ГОУ средняя общеобразовательная школа № 80 с углубленным изучением английского языка Петроградского административного район

Август 30, 2022

Главная
Алгебра
ГОУ средняя общеобразовательная школа № 80 с углубленным изучением английского языка Петроградского административного район

Содержание

2. Введение в комбинаторику Разработка уроков для7класса. Работа выполнена учителем математики высшей категории Вашкевич Татьяной Сергеевной
3. Основная цель – развить комбинаторное мышление, сформировать умение организованного перебора упорядоченных и неупорядоченных комбинаций из двух
4. Планирование уроков Исторические комбинаторные задачи – 1 час Различные комбинации из трех элементов – 2 часа
5. Урок № 1. Тема урока: «Исторические комбинаторные задачи» В математике существует немало задач, в которых требуется
6. Фигурные числа В древности для облегчения вычислений часто использовали камешки. При этом особое внимание уделялось числу
7. Фигурные числа Квадратные числа: 1,4,16,25… 1 2*2=2 =4 3*3=3 =9 4*4=4 =16 5*5=5 =25 Nкв =
8. Фигурные числа Треугольные числа 1 1+2=3 1+2+3=5 1+2+3+4=10 1+2+3+4+5=15 Nтр = (n(n+1))/ 2
9. Фигурные числа Пятиугольные числа Nпят = n + 3(n(n-1)/2) 1 5 12 22
10. Фигурные числа Прямоугольные числа- составные числа, которые древние представляли в виде прямоугольников. Представления числа 12 выглядели
11. Фигурные числа Непрямоугольные числа – простые числа, которые древние представляли в виде линий. 3 7
12. Магические квадраты
13. Латинские квадраты Латинскими квадратами называют квадраты размером n x n клеток, в которых записаны натуральные числа
14. Задачи Посчитать число однобуквенных слов русского языка. Записать первые двенадцать квадратных чисел. Записать первые десять треугольных
15. Домашнее задание 1. Записать n- е по порядку кв. число, если: 1) n =20; 2) n
16. Задачи 1) Однобуквенных слов русского языка 11: а, б, в, ж, и, к, о, с, у,
17. Задачи 2) 1, 4, 9, 16,25, 36, 49, 64, 81, 100, 121
18. Задачи 3) 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55.
19. Уроки № 2-3 Тема урока: «Различные комбинации из трех элементов» Нередко в жизни бывают ситуации, когда
20. Задача № 1 Три друга – Антон, Борис и Виктор – приобрели два билета на футбольный
21. Сочетания Антон и Борис Антон и Виктор Борис и Виктор Ответ: 3 варианта.
22. Сочетания Вывод: В задаче были составлены всевозможные сочетания из трех элементов по два: пары элементов из
23. Размещения Задача № 2 Три друга – Антон, Борис и Виктор – приобрели два билета на
24. Размещения
25. Размещения Вывод: В задаче из трех элементов выбирались пары элементов и фиксировался их порядок расположения в
26. Перестановки Задача № 3 Антону, Борису и Виктору повезло, и они купили 3 билета на футбол
27. Перестановки
28. Перестановки Вывод: В задаче были составлены всевозможные перестановки из трех элементов – комбинации из трех элементов,
29. Устные задачи 1) Сколько подарочных наборов можно составить: а) из одного предмета; б) из двух предметов,
30. Задачи 1) Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2 и 3 при
31. Решение а) Способ составления трехзначных чисел из 3 различных цифр аналогичен способу записи троек букв в
32. Решение б) Перебор вариантов можно организовать следующим образом. Выпишем все числа, начинающиеся с цифры 1 в
33. Задачи §2 «Различные комбинации из трех элементов» На уроках решаются задачи №№ 3, 5, 7, 9,
34. Уроки № 4 – 5 Тема урока: «Таблица вариантов и правило произведения» Для решения комбинаторных задач
35. Таблица вариантов Задача №1. Записать всевозможные двузначные числа, используя пр этом цифры: 1) 1, 2 и
36. Для подсчета образующихся чисел составим таблицу: N = 3·3 = 9
37. Для подсчета образующихся чисел составим таблицу: N = 3·4=12
38. Таблица вариантов Задача № 2. Бросаются две игральные кости. Сколько различных пар очков может появиться на
39. С помощью составленной таблицы пар выпавших очков можно утверждать, что число всевозможных пар равно 6·6 =
40. Правило произведения. Для решения задач, аналогичных задачам 1 и 2, необязательно каждый раз составлять таблицу вариантов.
41. Правило произведения. Задача № 3. Катя и Оля приходят в магазин, где продают в любом количестве
42. Правило произведения. Задача № 3. (решение) Катя может купить плитку любого из трех видов шоколада (n=3).
43. Правило произведения. Задача № 4. Имеются три плитки шоколада различных видов. Катя и Оля по очереди
44. Правило произведения. Задача № 4. (решение) Допустим первой шоколадку выбирает Катя. У нее есть 3 возможности
45. Правило произведения. Задача № 5. Сколько существует различных двузначных кодов, составленных с помощью букв А, Б,
46. Правило произведения. Задача № 5. (решение) 1) Первой в коде может быть любая из данных букв
47. Правило произведения. Задача № 5. (решение) 2) Первой в коде может быть любая из пяти данных
48. Задачи §3 «Таблица вариантов и правило произведения» На уроках решаются задачи №№ 3, 5, 7, 9,
49. Урок № 6 Тема урока: «Подсчет вариантов с помощью графов» Перебрать и подсчитать всевозможные комбинации из
50. Подсчет вариантов с помощью графов Приведем примеры различных графов 1 2 4 3 A B C
51. Полный граф Задача № 1 Андрей, Борис, Виктор и Григорий играли в шахматы. Каждый сыграл с
52. Полный граф А Б В Г Из рисунка видно, что граф имеет 6 ребер, значит, и
53. Полный граф Задача № 2 Андрей, Борис, Виктор и Григорий после возвращения из спортивного лагеря подарили
54. Полный граф А Б В Г С помощью стрелок на ребрах полного графа с вершинами А,
55. Граф - дерево Задача № 3 Антон, Борис и Василий купили 3 билета на футбольный матч
56. Граф - дерево Способы 1 место 2 место 3 место Упорядоченные тройки А А А А
57. Граф - дерево Задача № 4 Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 0,
58. Варианты 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
59. Задачи § 4 «Подсчет вариантов с помощью графов» На уроках решаются задачи №№ 3, 5, 7,
60. Контрольная работа 1 вариант С помощью цифр 7, 8 и 9 записать всевозможные двузначные числа, в
62. Скачать презентацию

