ЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ КЛВ

(точнее, теорий), выразительные средства (возможности) которых позволяют анализировать структуру контекстов (и посредством этого решать указанные выше основные задачи логических теорий), абстрагируясь от структуры простых высказываний, т.е. учитывая только логические связи простых высказываний между собой в составе сложных. Это теория сложных высказываний.

на принципах
* двузначности / бивалентности
(любое высказывание принимает одно и только одно значение из набора {истина, ложь})
* экстенсиональности
(значение сложного высказывания есть функция от значений составляющих его простых высказываний).

можно выделить другие высказывания как их собственные части.
Простые высказывания – такие высказывания, в составе которых нельзя выделить других высказываний (в качестве собственных частей).

Рассмотрим предложения
Катя и Маша – сестры (одноклассницы).
Катя и Маша – школьницы

простое

сложное

R (a,b)

а есть Р, и b есть Р

можно выделить другие высказывания как их собственные части.
Простые высказывания – такие высказывания, в составе которых нельзя выделить других высказываний (в качестве собственных частей).

Сложные высказывания образуются из простых с помощью логических союзов (и, или, если…то…, неверно, что… и т.д.), которые называются пропозициональными связками. Каждой такой связке соответствует свой тип сложных высказываний, свой принцип порождения значения сложного высказывания из значений его составных частей.

А

в значении «и»: «Если Петр Первый был настоящим лидером государства, то о Николае Втором этого не скажешь»)

А & В – утверждение одновременного наличия ситуаций А и В.

наличия
по крайней мере одной из двух ситуаций А, В.

наличия
ровно одной из двух ситуаций А, В.

есть…», «достаточное условие для… есть…»)

А ⊃ В – (фактически) утверждение невозможности отсутствия ситуации В при наличии ситуации А.
При этом высказывание А называется антецедентом, а высказывание В – консеквентом импликации. Импликация А ⊃ В равносильна выражению (┐А ∨ В), или выражению ┐(А & ┐В)

есть…», «достаточное условие для… есть…»)

«тогда и только тогда, когда», «необходимое и достаточное условие для… есть…»)

А ≡ В – фактически утверждение о совпадении значений истинности А и В.

– утверждение об одновременном отсутствии ситуаций А и В.

┐А & ┐В

┐(А ∨ В)

┐(А & ┐В)

┐А ∨ В

┐ (А ∨ В)

┐(А ≡ В)

или и то, и другое сразу»)

А ⎜ В – утверждение об отсутствии хотя бы одной из двух ситуаций А и В.

┐А ∨ ┐В

┐(А & В)

┐(А & ┐В)

┐А ∨ В

┐ (А ∨ В)

┐(А ≡ В)

q)) & ┐ ((┐ q ∨ p) ∨ (q ↓ (┐p & q)))

Пусть значение переменной р – «истина», переменной q – «ложь»

q)) & ┐ ((┐ q ∨ p) ∨ (q ↓ (┐p & q)))

Пусть значение переменной р – «истина», переменной q – «ложь»

q)) & ┐ ((┐ q ∨ p) ∨ (q ↓ (┐p & q)))

Пусть значение переменной р – «истина», переменной q – «ложь»

q)) & ┐ ((┐ q ∨ p) ∨ (q ↓ (┐p & q)))

Пусть значение переменной р – «истина», переменной q – «ложь»

q)) & ┐ ((┐ q ∨ p) ∨ (q ↓ (┐p & q)))

Пусть значение переменной р – «истина», переменной q – «ложь»

q)) & ┐ ((┐ q ∨ p) ∨ (q ↓ (┐p & q)))

Пусть значение переменной р – «истина», переменной q – «ложь»

q)) & ┐ ((┐ q ∨ p) ∨ (q ↓ (┐p & q)))

Пусть значение переменной р – «истина», переменной q – «ложь»

q)) & ┐ ((┐ q ∨ p) ∨ (q ↓ (┐p & q)))

Пусть значение переменной р – «истина», переменной q – «ложь»

q)) & ┐ ((┐ q ∨ p) ∨ (q ↓ (┐p & q)))

