Квадратичная функция

Август 31, 2022

Главная
Алгебра
Квадратичная функция

Содержание

2. Квадратичная функция Определение График Свойства функции График и свойства функции у = ах2 Сдвиг графика у
3. Квадратичная функция Квадратичной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида y = ax2 + bx
4. График функции
5. График y = ax2 + bx + c, D = b2 – 4ac - дискриминант M(x0,y0)
6. Свойства функции 1. Нули функции: y=0 (пересечения с осью Ох) 2.Точки пересечения с осью Оy 3.Возрастание
7. Функция y=x2 Построим график функции y=x2
8. Функция y=ax2 Построим график функции y=2x2 а>0 а‹0 Построим график функции y=-2x2 у=-2х2 у 0 -2
9. График и свойства функции y=ax2 Графиком функции y=ax2, где a≠0, является парабола с вершиной в начале
10. Свойства квадратичной функции При При a>0 ветви параболы направлены вверх При При a у = ах²
11. Свойства у = ах2 при а > 0 y = x2 y = 2x2 y =
12. Свойства у = ах2 при а y = - x2 y = - 2x2 y =
13. Сдвиг графика функции y = ax2 вдоль осей координат 1. Чтобы построить график функции y =
14. Функция у = ах2 + g 1) g > 0 2) g Данный график получается смещением
15. Функция у = а(х – р)² 1) р > 0 2) р График получается смещением параболы
16. Способы построения графика квадратичной функции 1 СПОСОБ 2 СПОСОБ 3 СПОСОБ Пример №1 Пример №2 Пример
17. 1 СПОСОБ. Схема построения графика квадратичной функции y=ax2-bx+c: Построить вершину параболы. Провести через вершину параболы прямую,
18. 2 СПОСОБ. Построение параболы по точкам с ординатой, равной свободному члену квадратного трёхчлена ax2-bx+c.
19. 3 СПОСОБ. y=a(x-m)2 + n График функции y=a(x-m)2+n получается сдвигом графика функции y=ax2 на m единичных
20. Схема построения параболы: х у 1 2 -1 -1 1 2 3 0 3 у =
21. Пример №1 y = 3x2 + 12x + 9 Графиком функции является парабола , ветви параболы
22. Пример №2 y = ¼ x2 + 2x – 5 Графиком функции является парабола , ветви
23. Пример №3 Построим график функции y=x2-4x+5. 1) Найдём точки графика, имеющие ординату, равную 5. Для этого
24. Пример №4 Построим график функции y=2(x+1)2-3. Будем действовать следующим образом: 1)Построим параболу y=2x2; 2)Перенесем ее на
26. Скачать презентацию

Слайд 2

Квадратичная функция
Определение
График
Свойства функции
График и свойства функции у = ах2
Сдвиг графика у

= ах2
Способы построения параболы
Квадратичная функция в заданиях ГИА
Примеры и комментарии
Задания ГИА

Резюме

Слайд 3

Квадратичная функция
Квадратичной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида

y = ax2 + bx + c, где a, b и с - некоторые числа, причём а ≠ 0.

График любой квадратичной
функции – парабола.

Слайд 4

График функции

Слайд 5

График
y = ax2 + bx + c,
D = b2 –

4ac - дискриминант
M(x0,y0) – вершина параболы:
Уравнение параболы, проходящей через точку M:
y = a(x – x0)2 + y0
x1, x2 – корни параболы:
ax2 + bx + c = 0

Слайд 6

Свойства функции
1. Нули функции: y=0 (пересечения с осью Ох)
2.Точки пересечения

с осью Оy
3.Возрастание функции( если X2>X1, то f (X2)>f (X1)):
с возрастанием аргумента увеличивается значение функции.
Убывание функции( если X2>X1, то f (X2)с возрастанием аргумента уменьшается значение функции
- аргумент и функция связаны противоположными знаками.
4. Промежутки знакопостоянства : f (x) >0 и f (x)<0.
5. Непрерывность функции (разрыв - нельзя
провести график не отрываясь).
6. Наибольшее и наименьшее значение.