Слайд 2

Введение в комбинаторику
Разработка уроков для7класса.
Работа выполнена учителем математики высшей категории
Вашкевич Татьяной

Сергеевной

Слайд 3

Основная цель – развить комбинаторное мышление, сформировать умение организованного перебора

упорядоченных и неупорядоченных комбинаций из двух – трех элементов.
В данной теме интегрируются арифметические, начальные алгебраические и геометрические знания учащихся.
Рассматриваются исторические комбинаторные задачи, способы составления фигурных чисел, магических и латинских квадратов, выводится формула n – го треугольного числа.
В ходе организованного перебора различных комбинаций элементов двух множеств обосновывается правило произведения. С его помощью решаются простейшие комбинаторные задачи.

Слайд 4

Планирование уроков
Исторические комбинаторные задачи –
1 час
Различные комбинации из

трех элементов –
2 часа
Таблица вариантов и правило произведения-
2 часа
Подсчет вариантов с помощью графов –
1 час

Слайд 5

Урок № 1. Тема урока: «Исторические комбинаторные задачи»
В математике существует немало задач,

в которых требуется из имеющихся элементов составить различные наборы, подсчитать количество всевозможных комбинаций элементов, образованных по определенному правилу.
Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся решением этих задач, называется комбинаторикой.
С комбинаторными задачами люди столкнулись в глубокой древности. В Древнем Китае увлекались составлением магических квадратов. В Древней Греции занимались теорией фигурных чисел.
Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д. Комбинаторика становится наукой лишь в 18 в. – в период, когда возникла теория вероятности.