Пусть значение переменной р – «истина», переменной q – «ложь»

q)) & ┐ ((┐ q ∨ p) ∨ (q ↓ (┐p & q)))

Пусть значение переменной р – «истина», переменной q – «ложь»

q)) & ┐ ((┐ q ∨ p) ∨ (q ↓ (┐p & q)))

Пусть значение переменной р – «истина», переменной q – «ложь»

q)) & ┐ ((┐ q ∨ p) ∨ (q ↓ (┐p & q)))

Пусть значение переменной р – «истина», переменной q – «ложь»

q)) & ┐ ((┐ q ∨ p) ∨ (q ↓ (┐p & q)))

Пусть значение переменной р – «истина», переменной q – «ложь»

q)) & ┐ ((┐ q ∨ p) ∨ (q ↓ (┐p & q)))

Пусть значение переменной р – «истина», переменной q – «ложь»

q)) & ┐ ((┐ q ∨ p) ∨ (q ↓ (┐p & q)))

Пусть значение переменной р – «истина», переменной q – «ложь»

q)) & ┐ ((┐ q ∨ p) ∨ (q ↓ (┐p & q)))

Пусть значение переменной р – «истина», переменной q – «ложь»

q)) & ┐ ((┐ q ∨ p) ∨ (q ↓ (┐p & q)))

Пусть значение переменной р – «истина», переменной q – «ложь»

q)) & ┐ ((┐ q ∨ p) ∨ (q ↓ (┐p & q)))

Пусть значение переменной р – «истина», переменной q – «ложь»

q)) & ┐ ((┐ q ∨ p) ∨ (q ↓ (┐p & q)))

Пусть значение переменной р – «истина», переменной q – «ложь»

q)) & ┐ ((┐ q ∨ p) ∨ (q ↓ (┐p & q)))

Пусть значение переменной р – «истина», переменной q – «ложь»

q)) & ┐ ((┐ q ∨ p) ∨ (q ↓ (┐p & q)))

Пусть значение переменной р – «истина», переменной q – «ложь»

q)) & ┐ ((┐ q ∨ p) ∨ (q ↓ (┐p & q)))

Пусть значение переменной р – «истина», переменной q – «ложь»

q)) & ┐ ((┐ q ∨ p) ∨ (q ↓ (┐p & q)))

Пусть значение переменной р – «истина», переменной q – «ложь»

q)) & ┐ ((┐ q ∨ p) ∨ (q ↓ (┐p & q)))

Пусть значение переменной р – «истина», переменной q – «ложь»

q)) & ┐ ((┐ q ∨ p) ∨ (q ↓ (┐p & q)))

Пусть значение переменной р – «истина», переменной q – «ложь»

q)) & ┐ ((┐ q ∨ p) ∨ (q ↓ (┐p & q)))

Пусть значение переменной р – «истина», переменной q – «ложь»

q)) & ┐ ((┐ q ∨ p) ∨ (q ↓ (┐p & q)))

Пусть значение переменной р – «истина», переменной q – «ложь»

q)) & ┐ ((┐ q ∨ p) ∨ (q ↓ (┐p & q)))

Пусть значение переменной р – «истина», переменной q – «ложь»

q)) & ┐ ((┐ q ∨ p) ∨ (q ↓ (┐p & q)))

Пусть значение переменной р – «истина», переменной q – «ложь»

q)) & ┐ ((┐ q ∨ p) ∨ (q ↓ (┐p & q)))

Пусть значение переменной р – «истина», переменной q – «ложь»

q)) & ┐ ((┐ q ∨ p) ∨ (q ↓ (┐p & q)))

Пусть значение переменной р – «истина», переменной q – «ложь»

q)) & ┐ ((┐ q ∨ p) ∨ (q ↓ (┐p & q)))

Пусть значение переменной р – «истина», переменной q – «ложь»

q)) & ┐ ((┐ q ∨ p) ∨ (q ↓ (┐p & q)))

Пусть значение переменной р – «истина», переменной q – «ложь»

q)) & ┐ ((┐ q ∨ p) ∨ (q ↓ (┐p & q)))