Слайд 7

Функция y=x2
Построим график функции y=x2

Слайд 8

Функция y=ax2
Построим график функции y=2x2
а>0
а‹0
Построим график функции y=-2x2
у=-2х2
у
0
-2
2
1
2
0
х
-2
2
1
2
у
у=2х2

Слайд 9

График и свойства функции y=ax2
Графиком функции y=ax2, где a≠0,
является парабола

с вершиной в
начале координат;
её осью симметрии служит ось y;
при при a>0при a>0 ветви параболы направлены вверх,
при при a<0 ветви вниз.

Слайд 10

Свойства квадратичной функции
При При a>0 ветви параболы направлены вверх
При

При a<0 ветви параболы направлены вниз

у = ах²

Слайд 11

Свойства у = ах2 при а > 0
y = x2
y =

2x2

y = 0,5x2

1. Д(у) = R
2. Е(у)= [0; +∞)
3. четная, т.к. у(-х) = у(х)
4. Возрастает
на промежутке [0; +∞)
5. Убывает
на промежутке (-∞; 0]
6. Наименьшее значение
равное 0 при х = 0

Слайд 12

Свойства у = ах2 при а < 0
y = -

y = - 2x2

y = - 0,5x2

1. Д(у) = R
2. Е(у)= (-∞; 0]
3. четная, т.к. у(-х) = у(х)
4. Возрастает
на промежутке (-∞; 0]
5. Убывает
на промежутке [0; +∞)
6. Наибольшее значение
равное 0 при х = 0

Слайд 13

Сдвиг графика функции y = ax2 вдоль осей координат
1. Чтобы построить

график функции y = ax2 + g + g , нужно перенести параболу y = ax2 вдоль оси на g единиц вверх, если g > 0, или на | g | единиц вниз, если g < 0. При этом вершина параболы окажется в точке (0; g).
2. Чтобы построить график функции y = a(x + p)2, нужно перенести параболу y = ax2 вдоль оси x на p единиц влево, если p > 0, или на | p | единиц вправо, если p < 0.При этом вершина параболы окажется в точке (- p ; 0).
3. Чтобы построить график функции y = a(x + p )2 + g, нужно перенести параболу y = ax2 вдоль оси x на p единиц влево, если p >0, или на | p | единиц вправо, если p < 0 и вдоль оси y на g единиц вверх, если g > 0, или на | g | единиц вниз, если g < 0. При этом вершина параболы окажется в точке (- p ; g ).

Слайд 14

Функция у = ах2 + g
1) g > 0 2) g

< 0

Данный график получается
смещением параболы у = ах² по оси Оу на g единиц вверх (если g > 0) или вниз (если g < 0)

Слайд 15

Функция у = а(х – р)²
1) р > 0 2) р

< 0

График получается
смещением параболы у = ах² по оси Ох на р единиц вправо (если р > 0) или влево (если р < 0)

Слайд 16

Способы построения графика квадратичной функции
1 СПОСОБ
2 СПОСОБ
3 СПОСОБ
Пример №1
Пример №2
Пример №4
Пример

№3

Схема

Пример №5

Слайд 17

1 СПОСОБ.
Схема построения графика квадратичной функции y=ax2-bx+c:
Построить вершину параболы.
Провести

через вершину параболы прямую,
параллельную оси ординат, - ось симметрии
параболы.
Найти нули функции, если они есть, и построить
на оси абсцисс соответствующие точки параболы.
Построить дополнительные точки.
Провести через построенные точки параболу.

Слайд 18

2 СПОСОБ.
Построение параболы по точкам с ординатой, равной свободному члену квадратного

трёхчлена ax2-bx+c.

Слайд 19

3 СПОСОБ.
y=a(x-m)2 + n
График функции y=a(x-m)2+n получается
сдвигом графика функции y=ax2

на m единичных отрезков по оси Ох и
на n единичных отрезков по оси Оу.

Слайд 20

Схема построения параболы:
х
у
1
2
-1
-1
1
2
3
0
3
у = х2 – 4х + 3
Найти координаты

вершины параболы: М(2;-1).

Провести ось симметрии: х = 2.

Найти нули функции при у = 0:
(1;0) и (3;0)

Найти дополнительные точки:
при х=0, у=3; при х=4, у=3.

Соединить полученные точки.