Слайд 6

Фигурные числа
В древности для облегчения вычислений часто использовали камешки.

При этом особое внимание уделялось числу камешков, которые можно было разложить в виде правильной фигуры.

Слайд 7

Фигурные числа
Квадратные числа: 1,4,16,25…
1
22=2 =4 33=3 =9 44=4 =16 55=5 =25
Nкв

= n²

Слайд 8

Фигурные числа
Треугольные числа
1 1+2=3 1+2+3=5 1+2+3+4=10 1+2+3+4+5=15
Nтр = (n(n+1))/

Слайд 9

Фигурные числа
Пятиугольные числа
Nпят = n + 3(n(n-1)/2)
1 5 12 22

Слайд 10

Фигурные числа
Прямоугольные числа- составные числа, которые древние представляли в виде прямоугольников.

Представления числа 12 выглядели так

Слайд 11

Фигурные числа
Непрямоугольные числа – простые числа, которые древние представляли в виде

линий.

Слайд 12

Магические квадраты

Слайд 13

Латинские квадраты
Латинскими квадратами называют квадраты размером n x n

клеток, в которых записаны натуральные числа от 1 до n, причем таким образом, что в каждой строке и в каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу.

Слайд 14

Задачи
Посчитать число однобуквенных слов русского языка.
Записать первые двенадцать квадратных чисел.
Записать первые

десять треугольных чисел.
Составить латинский квадрат.

Слайд 15

Домашнее задание
1. Записать n- е по порядку кв. число, если:
1)

n =20;
2) n =25 3) n =31;
2. Записать n- е по порядку треугольное число,
если: 1) n=20;
2) n=33; 3) n=34;
3. Изобразить в древних традициях всеми возможными
способами составное число: 1) 6; 2) 8; 3) 18;
4) 20;
4. Продолжить построение магического квадрата:

Слайд 16

Задачи

1) Однобуквенных слов русского языка 11:
а, б, в,

ж, и, к, о, с, у, э, я.

Слайд 17

Задачи
2) 1, 4, 9,
16,25, 36,
49, 64, 81,

100, 121

Слайд 18

Задачи
3) 1, 3, 6,
10, 15, 21,
28, 36,

45,
55.

Слайд 19

Уроки № 2-3 Тема урока: «Различные комбинации из трех элементов»
Нередко в

жизни бывают ситуации, когда задача имеет не одно, а несколько решений, которые нужно сравнить, а может быть, и выбрать наиболее подходящее для конкретной ситуации.

Слайд 20

Задача № 1
Три друга – Антон, Борис и Виктор –

приобрели два билета на футбольный матч. Сколько существует различных вариантов посещения футбольного матча для троих друзей?

Сочетания

Слайд 21

Сочетания
Антон и Борис
Антон и Виктор
Борис и Виктор
Ответ: 3 варианта.

Слайд 22

Сочетания
Вывод:
В задаче были составлены всевозможные сочетания из трех элементов по

два: пары элементов из имеющихся трех элементов. Пары отличались друг от друга только составом элементов, а порядок расположения элементов в паре не учитывался.

Слайд 23

Размещения

Задача № 2
Три друга – Антон, Борис и Виктор

– приобрели два билета на футбольный матч на 1-ое и 2-ое места первого ряда стадиона. Сколько у друзей есть вариантов (способов) занять эти два места на стадионе? Записать все эти варианты.

Слайд 24

Размещения

Слайд 25

Размещения
Вывод:
В задаче из трех элементов выбирались пары элементов и

фиксировался их порядок расположения в паре, т.е. все составленные пары отличались друг от друга либо составом элементов, либо их расположением в паре. В комбинаторике такие пары называют размещениями из трех элементов по два.