Пусть значение переменной р – «истина», переменной q – «ложь»

q)) & ┐ ((┐ q ∨ p) ∨ (q ↓ (┐p & q)))

Пусть значение переменной р – «истина», переменной q – «ложь»

q)) & ┐ ((┐ q ∨ p) ∨ (q ↓ (┐p & q)))

Пусть значение переменной р – «истина», переменной q – «ложь»

q)) & ┐ ((┐ q ∨ p) ∨ (q ↓ (┐p & q)))

Пусть значение переменной р – «истина», переменной q – «ложь»

для высказывания
Если Смит не был убийцей, то Джонс лжет, а Браун не встречал Смита этой ночью

Смит был убийцей – p
Джонс лжет – q
Браун встречал Смита этой ночью – s

┐ р ⊃ ( q & ┐ s )

Число строк в таблице = 2n,
где n – число различных переменных

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

Каковы условия истинности?

)

Каковы условия истинности?

)

Каковы условия ложности?

)

Каковы условия ложности?

)

Каков тип этой формулы?

)

Каков тип этой формулы?

принимающая значение «истина» при всех возможных положениях вещей (для КЛВ – комбинациях значений пропозициональных переменных,
т.е. в каждой строчке таблицы).

Выполнимая формула – формула, принимающая значение «истина» хотя бы при одном возможном положении вещей…

Невыполнимая формула – формула, не принимающая значение «истина» ни при одном возможном положении вещей…

«ложь» при всех возможных положениях вещей…

Невыполнимая формула – формула, не принимающая значение «истина» ни при одном возможном положении вещей…

Очевидно, что для системы КЛВ множества невыполнимых и тождественно-ложных формул совпадают, ибо не быть истинным и быть ложным для этой теории суть одно и то же (в силу принципа бивалентности). Но в общем случае это совсем необязательно. Если формула (скажем, в логике Лукасевича) несколько раз ложна (принимает значение 0), а в остальных случаях неопределенна (1\2), она невыполнима, но не тождественно-ложна.

принимающая значение «истина» при всех возможных положениях вещей (для КЛВ – комбинациях значений пропозициональных переменных,
т.е. в каждой строчке таблицы).

Необщезначимая формула –
формула, не принимающая значение «истина» хотя бы при одном возможном положении вещей…

Таким образом, в рамках КЛВ множества невыполнимых и тождественно-ложных формул совпадают и составляют собственное подмножество необщезначимых, а общезначимые составляют собственное подмножество выполнимых.

и тождественно-ложных формул совпадают и составляют собственное подмножество необщезначимых, а общезначимые составляют собственное подмножество выполнимых.
Выполнимые
Невыполнимые =
Тождественно-ложные

Общезначимые

и тождественно-ложных формул совпадают и составляют собственное подмножество необщезначимых, а общезначимые составляют собственное подмножество выполнимых.
Выполнимые
Невыполнимые =
Тождественно-ложные

Общезначимые

Необщезначимые

и тождественно-ложных формул совпадают и составляют собственное подмножество необщезначимых, а общезначимые составляют собственное подмножество выполнимых.
Невыполнимые =
Тождественно-ложные

Просто выполнимые

Общезначимые

высказывания не могут быть одновременно истинными.

2. Закон исключенного третьего
А V ¬ А
Из двух противоречащих друг другу высказывания по крайней мере одно истинно.

высказывания равнозначно его утверждению.

4. Закон тождества
А ⊃ А
Если высказывание истинно, то оно истинно.

Директор школы возражает против отмены решения о запрете контроля над прическами (???)

отрицания суждения вытекает оно
само, то такое суждение заведомо истинно.

6. Закон Дунса Скота
А ⊃ (А ⊃ В)
Из заведомо ложного высказывания вытекает любое высказывание.

Если он – футболист, то я – китайский император (известно, что он даже никогда не держал в руках футбольного мяча)

∨ ¬ В)
Отрицание конъюнкции равнозначно дизъюнкции двух отрицаний.
(А ∨ В) ≡ (¬ А & ¬ В)
Отрицание дизъюнкции равнозначно конъюнкции двух отрицаний.

