания напряжённости электрического поля.

Фазовая скорость распространения в пространстве таких колебаний:

Аналогично можно вывести волновое уравнение, рассматривая напряжённость магнитного поля. В рассматриваемой среде (ε = const., μ = const., σ = 0, ρ = 0):

(1)

(2)

(3)

(4)

Выполним преобразования, как и в предыдущем случае, воспользуемся уравнением (2) и получим:

- фазовая скорость волны.

- решение волнового уравнения, уравнение плоской волны.

Отметим, что решения одинаковы как для электрического поля, так и для магнитного. Колебания напряжённостей электрического и магнитного поле происходят одновременно и распространяются с одинаковой скоростью. Эти колебания совпадают по фазе.

Колебания напряжённостей электрического и магнитного полей, распространяющиеся в пространстве, называются электромагнитными волнами.

В некоторой среде, когда ε > 1 и μ > 1,

В оптике величина n называется показателем преломления.

Физический смысл показателя преломления - он показывает, во сколько раз скорость света (ЭМВ) в данной среде меньше, чем в вакууме.

2. Электромагнитная полна представляет собой колебания напряженностей электрического и магнитного полей, распространяющихся в пространстве.

3. Скорость распространения ЭМВ в вакууме

4. Скорость распространения ЭМВ в любой диэлектрической среде меньше, чем в вакууме:

n – показатель преломления среды.

n – показатель преломления среды.

Некоторые свойства ЭМВ мы уже отметили:

Ещё одним важнейшим свойством ЭМВ является её поперечность.

Здесь ω – циклическая (круговая) частота колебаний волны, k – волновое число.

Известно, что волновые поверхности плоской волны - плоскости. Если волна распространяется вдоль оси OX, то её волновые поверхности есть плоскости, параллельные плоскости YZ (перпендикулярные OX).

Каждая из волновых поверхностей характеризуется одним значением координаты X. Поэтому в пределах одной волновой поверхности в данный момент времени значения вектора напряжённости одинаковы. Это справедливо и для вектора E и для вектора H.

Значения всех трёх компонент вектора E и всех трёх компонент вектора H зависят только от координаты X и не зависят от координат Y и Z.

В направлениях, перпендикулярных направлению распространения волны, может существовать переменное электрическое поле. В направлении, параллельном направлению распространения волны, может существовать только стационарное электрическое поле.

Если колебания вектора напряжённости электрического поля в волне происходят в одной плоскости, волна называется линейно поляризованной.

Если плоскость, в которой происходят колебания вектора напряжённости электрического поля в волне вращается, волна называется поляризованной по кругу (по эллипсу).

В левой части этого уравнения

Рассмотрим уравнение, описывающее распространение ЭМВ:

В левой части этого уравнения

Решениями волнового уравнения являются плоские волны

(волна распространяется вдоль OX, векторы напряжённостей перпендикулярны)

Это соотношение должно выполняться в любой момент времени и в точке с любой координатой x.

а плотность энергии магнитного поля

(1)

(2)

Умножим уравнение (1) на вектор H скалярно, а уравнение (2) умножим скалярно на вектор E.

Итого, мы получили два уравнения:

Вычтем из второго уравнения первое:

- вектор Умова-Пойнтинга.

Чтобы равенство не нарушилось, вычислим интеграл по объёму V и в правой части:

Здесь Wэм - энергия электромагнитного поля в объёме V.

Итого, получилось:

Согласно определению,

Таким образом,

Эти векторы образуют правую тройку.

E и H лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, направление S совпадает с направлением распространения волны.

Плотность энергии магнитного поля

В любой момент времени

В некоторой среде

W – энергия, Ω - площадь, t – время.

Модуль плотности потока энергии (эта величина равна энергии, проходящей через единицу площади в единицу времени) равен модулю вектора Умова – Пойнтинга.