Слайд 26

Перестановки
Задача № 3
Антону, Борису и Виктору повезло, и они купили

3 билета на футбол на 1-ое, 2-ое и 3-е места первого ряда стадиона. Сколькими способами могут занять мальчики эти места?

Слайд 27

Перестановки

Слайд 28

Перестановки
Вывод:
В задаче были составлены всевозможные перестановки из трех элементов

– комбинации из трех элементов, отличающихся друг от друга порядком расположения в них элементов.

Слайд 29

Устные задачи
1) Сколько подарочных наборов можно составить:
а) из

одного предмета;
б) из двух предметов,
если в наличии имеются одна ваза и одна ветка сирени?
2) Сколькими способами Петя и Вова могут занять 2 места за одной двухместной партой?

Слайд 30

Задачи

1) Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр

1, 2 и 3 при условии, что цифры в числе:
а) должны быть различными;
б) могут повторяться?

Слайд 31

Решение
а) Способ составления трехзначных чисел из 3 различных цифр аналогичен способу

записи троек букв в задаче 3:
123, 213, 132, 312, 231, 321.
Получили 6 чисел.

Слайд 32

Решение
б) Перебор вариантов можно организовать следующим образом. Выпишем все числа, начинающиеся

с цифры 1 в порядке их возрастания; затем – начинающиеся с цифры 2; после чего – начинающиеся с цифры 3:
111 112 113 211 212 213 311 312 313
121 122 123 221 222 223 321 322 323
131 132 133 231 232 233 331 332 333
Получили 27 чисел.

Слайд 33

Задачи
§2 «Различные комбинации из трех элементов»
На уроках решаются задачи

№№ 3, 5, 7, 9, 11.
Домашнее задание
№№ 2, 4, 6, 8, 10.

Слайд 34

Уроки № 4 – 5 Тема урока: «Таблица вариантов и правило произведения»

Для решения комбинаторных задач существуют различные средства, исключающие возможность «потери» какой – либо комбинации элементов.
Для подсчета числа комбинаций из двух элементов таким средством является таблица вариантов.

Слайд 35

Таблица вариантов
Задача №1.
Записать всевозможные двузначные числа, используя пр

этом цифры:
1) 1, 2 и 3;
2) 0, 1, 2 и 3.
Подсчитать их количество N.

Слайд 36

Для подсчета образующихся чисел составим таблицу:

N = 3·3 = 9

Слайд 37

Для подсчета образующихся чисел составим таблицу:

N = 3·4=12

Слайд 38

Таблица вариантов
Задача № 2.
Бросаются две игральные кости. Сколько

различных пар очков может появиться на верхних гранях костей?

Слайд 39

С помощью составленной таблицы пар выпавших очков можно утверждать, что число

всевозможных пар равно 6·6 = 36

Слайд 40

Правило произведения.
Для решения задач, аналогичных задачам 1 и 2, необязательно

каждый раз составлять таблицу вариантов. Можно пользоваться правилом, которое получило в комбинаторике название «Правило произведения»:
если существует n вариантов выбора первого элемента и для каждого из них есть m вариантов выбора второго элемента, то всего существует n·m различных пар с выбранными первым и вторым элементами.

Слайд 41

Правило произведения.
Задача № 3.
Катя и Оля приходят в магазин, где

продают в любом количестве плитки шоколада трех видов. Каждая девочка покупает по одной плитке. Сколько существует способов покупки?

Слайд 42

Правило произведения.
Задача № 3. (решение)
Катя может купить плитку любого

из трех видов шоколада (n=3). Оля может поступить аналогично (m=3). Пару шоколадок для Кати и для Оли можно составить n·m=3·3=9 различными способами.
Ответ: 9 способов.

Слайд 43

Правило произведения.
Задача № 4.
Имеются три плитки шоколада различных видов. Катя

и Оля по очереди выбирают себе по одной плитке. Сколько существует различных способов выбора шоколадок для Кати и Оли?

Слайд 44

Правило произведения.
Задача № 4. (решение)
Допустим первой шоколадку выбирает Катя.