9. Закон контрапозиции
(А ⊃ В) ⊃ (¬ В ⊃ ¬ А)
Если из одного высказывания вытекает второе, то из отрицания второго вытекает отрицание первого – прямая контрапозиция (и наоборот – обратная).

С) ⊃ (А ⊃ С))
вариант: ((А ⊃ В) & (В ⊃ С)) ⊃ (А ⊃ С))
Если из одного высказывания вытекает второе, а из него – третье, то и из первого высказывания вытекает третье.

11. Закон отрицания импликации
¬(А ⊃ В) ≡ (А & ¬ В)

(¬ А V ¬ В) «конъюнкцию через дизъюнкцию»
(А & В) ≡ ¬ (А ⊃ ¬ В) «конъюнкцию через импликацию»
(А V В) ≡ ¬ (¬ А & ¬ В) «дизъюнкцию через конъюнкцию»
(А V В) ≡ (¬ А ⊃ В) «дизъюнкцию через импликацию (и отрицание)»
(А V В) ≡ ((А ⊃ В) ⊃ В) «дизъюнкцию только через импликацию»

(¬ А V В) «импликацию через дизъюнкцию»
7. (A ⊃ В) ≡ ¬ (А & ¬ В) «импликацию через конъюнкцию»
8. (A≡В) ≡ ((A⊃В) & (B ⊃A)) «эквиваленция по определению»
9. (А ∨ В) ≡ ((А & ¬ В) ∨ (В & ¬ А)) «строгая дизъюнкция по определению»
10. (А ↓ В) ≡ (¬А & ¬ В) «штрих Нико по определению»
11. (А ⎜В) ≡ (¬ А ∨ ¬ В) «штрих Шеффера по определению»

использовать при построении логики высказываний? Все возможные? Только те, для которых есть аналог среди союзов естественного языка? Только двухместные и отрицание? Что лежит в основании выбора нами того или иного набора связок?

Сколько существует различных двухместных функций истинности?

число возможных значений, 4 = 2 2, где основание степени – число возможных значений, показатель – число различных переменных (аргументов функции).

Сколько существует различных двухместных функций истинности?

Nf n = m (mn), где m – число возможных значений, n – число переменных (аргументов функции)

больше двух можно выразить формулами, включающими только двухместные связки и отрицание (их комбинацию, называемую суперпозицией). Например трехместную конъюнкцию
&3 (А,В,С) можно эквивалентным образом записать как
((А & В) & С). Существует специальная теорема, доказывающая подобную универсальную выразимость многоместных связок.

связок, с помощью которых можно выразить ВСЕ возможные связки вообще. Такие наборы называются
функционально полными наборами связок.
Поэтому в выборе используемого набора главное – убедиться, чтобы он был функционально полным.

& В

¬ А & ¬ В

¬ А ∨ ¬ В

¬ А ∨ В

Каноническим из таких наборов считается набор КДО (конъюнкция, дизъюнкция, отрицание). Остальные связки вводятся по определению (такие, как строгая дизъюнкция, импликация, эквиваленция, а также, если нужно, обратная импликация, антиимпликация, функции Нико и Шеффера и т.д.)

& В

¬ А & ¬ В

¬ А ∨ ¬ В

¬ А ∨ В

Из законов взаимовыразимостей связок очевидно, что набор КДО можно сократить до набора КО или ДО
(по законам де Моргана) или взять набор ИО
(импликация, отрицание с опорой на законы выразимости конъюнкции \ дизъюнкции через импликацию)

& В

¬ А & ¬ В

¬ А ∨ ¬ В

¬ А ∨ В

Однако это не очень удобно с практической точки зрения. Выражения приобретают слишком громоздкий вид. Поэтому набор КДО не сокращают, а расширяют до набора КДИСДЭО, как мы и сделали. Указанные связки имеют, кроме того, аналоги, часто употребляемые в естественном языке.

