Математическое описание сигналов, сообщений и помех

A cos( ⎯ t - ψ) = A cos(ω1t - ψ)
T

Рис. 4.2

Форм. 4.1

Форм. 4.2

4.2 Периодические сигналы

a0 ∞
s(t) = — + Σ (ancos nω1t + bnsin nω1t) = — + Σ Ancos(nω1t - ψn),
2 n=1 2 n=1

1 +∞ j(nω1t-ψ) 1 +∞. jnω1t
s(t) = — Σ (Ane ) = — Σ Ane
2 n=-∞ 2 -∞

Форм. 4.3

Форм. 4.4

Рис. 4.3

4.2 Периодические сигналы

⎯ = ⎯ ∫ s(t) dt,
T t1
2 t2
an = ⎯ ∫ s(t) cos nω1t dt,
T t1
2 t2
bn = ⎯ ∫ s(t) sin nω1t dt.
T t1

Форм. 4.5

Форм. 4.6

Форм. 4.7

Форм. 4.8

4.2 Периодические сигналы

= arctg ⎯
an

. .
An ⋅ A-n = (an – jbn)⋅ (an + jbn) = an2 + bn2 = An2

Форм. 4.9

Форм. 4.10

Форм. 4.11

Форм. 4.12

4.2 Периодические сигналы

4.14

Форм. 4.15

4.2 Периодические сигналы

2 E τи E
an = ⎯ ∫ E cos nω1t dt = ⎯ ⋅ ⎯ [sin nω1t]⏐ = ⎯ sin nω1τи
T 0 T nω1 0 πn

2 τи 2 E τи E
bn = ⎯ ∫ E sin nω1t dt = ⎯ ⋅ ⎯ [cos nω1t]⏐ = ⎯ (1-cos nω1τи)
T 0 T nω1 0 πn

Форм. 4.16

Форм. 4.17

Форм. 4.18

Рис. 4.5

4.3 Спектры некоторых периодических сигналов
4.3.1 Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

4.21

4.3 Спектры некоторых периодических сигналов
4.3.1 Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Спектры некоторых периодических сигналов
4.3.1 Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

An = ⎯ sin (nπ ⋅ ⎯ )
πn T

sin (nπ ⋅ τи/T) = nπ τи/T

2E nπτи 2τи
An ≈ ⎯ ⋅ ⎯⎯ = E ⎯
πn T T

Форм. 4.25

Форм. 4.26

Форм. 4.27

Рис. 4.6

Рис. 4.7

4.3 Спектры некоторых периодических сигналов
4.3.1 Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

1
e(t) = 2E (sin ω1t - ⎯ sin 2ω1t + ⎯ sin 3ω1t - ⎯sin 4ω1t +…)
2 3 4

Форм. 4.28

Рис. 4.8

Рис. 4.9

4.3 Спектры некоторых периодических сигналов
4.3.2 Последовательность пилообразных импульсов

s(t) = — + Σ (ancos nω1t + bnsin nω1t)
2 n=1

Форм. 4.29

Форм. 4.30

Форм. 4.31

Форм. 4.32

Форм. 4.33

4.4 Распределение мощности в спектре периодического сигнала

4.36

Рис. 4.9

4.5 Непериодические сигналы

- jωt
S(ω) = ∫ s(t)e dt
t1

. ∞ -jωt
S(ω) = ∫ s(t)e dt
-∞

1 ∞. jωt
s(t) = ⎯ ∫ S(ω) e dω
2π -∞

. . .
2S(ωn) = TAn = An/f1

Форм. 4.37

Форм. 4.38

Форм. 4.39

Форм. 4.43

4.5 Непериодические сигналы

Форм. 4.40

Форм. 4.41

Форм. 4.42

. Π .
S(ωn) = ⎯ An = ⎯ An
2 ω1

. 2π
S(0) = TA0 = ⎯ A0
ω1

. -jψ(ω)
S(ω) = A(ω) – jB(ω) = S(ω)e

∞
A(ω) = ∫ s(t) cos ωt dt,
-∞

∞
B(ω) = ∫ s(t) sin ωt dt
-∞

Форм. 4.44

Форм. 4.45

Форм. 4.46

Форм. 4.47

Форм. 4.48

4.5 Непериодические сигналы

______________
S(ω) = √ [A(ω)]2 + [B(ω)]2

B(ω)
ψ(ω) = arctg ⎯⎯
A(ω)