У нее есть 3 возможности выбора плитки (n=3). После этого Оля может выбрать одну из двух оставшихся плиток (m=2). Тогда способов выбрать пару шоколадок для Кати и для Оли существует n·m=3·2=6.
Ответ: 6 способов.

Слайд 45

Правило произведения.
Задача № 5.
Сколько существует различных двузначных кодов, составленных с

помощью букв А, Б, В, Г и Д, если буквы в коде:
1) могут повторяться;
2) должны быть различными?

А Б В Г Д

Слайд 46

Правило произведения.
Задача № 5. (решение)
1) Первой в коде может

быть любая из данных букв (n=5), а второй – также любая из пяти (m=5). Согласно правилу произведения число всевозможных букв (с возможным их повторением в паре) равно
n·m=5·5=25.

Слайд 47

Правило произведения.
Задача № 5. (решение)
2) Первой в коде может

быть любая из пяти данных букв (n=5), а второй – любая из четырех, отличных от первой (m=4). Согласно правилу произведения число двузначных кодов с различными буквами будет равно
n·m=5·4=20.
Ответ: 1) 25; 2) 20.

Слайд 48

Задачи
§3 «Таблица вариантов и правило произведения»
На уроках решаются задачи

№№ 3, 5, 7, 9, 11.
Домашнее задание
№№ 2, 4, 6, 8, 10, 12.

Слайд 49

Урок № 6 Тема урока: «Подсчет вариантов с помощью графов»
Перебрать и

подсчитать всевозможные комбинации из данных элементов несложно, когда их количество невелико. Однако, когда их количество больше, например, 20, то при переборе легко упустить какую-либо из них.
Нередко подсчет вариантов облегчают графы.
Графы – геометрические фигуры, состоящие из точек (их называют вершинами) и соединяющих их отрезков (называемых ребрами графа).

Слайд 50

Подсчет вариантов с помощью графов
Приведем примеры различных графов
1
2
4
3
A
B
C
D
E
Иван
Борис
Татьяна
Иван
Ольга
Сергей
Галина

Слайд 51

Полный граф
Задача № 1
Андрей, Борис, Виктор и Григорий играли

в шахматы. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий было сыграно?
Решим задачу с помощью полного графа.
Вершины – первые буквы имен мальчиков, а отрезки-ребра обозначают шахматные партии.

Слайд 52

Полный граф

А
Б
В
Г
Из рисунка видно, что граф имеет 6 ребер, значит,

и партий было сыграно 6.
Ответ: 6 партий.

Слайд 53

Полный граф
Задача № 2
Андрей, Борис, Виктор и Григорий после возвращения

из спортивного лагеря подарили на память друг другу свои фотографии. Причем каждый мальчик подарил каждому по одной фотографии. Сколько всего фотографий было подарено?

Слайд 54

Полный граф

А
Б
В
Г
С помощью стрелок на ребрах полного графа с

вершинами А, Б, В и Г показан процесс обмена фотографиями. Очевидно, что стрелок в 2 раза больше, чем ребер, т. е. 6·2=12. Столько же было подарено фотографий.
Ответ: 12 фотографий.

Слайд 55

Граф - дерево
Задача № 3
Антон, Борис и Василий купили 3 билета

на футбольный матч на 1, 2 и 3-е места первого ряда. Сколькими способами они могут занять имеющиеся три места?

Слайд 56

Граф - дерево

Способы
1 место
2 место
3 место
Упорядоченные тройки
А
А
А
А
А
Б
Б
Б
Б
Б
В
В
В
В
В
АБВ
АВБ
БАВ
БВА
ВАБ
ВБА
Ответ: 6 способов.

Слайд 57

Граф - дерево
Задача № 4
Сколько различных трехзначных чисел можно записать

с помощью цифр 0, 1, 2, если цифры в числе могут повторяться?
213 543 753 849 109 760
376 934 875 777 201

213 543 753 849 109 760 376 934 875 777

Слайд 58

Варианты
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
Образовавшееся число
100
101
102
110
111
112
120
121
122
200
201
202
210
211
212
220
221
222
Ответ: 18 чисел

Слайд 59

Задачи
§ 4 «Подсчет вариантов с помощью графов»
На уроках решаются

задачи
№№ 3, 5, 7, 9, 11.
Домашнее задание
№№ 2, 4, 6, 8, 10, 12.