достаточно взять одну-единственную связку – штрих Шеффера или штрих Нико, чтобы получить функционально полную систему!!! Через них выразимы все связки набора КДО. Убедитесь в этом сами:
¬А ≡ (А ↓ А) ; ¬А ≡ (А ⎮ А)
(А & В) ≡ (А ↓ А) ↓ (В ↓В) ; (А & В) ≡ (А ⎮ В) ⎮ (А ⎮ В)
(А V В) ≡ (А ↓ В) ↓ (А ↓В); (А V В) ≡ (А ⎮ А) ⎮ (В ⎮ В)

¬}
{¬, ⊃} сокращ-е 3-го набора

5. {¬, & } сокращ-е 2-го набора
6. {¬, ∨} сокращ-е 1-го набора
7. {⎮}
8. {↓}

Итак, основные функционально полные наборы связок:

которые содержат импликативную посылку А ⊃ В. Другая посылка, а также заключение могут быть либо антецедентом (А), либо консеквентом (В) первой посылки, либо отрицанием того или другого (¬А или ¬В). К числу правильных условно-категорических умозаключений относятся:  
— modus ponens
(утверждающий способ)

А ⊃ В, А
В

А ⊃ В, ¬ В
¬ А

— modus tollens
(отрицающий способ).

В, А
В

А ⊃ В, ¬ В
¬ А

— modus tollens
(отрицающий способ).

Таким образом, правильными являются умозаключения
от утверждения антецедента (основания) (А) к утверждению консеквента (следствия) (В) и
от отрицания консеквента (следствия) (¬В) к отрицанию антецедента (основания) (¬А) .

В, А
В

А ⊃ В, ¬ В
¬ А

— modus tollens
(отрицающий способ).

Если число делится на 4,
оно делится на 2.
Число 12 делится на 4.
Значит, число 12 делится на 2.

Если бы шел дождь, асфальт был бы мокрым.
Но асфальт сухой.
Значит, дождя не было.

являются двухпосылочными, причем в них имеется дизъюнктивная посылка (А V В) или строго дизъюнктивная посылка (А V В). Другая же посылка и заключение совпадают с одним из дизъюнктов (А или В) или с его отрицанием (¬А или ¬В). К числу правильных разделительно-категорических умозаключений относятся:
— modus tollendo ponens
(отрицающе-
утверждающий способ)

А ∨ В, ¬ А
В

— modus ponendo tollens (утверждающе- отрицающий способ).

А ∨ В, ¬ В
А

А ∨ В, А
¬ В

А ∨ В, В
¬ А

ponens
(отрицающе-
утверждающий способ)

А ∨ В, ¬ А
В

— modus ponendo tollens (утверждающе- отрицающий способ).

А ∨ В, ¬ В
А

А ∨ В, А
¬ В

А ∨ В, В
¬ А

Таким образом, правильными являются умозаключения от отрицания одного из дизъюнктов к утверждению другого в обычной дизъюнкции и
от утверждения одного из дизъюнктов к отрицанию другого – в строгой.

ponens
(отрицающе-
утверждающий способ)

А ∨ В, ¬ А
В

— modus ponendo tollens (утверждающе- отрицающий способ).

А ∨ В, ¬ В
А

А ∨ В, А
¬ В

А ∨ В, В
¬ А

Этот человек заблуждается или сознательно вводит других в заблуждение.
Но он человек честный.
Значит, он сам заблуждается.

Сегодня вечером мы можем пойти в кино или в театр.
Мы решили пойти в кино.
Значит, в театре нас сегодня не будет.

содержат несколько импликативных и одну дизъюнктивную посылку. В дизъюнктивной посылке разделяются определенные варианты развития событий, каждый из которых имеет свое следствие. Рассмотрев и сравнив эти следствия, мы приходим к одному общему заключению. Если число рассматриваемых вариантов равно двум, такие умозаключения называются дилеммами. В простых дилеммах заключение представляет собой простое суждение, в сложных – разделительное. В конструктивных дилеммах заключение является утвердительным, в деструктивных – отрицательным.