Форм. 4.49

Форм. 4.50

1 ∞
s(t) = ⎯ ∫ S(ω) cos (ωt-ψ) dω = ⎯ ∫ S(ω) cos (ωt-ψ) dω.
2π -∞ π 0

1 ∞ . jωt
e(t) = ⎯ ∫ E(ω) e dω
2π -∞

1 ∞ . . jωt 1 ∞ . jωt
u(t) = ⎯ ∫ E(ω) K(ω) e dω = ⎯ ∫ U(ω) e dω
2π -∞ 2π -∞

Форм. 4.51

Форм. 4.53

Форм. 4.54

4.5 Непериодические сигналы

Форм. 4.52

Форм. 4.55

Форм. 4.56

Форм. 4.57

- t0)

. -jωt0 t2 -jωτ -jωt0 .
S(ω) = e ∫ S1(τ) e dτ = e S1(ω).
t1

sвых(t) = K0 ⋅ s(t – t0)

dϕ
t0 = ⎯
dω

Форм. 4.58

Форм. 4.59

Форм. 4.60

Форм. 4.61

Форм. 4.62

Форм. 4.63

4.6 Свойства преобразования Фурье
4.6.1 Сдвиг сигналов во времени

преобразования Фурье
4.6.1 Сдвиг сигналов во времени

сообщений и помех. Фиг.19

4.6.2 Изменение масштаба времени

Рис. 4.11

.
s1(t)÷S1(ω), s2(t) = ⎯⎯ ÷ jωS1(ω) = S2(ω).
dt

1 .
S2(ω) = ⎯ ⋅ S1(ω)
jω

Форм. 4.67

Форм. 4.69

Форм. 4.70

4.6.3 Смещение спектра сигнала

4.6.4 Дифференцирование и интегрирование сигналов

∞ -jωt 1 jψ0 . -jψ0 .
∫ s(t) ⋅ cos(ω0t+ψ0) e dt = ⎯ [e S(ω-ω0) + e S(ω-ω0)],
-∞ 2

4.6.5 Сложение сигналов

s(t) = s1(t) + s2(t) +…

. . .
S(ω) = S1(ω) + S2(ω) +…

Форм. 4.71

Форм. 4.72

Форм. 4.73

Форм. 4.66

Форм. 4.68

f(t)÷F(ω); g(t)÷G(ω)

. 1 ∞. .
S(ω) = ⎯ ∫ G(x) F(ω - x) dx
2π -∞

∞
s(t) = ∫ f(y)g(t – y) dy =
-∞
∞ 1 ∞. . jωt
= ∫ f(t – y)g(y) dy = ⎯ ∫ F(ω)G(ω)e dω.
-∞ 2π -∞

Форм. 4.74

Форм. 4.75

Форм. 4.76

4.6.6 Произведение сигналов

1 при t>0 ⎫
⎬
s(t) = 0 при t≤0 ⎭

. 1 1 1 –jπ/2
S(ω) = lim ⎯⎯ = ⎯ = ⎯ e
α→0 c+jω jω ω

1 π
S(ω) = ⎯ , ψ(ω) = ⎯ .
ω 2

Форм. 4.77

Форм. 4.79

Форм. 4.80

Рис. 4.12

4.7 Спектры непериодических сигналов
4.7.1 Сигнал в виде единичного скачка

Форм. 4.78

в виде единичного скачка

S1(ω) = ⎯
jω

. . -jωτи A -jωτи
S2(ω) = S1(ω)e = ⎯ e
jω

. . . A -jωτи
S(ω) = S1(ω) – S2(ω) = ⎯ (1 – e )
jω

Форм. 4.81

Форм. 4.82

Форм. 4.83

Форм. 4.84

Рис. 4.14

4.7.2 Прямоугольный импульс

⎯⎯⎯ = 1
ω→0 ωτи/2

.
S(0) = Aτи

Форм. 4.85

Форм. 4.86

Рис. 4.15

4.7.2 Прямоугольный импульс

Прямоугольный импульс

x=0
δ(x) = ⎨
⎩0, при x≠0,

∞
∫δ(x)dx = площадь импульса = 1.
-∞

⎧∞, при x=x0
δ(x – x0) = ⎨
⎩0, при x≠x0,

∞
∫δ(x – x0)dx = 1
-∞

Форм. 4.88

Форм. 4.89

Форм. 4.90

Форм. 4.91

Рис. 4.17

4.7.3Бесконечно короткий импульс с единичной площадью (дельта-функция)