Слайд 21

Пример №1
y = 3x2 + 12x + 9
Графиком функции является

парабола , ветви параболы
направлены вверх , т.к. а = 3, a>0.
M(x0;y0)- вершина параболы
x0 = ; x0= -12 : 6 = -2
y0 = 3(-2)2+12(-2)+9 = -3. M(-2;3)
Прямая х = -2 – ось симметрии
Нули функции: y=0
3x2+12x+9 = 0
x2+4x+3 = 0
x1= -1 , x2= -3

-1

-3

-2

-3

x
2а

-b

Слайд 22

Пример №2
y = ¼ x2 + 2x – 5
Графиком функции

является парабола , ветви параболы
направлены вверх , т.к. а = ¼ , a>0.
M(x0;y0)- вершина параболы
x0 = ; x0= -2 : ½ = -4
y0 = ¼ (-4)2+2(-4)-5 = -9. M(-4;-9)
Прямая х = -4 – ось симметрии
Нули функции: y=0
¼ x2 + 2x – 5 = 0
x2 + 8x – 20 = 0
x1= -10 , x2= 2

-10

-1

-3

-4

-6

-9

-b
2а

Слайд 23

Пример №3
Построим график функции y=x2-4x+5.
1) Найдём точки графика, имеющие

ординату, равную 5. Для этого решаем уравнение x2 – 4x + 5 = 5. Получаем: х1 = 0, х2 = 4
2) Точки А (0; 5) и В (4; 5) лежат на параболе и имеют одинаковую ординату. Эти точки симметричны относительно оси симметрии параболы, поэтому ось симметрии проходит через середину отрезка АВ. Т.к. абсцисса точки А равна 0, а т. В равна четырём , то уравнение оси параболы х = 2.
3) Подставим значение х в уравнение. Получаем координаты вершины параболы: х0 = 2, у0 = 1.
4) Отмечаем на координатной плоскости т. С (2; 1), построим параболу, проходящую через три точки А, В, С.

у=х2-4х+5

Слайд 24

Пример №4
Построим график функции y=2(x+1)2-3.
Будем действовать следующим образом:
1)Построим параболу y=2x2;
2)Перенесем ее

на 1 единицу влево и на 3 единицы вниз –
в результате получится график заданной функции y=2(x+1)2 - 3 (см.рис)
Действия , которые мы выполнили для построения графика , можно описать такой схемой:

y=2x2

y=2(x+1)2

y=2(x+1)2 - 3

Влево на 1 ед.

Вниз на 3 ед.

Квадратичная функция

Содержание

Квадратичная функцияОпределениеГрафикСвойства функцииГрафик и свойства функции у = ах2Сдвиг графика у

Квадратичная функция Квадратичной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида

График функции

Графикy = ax2 + bx + c, D = b2 –

Свойства функции1. Нули функции: y=0 (пересечения с осью Ох)2.Точки пересечения

Функция y=x2Построим график функции y=x2

Функция y=ax2 Построим график функции y=2x2а>0а‹0 Построим график функции y=-2x2у=-2х2у0-22120х-2212уу=2х2

График и свойства функции y=ax2Графиком функции y=ax2, где a≠0, является парабола

Свойства квадратичной функции При При a>0 ветви параболы направлены вверхПри

Свойства у = ах2 при а > 0y = x2y =

Свойства у = ах2 при а < 0 y = -

Сдвиг графика функции y = ax2 вдоль осей координат1. Чтобы построить

Функция у = ах2 + g1) g > 0 2) g

Функция у = а(х – р)²1) р > 0 2) р

Способы построения графика квадратичной функции1 СПОСОБ2 СПОСОБ3 СПОСОБПример №1Пример №2Пример №4Пример

1 СПОСОБ.Схема построения графика квадратичной функции y=ax2-bx+c: Построить вершину параболы. Провести

2 СПОСОБ.Построение параболы по точкам с ординатой, равной свободному члену квадратного

3 СПОСОБ.y=a(x-m)2 + nГрафик функции y=a(x-m)2+n получается сдвигом графика функции y=ax2

Схема построения параболы: ху12-1-112303у = х2 – 4х + 3 Найти координаты

Пример №1y = 3x2 + 12x + 9 Графиком функции является

Пример №2y = ¼ x2 + 2x – 5 Графиком функции

Пример №3Построим график функции y=x2-4x+5. 1) Найдём точки графика, имеющие

Пример №4Построим график функции y=2(x+1)2-3.Будем действовать следующим образом:1)Построим параболу y=2x2;2)Перенесем ее

Похожие презентации