⊃ С, В ⊃ С, А ∨ В
С

— простая конструктивная

— сложная деструктивная

— сложная конструктивная

— простая деструктивная

А ⊃ В, А ⊃ С, ¬ В ∨ ¬ С
¬ А

А ⊃ C, B ⊃ D, А ∨ B
C ∨ D

А ⊃ C, B ⊃ D, ¬ C ∨ ¬ D
¬ A ∨ ¬ B

⊃ С, В ⊃ С, А ∨ В
С

— простая конструктивная

— сложная конструктивная

А ⊃ C, B ⊃ D, А ∨ B
C ∨ D

Если в адмиралтействе есть мыши, то деньги на питание кота не нужны, поскольку он может питаться мышами. Если мышей нет, то деньги тоже не нужны, поскольку незачем тогда держать кота. Следовательно, деньги на кота не нужны.

Если сказать правду, обидится жена.
Если правды не говорить, обидится мать.
Следовательно, обидится жена или мать.

сложная деструктивная

— простая деструктивная

А ⊃ В, А ⊃ С, ¬ В ∨ ¬ С
¬ А

А ⊃ C, B ⊃ D, ¬ C ∨ ¬ D
¬ A ∨ ¬ B

Если верить всему тому, что о нем говорят, он богат.
Если верить всему тому, что о нем говорят, он честен.
Но люди не бывают одновременно честными и богатыми.
Значит, нельзя верить всему тому, что о нем говорят.

Если он не глухой, он должен меня слышать.
Если он не идиот, он должен понимать, о чем я говорю.
Он не понимает моих слов или вообще меня не слышит.
Следовательно, он идиот или глухой.

прямых
способов аргументации, при осуществлении которых мы переходили от одних высказываний к другим. Но существуют и более сложные, чем умозаключения, способы рассуждений. Рассмотрим непрямые способы аргументации.

А1, … Аn
В

А ⊃ В, В ⊃ С
А ⊃ С

А1, … Аn ╞ D
B1, … Bn ╞ D1
C1, … Cn ╞ D2
E1, … En ╞ F

Прямой способ рассуждения –
от нескольких высказываний
к одному высказыванию

Непрямой способ рассуждения –
от нескольких утверждений о
выводимостях к одному
утверждению о выводимости

А выведено В
Из Г выведено А ⊃В

[Г – некое множество аргументов (формул)]

2. Рассуждение от противного

Из Г и ¬А выведено ⊥
Из Г выведено А

выведено ¬А

4. Рассуждение разбором случаев

Из Г и А выведено С
Из Г и В выведено С
Из Г и А ∨ В выведено С

3. Рассуждение сведением к абсурду

А, В и С.
Перечислим следующие свойства этого устройства:
Механизмы А и В не могут работать одновременно.
Механизм С работает, когда работает механизм А.
Обязательно работает по крайней мере один из механизмов В или С.
Может ли существовать устройство со всеми тремя свойствами?
Может ли существовать устройство без всех этих свойств?
Есть ли «информативно излишнее» условие?

зависимости от соотношения тех значений (истина/ложь), которые формулы принимают при различных положениях вещей.
Будем считать, что между данными высказываниями существует то или иное логическое отношение, если и только если оно существует между формулами,
выражающими логическую форму этих высказываний.

ответить на один или несколько из следующих четырех вопросов:
Возможно ли такое положение вещей, при котором обе формулы принимают значение «истина»?
Возможно ли такое положение вещей, при котором обе формулы принимают значение «ложь»?
Возможно ли такое положение вещей, при котором формула А принимает значение «истина», а формула В – значение «ложь»?
Возможно ли такое положение вещей, при котором формула А принимает значение «ложь», а формула В – значение «истина»?

Рассмотрим установление и сущность логических отношений в случае с двумя формулами (высказываниями) А и В.

котором обе формулы принимают значение «истина»? 2. Возможно ли такое положение вещей, при котором обе формулы принимают значение «ложь»?
3. Возможно ли такое положение вещей, при котором формула А принимает значение «истина», а формула В – значение «ложь»? 4. Возможно ли такое положение вещей, при котором формула А принимает значение «ложь», а формула В – значение «истина»?