∫δ(x – x0) f(x)dx = f(x0) ∫δ(x – x0) dx = f(x0).
-∞ -∞

. ∞ -jωt -jωt0 ∞ -jωt0
S(ω) = ∫ δ(t – t0)e dt = e ∫δ(t – t0)dt = e
-∞ -∞

ϕ(ω) = -ωt0

1 ∞ jωt 1 ∞-jωt
δ(ω) = ⎯ ∫e dt = ⎯ ∫e dt
2π -∞ 2π -∞

Форм. 4.92

Форм. 4.93

Форм. 4.94

Форм. 4.95

4.7.3Бесконечно короткий импульс с единичной площадью (дельта-функция)

= ∫s2(t)dt
-∞

∞ 1ω1
∫ [sвых(t)]2dt = ⎯ ∫ [S(ω)]2dω,
-∞ π 0

Форм. 4.96

Форм. 4.97

Форм. 4.98

Форм. 4.99

4.7.4 Распределение энергии в спектре непериодического процесса

Равенство Парсеваля.

≈ ⎯
τ

Форм. 4.100

Рис. 4.18

Рис. 4.19

Рис. 4.20

4.7.4 Распределение энергии в спектре непериодического процесса

сигналы и их аналитическое описание
4.8.1 Одномерный закон распределения мгновенных значений случайной функции

t1) = lim ⎯
N→∞ N

X(t1)≤X

n
P(x, t1) ≈ ⎯
N

P[x p(x, t1) = lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Δx→0 Δx

P(x, t) = P(x), p(x, t) = p(x).

∞
P(∞) = ∫ p(x)dx = 1,
-∞

____
mx = X(t1) = M1[X(t1)]

∞
mx = M1[X(t1)] = ∫ xp(x, t1)dx.
-∞

_____
X2(t1) = M2[X(t1)]

∞
M2[X(t1)] = ∫ x2p(x, t1)dx.
-∞

____
X0(t1) = X(t1) – X(t1).

____
M[X(t1) – X(t1)] = 0.

M2[X0(t1)] = σ2[X(t1)]= σ2(t1)

∞
σ2(t1) = M2[X0(t1)] = ∫ x2p(x0, t1)dx,
-∞

____
p(x0, t1) = p[x – X(t1), t1].

M1[X] = M1[t]; M2[X] = M2[t]; M2[X0] = σ2(t)

Форм. 4.101

Форм. 4.102

Форм. 4.103

Форм. 4.104

Форм. 4.105

Форм. 4.106

Форм. 4.107

Форм. 4.108

Форм. 4.109

Форм. 4.110

Форм. 4.111

Форм. 4.112

Форм. 4.113

Форм. 4.114

Форм. 4.115

Форм. 4.116

4.8.1 Одномерный закон распределения мгновенных значений случайной функции

M[X(t1)X(t2)]

∞
Kx(t1, t2) = ∫x12 p(x1; t1)dx1 = M[X2(t)]
-∞

Форм. 4.117

Форм. 4.118

Форм. 4.119

Рис. 4.22

4.8.2 Многомерный закон распределения мгновенных значений случайной функции

M1

M1

Rx(t1, t2) = M{[X(t1) – X(t1)]⋅[X(t2) – X(t2)]}

∞ ∞ __ __
Rx(t1, t2) = ∫ ∫(x1 – X1)⋅(x2 – X2)p2(x1x2)dx1x2.
-∞ -∞

Rx(t1, t2) = Rx(t2, t1)

R(t1, t2)
ρx(t1, t2) = ⎯⎯⎯
σ(t1)σ(t2)

ρx(t1, t2) = 1

ρx(t1, t2) = α

Форм. 4.120

Форм. 4.121

Форм. 4.122

Форм. 4.123

Форм. 4.124

Форм. 4.125

4.8.2 Многомерный закон распределения мгновенных значений случайной функции

Стационарный процесс p(x1,x2,…,xn; t1,t2,…,tn) зависит только от интервалов t2-t1, …tn-t1 и не зависит от положения этих интервалов

Гауссовский случайный процесс

1/2

[ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ] = [мощность×время] = [энергия]
полоса частот

T/2 1 ∞ .
E = ∫ X2KT(t)dt = ⎯ ∫ ⏐XkT(ω)⏐2dω.
-T/2 2π -∞

.
⏐XkT(ω)⏐2
Wk(ω) = lim ⎯⎯⎯⎯
T→∞ T

.
⏐XT(ω)⏐2
Wx(ω) = lim ⎯⎯⎯
T→∞ T

Форм. 4.127

Форм. 4.128

Форм. 4.129

Форм. 4.130

Форм. 4.131

Форм. 4.132

4.8.4 Спектральная плотность мощности случайного процесса

Форм. 4.133