Нестационарная теплопроводность

– граничных условий в виде:

– значение соответствующей координаты.

Иногда начальные и граничные условия объединяются под названием «краевые условия».

Примем одинаковыми условия теплоотдачи во всех точках пластины. Тогда изменение температуры происходит только в направлении

Таким образом, задача может рассматриваться как одномерная.

К охлаждению плоской неограниченной пластины

Будем считать, что охлаждение пластины происходит в среде с постоянной температурой

(граничные условия второго рода). Начальное распределение температуры в пластине запишем в виде:

Введем обозначение

Уравнение теплопроводности примет вид:

при

при

Для решения уравнения теплопроводности используем метод разделения переменных Фурье, т.е. ищем решение в виде произведения двух функций, одна из которых является функцией только времени, а вторая – только координаты:

Тогда:

Или

Или

Или

Или

При

Принимая

Или

Или

И окончательно:

Тогда:

Полученное решение принадлежит дифференциальному уравнению теплопроводности при любых

Таким образом, частное решение

должно быть отброшено, как не удовлетворяющее заданным граничным условиям. Если обозначить

, тогда решение будет иметь вид:

Далее рассмотрим граничное условие при

Тогда

Умножая числитель и знаменатель на

, получаем:

Принимая во внимание, что

(число Био), и обозначая

Пересечение графиков этих функций дает значение корней характеристического уравнения

Из рисунка видно, что существует бесконечное множество решений, причем каждое последующее больше предыдущего и каждому значению

соответствует свой набор значений

Если

возрастает, то прямая

стремится к оси абсцисс; если

то прямая

совпадает с осью абсцисс. При

прямая

совпадает с осью ординат. Таким образом, любому значению

Несмотря на то, что полученные решения удовлетворяют, но ни одно не будет соответствовать действительному распределению температуры в начальный момент времени. Одновременно при наложении бесконечного числа таких распределений можно воспроизвести любую температурную зависимость в начальный момент времени. Иначе говоря, решение можно представить суммой бесконечного ряда:

Умножим (1) на

(1)

и проинтегрируем по

от

до

или

температура

, то:

Анализируя, видим, что

представляет собой ряд возрастающих чисел. Чем больше

Или, введя обозначение

Учитывая, что

то величина

является функцией только

и может быть определена для различных значений

.

Рассмотрим характер изменения температуры при заданных значениях

(рис.). Если

, то температура на поверхности пластины сразу становится равной температуре окружающей среды, т.е. когда

(рис.а), то на поверхности пластины

Количество теплоты, передаваемой пластиной за время от

до

равняется изменению ее внутренней энергии за период полного охлаждения до

-масса, удельная теплоемкость, плотность, площадь поперечного сечения пластины.