Пусть А – формула р & q (соответствующая высказыванию, например, «У меня есть брат и сестра»), В – формула р ٧ q («У меня есть брат или сестра»). Каковы будут ответы?

1. да

2. да

3. нет

4. да

комбинацией ответов на несколько вопросов

– (не) совместимость по истинности
2 – (не) совместимость по ложности
3 – логическое следование А╞ В
4 – логическое следование В╞ А

(не) совместимость по ложности

Формулы А1… Аn совместимы по истинности (ложности), если и только если существует хотя бы одна интерпретация параметров, входящих в состав этих формул (хотя бы одно положение вещей), при которой каждая из этих формул принимает значение «истина» («ложь»). В противном случае (когда такой интерпретации нет) они называются несовместимыми по истинности (ложности).

существует такой интерпретации параметров, входящих в состав X и Y (такого положения вещей), при которой (котором) формула X принимает значение «истина», а формула Y – значение «ложь».
 Вариант определения:
Х╞ Y, если и только если при всех таких интерпретациях параметров, входящих в состав X и Y (таких положениях вещей), когда формула Х принимает значение «истина», формула Y тоже принимает значение «истина».

3 – логическое следование А╞ В
4 – логическое следование В╞ А

существует такой интерпретации параметров, входящих в состав Х1...Хn и Y (такого положения вещей), при которой (котором) каждая из формул Х1...Хn приняла бы значение «истина», а формула Y – значение «ложь».
 Вариант определения:
Х1...Хn╞ Y, если и только если при всех таких интерпретациях параметров, входящих в состав Х1...Хn и Y (таких положениях вещей), когда формулы Х1...Хn одновременно принимают значение «истина», формула Y тоже принимает значение «истина».

3 – логическое следование А╞ В
4 – логическое следование В╞ А

подпротивоположность
4 – логическое подчинение
5 – логическая эквивалентность
6 – логическая независимость

ПРОИЗВОДНЫЕ

Устанавливаются комбинацией ответов на несколько вопросов

отношении противоречия (контрадикторности), если и только если они несовместимы ни по истинности, ни по ложности. 
Комбинация ответов: Нет – Нет – х – х (х означает, что уточнение для определения отношения несущественно).
2. Формулы А и В находятся в отношении противоположности (контрарности), если и только если они несовместимы по истинности, но совместимы по ложности.
Комбинация ответов: Нет – Да – х – х

1 – противоречие (контрадикторность)
2 – противоположность (контрарность)

Отношения несовместимости

отношении подпротивоположности (субконтрарности), если и только если они совместимы по истинности, но несовместимы по ложности. 
Комбинация ответов: Да – Нет – х – х
4. Формула Y подчиняется формуле Х, если и только если
Х╞ Y, но ┐(Y ╞ Х ). 
Комбинация ответов: х – х – Да – Нет (А подчиняется В), или х – х – Нет – Да (В подчиняется А)

3 – подпротивоположность
4 – логическое подчинение

Отношения совместимости

отношении логической эквивалентности, если и только если они логически следуют друг из друга.
Комбинация ответов: х – х – Нет – Нет
6. Формулы А и В находятся в отношении логической независимости, если и только если они совместимы по истинности, совместимы по ложности и логически не следуют друг из друга.
Комбинация ответов: Да – Да – Да – Да

5 – логическая эквивалентность
6 – логическая независимость

Отношения совместимости

– логическое подчинение
5 – логическая эквивалентность
6 – логическая независимость

Следует иметь в виду, что данные определения и вся эта классификация производных логических отношений применимы в случае, когда мы имеем дело с выполнимыми, но не общезначимыми формулами. Иначе, скажем, мы вынуждены были бы признать, что тождественно-истинная и тождественно ложная формула одновременно находятся в отношениях противоречия и подчинения (первой по отношению ко второй).

в каких логических отношениях находятся следующие высказывания:

Если Смит не был убийцей, то Джонс лжет, а Браун не встречал Смита этой ночью.
Если Смит был убийцей, а Джонс не лгал, то Браун и Смит встречались этой ночью.