Слайд 60

Контрольная работа
1 вариант
С помощью цифр 7, 8 и 9 записать

всевозможные двузначные числа, в которых цифры: а) должны быть разными; б) могут повторяться.
Анна, Белла и Вера купили билеты в кинотеатр на 1, 2 и 3-е места первого ряда. Перечислить все возможные способы, которыми девочки могут занять эти места.
У лесника три собаки: Астра, Вега и Гриф. На охоту лесник решил пойти с двумя собаками. Перечислить все варианты выбора лесником пары собак.

ГОУ средняя общеобразовательная школа № 80 с углубленным изучением английского языка Петроградского административного район

Содержание

Введение в комбинаторику Разработка уроков для7класса.Работа выполнена учителем математики высшей категорииВашкевич Татьяной

Основная цель – развить комбинаторное мышление, сформировать умение организованного перебора

Планирование уроковИсторические комбинаторные задачи – 1 часРазличные комбинации из

Урок № 1. Тема урока: «Исторические комбинаторные задачи»В математике существует немало задач,

Фигурные числа В древности для облегчения вычислений часто использовали камешки.

Фигурные числаКвадратные числа: 1,4,16,25…12*2=2 =4 3*3=3 =9 4*4=4 =16 5*5=5 =25Nкв

Фигурные числаТреугольные числа 1 1+2=3 1+2+3=5 1+2+3+4=10 1+2+3+4+5=15 Nтр = (n(n+1))/

Фигурные числаПятиугольные числаNпят = n + 3(n(n-1)/2)1 5 12 22

Фигурные числаПрямоугольные числа- составные числа, которые древние представляли в виде прямоугольников.

Фигурные числаНепрямоугольные числа – простые числа, которые древние представляли в виде

Магические квадраты

Латинские квадраты Латинскими квадратами называют квадраты размером n x n

ЗадачиПосчитать число однобуквенных слов русского языка.Записать первые двенадцать квадратных чисел.Записать первые

Домашнее задание1. Записать n- е по порядку кв. число, если: 1)

Задачи 1) Однобуквенных слов русского языка 11: а, б, в,

Задачи2) 1, 4, 9, 16,25, 36, 49, 64, 81,

Задачи3) 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36,

Уроки № 2-3 Тема урока: «Различные комбинации из трех элементов» Нередко в

Задача № 1Три друга – Антон, Борис и Виктор –

СочетанияАнтон и БорисАнтон и ВикторБорис и ВикторОтвет: 3 варианта.

СочетанияВывод: В задаче были составлены всевозможные сочетания из трех элементов по

Размещения Задача № 2 Три друга – Антон, Борис и Виктор

Размещения

Размещения Вывод: В задаче из трех элементов выбирались пары элементов и

ПерестановкиЗадача № 3 Антону, Борису и Виктору повезло, и они купили

Перестановки

Перестановки Вывод: В задаче были составлены всевозможные перестановки из трех элементов

Устные задачи 1) Сколько подарочных наборов можно составить: а) из

Задачи 1) Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр

Решениеа) Способ составления трехзначных чисел из 3 различных цифр аналогичен способу

Решениеб) Перебор вариантов можно организовать следующим образом. Выпишем все числа, начинающиеся

Задачи §2 «Различные комбинации из трех элементов» На уроках решаются задачи

Уроки № 4 – 5 Тема урока: «Таблица вариантов и правило произведения»

Таблица вариантов Задача №1. Записать всевозможные двузначные числа, используя пр

Для подсчета образующихся чисел составим таблицу: N = 3·3 = 9

Для подсчета образующихся чисел составим таблицу: N = 3·4=12

Таблица вариантов Задача № 2. Бросаются две игральные кости. Сколько