Логические формы:

┐ р ⊃ ( q & ┐ s )
(р & ┐ q) ⊃ s

логически следует его заключение.

А1… Аn
В

является правильным ⇔ А1… Аn ╞ В

Таким образом, вопрос содержательного характера о правильности данного УЗ, состоящего из конкретных высказываний, сводится к вопросу формального характера о наличии отношения логического следования
между формулами, логическими формами этих высказываний.

мир сотворил злой гений, то злые люди могут быть счастливы.
Следовательно, если в мире есть справедливость, он не может быть творением злого гения.

Логическая форма умозаключения:

р ⊃ ┐ q
s ⊃ q
р ⊃ ┐ s

ТАБЛИЧНАЯ ПРОВЕРКА УЗ

а третья («заключение») ложна?

q ╞ р ⊃ ┐ s, поэтому умозаключение правильно

ложна, останется ли в столбике «заключения» хотя бы одна невычеркнутая ложь?

В нашем случае остались только 4 истины, поэтому следование имеет место, УЗ правильно.

&Аn) ⊃ В (запись ╞ Х означает, что формула Х является логическим законом)

у него лирическое настроение.
Холмс играет на скрипке, только когда у него лирическое настроение

Случай 1:
наличие у Холмса лирического настроения (всегда) ведет к тому, что он начинает играть на скрипке
(лирическое настроение – достаточное условие игры)
Случай 2:
Отсутствие у Холмса лирического настроения исключает его игру на скрипке
(лирическое настроение – необходимое условие игры)

без события А событие В не происходит.

Событие А называется
достаточным условием для события В,
если всегда, когда есть А, есть (затем) и В.

┐А ⊃ ┐В, или В ⊃ А
(необходимое условие ставится в консеквент)

Логическая форма высказываний о необходимом условии

Логическая форма высказываний о достаточном условии

А ⊃ В
(достаточное условие ставится в антецедент)

без события А событие В не происходит.

Событие А называется
достаточным условием для события В,
если всегда, когда есть А, есть затем и В.

┐А ⊃ ┐В, или В ⊃ А
(необходимое условие ставится в консеквент)

А ⊃ В
(достаточное условие ставится в антецедент)

Следовательно, если А достаточно для В,
то В необходимо для А, и наоборот.

условие ставится в консеквент)

А ⊃ В
(достаточное условие ставится в антецедент)

Необходимым условием для делимости числа на 4 является делимость его на 2.

р – число делится на 2,
q – число делится на 4

┐ р ⊃ ┐q, или q ⊃ р

Достаточным условием для делимости числа на 2 является делимость его на 4.

q ⊃ р

существует такой интерпретации параметров, входящих в состав Х1...Хn и Y (такого положения вещей), при которой (котором) каждая из формул Х1...Хn приняла бы значение «истина», а формула Y – значение «ложь».

Пусть множество формул Х1...Хn противоречиво, то есть формулы Х1...Хn несовместимы по истинности:
(Х1 &…& Хn) ≡ ⊥.
Тогда какое удивительное заключение можно сделать относительно них на основании этого определения?

Х1…Хn ╞ Y для ЛЮБОГО Y.

⊥ ╞ Y – из противоречия следует все, что угодно

существует такой интерпретации параметров, входящих в состав Х1...Хn и Y (такого положения вещей), при которой (котором) каждая из формул Х1...Хn приняла бы значение «истина», а формула Y – значение «ложь».

Х1…Хn ╞ Y для ЛЮБЫХ Х1…Хn .

⊥ ╞ Y – из противоречия следует все, что угодно

Двойственный случай
(если Y – тождественно-истинная формула, Y ≡ T):

Х ╞ Т – логический закон следует из чего угодно

все, что угодно

Х ╞ Т – логический закон следует из чего угодно

В чем же заключается «парадоксальность» этих утверждений? – В несоответствии их обыденной интерпретации логического следования (как предполагающей реальное обусловливание). Это противоречие между формальными свойствами следования в классической логике и тем интуитивным смыслом, который мы пытаемся вложить в это понятие следования.