Определенный интеграл

Сентябрь 3, 2022

Главная
Алгебра
Определенный интеграл

Содержание

2. Рассмотрим некоторую непрерывную на конечном отрезке [a,b] функцию y=f(x). Разделим отрезок [a,b] на n частей (необязательно
4. Из точек деления восставим перпендикуляры к оси абсцисс до их пересечения с графиком функции в точках,
5. На каждом из отрезков [x0, x1], [x1, x2], [x2, x3], …, [xn-2, xn-1], [xn-1, xn] (эти
6. Составим сумму произведений значений функции y=f (x) в точках ci , где индекс i – номер
7. или, в сокращенной записи
8. где символ означает суммирование по индексу i , последовательно изменяющемуся от 1 до n включительно.
9. Сумма In называется интегральной суммой функции y=f(x) на отрезке [a,b].
10. Определение: Если существует конечный предел интегральной суммы функции y=f(x) на отрезке [a,b] при стремлении к 0
12. Процесс вычисления определенного интеграла называется интегрированием. Функция f(x) – подынтегральная функция, x – переменная интегрирования. Числа
13. Если функция f(x) непрерывна в замкнутом интервале [a,b], то ее n-ная интегральная сумма стремится к пределу
14. Основное отличие определенного интеграла от неопределенного: Неопределенный интеграл – это семейство первообразных функций; Определенный интеграл –
15. Определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, т.е. плоской фигуры, ограниченной сверху графиком непрерывной функции у= f(x)
18. 2. Свойства определенного интеграла
24. 3. Формула Ньютона-Лейбница
26. а) Метод разложения (непосредственного интегрирования) 4. Основные методы вычисления определенных интегралов.
27. б) Метод замены переменной (подстановки)
28. в) Метод интегрирования по частям
31. Скачать презентацию

Слайд 2

Рассмотрим некоторую непрерывную на конечном отрезке [a,b] функцию y=f(x).
Разделим отрезок [a,b]

на n частей (необязательно равных) и обозначим абсциссы точек деления A0, A1, A2, …, An-2, An-1, An в порядке возрастания следующим образом:
x0=a, x1, x2, x3, …, xn-2, xn-1, xn=b

1. Определенный интеграл. Теорема существования.

Слайд 3

Слайд 4

Из точек деления восставим перпендикуляры к оси абсцисс до их пересечения

с графиком функции в точках, соответственно:
B0, B1, B2, …, Bn-2, Bn-1, Bn

Слайд 5

На каждом из отрезков [x0, x1], [x1, x2], [x2, x3], …,

[xn-2, xn-1], [xn-1, xn] (эти отрезки в отличие от всего отрезка [a,b] называют частичными отрезками) выберем по одной точке (необязательно в центре отрезка), обозначив их, соответственно, с1, с2, с3, …, сn-2, сn-1, сn.
Из этих точек также восставим перпендикуляры к оси абсцисс до их пересечения с графиком функции.

Слайд 6

Составим сумму произведений значений функции y=f (x) в точках ci ,

где индекс i – номер частичного отрезка (1, 2, 3, …, n), на величины Δxi=xi-xi-1 соответствующих отрезков:

Слайд 7

или, в сокращенной записи

Слайд 8

где символ
означает суммирование по индексу i , последовательно изменяющемуся от 1

до n включительно.

Слайд 9

Сумма In называется интегральной суммой функции y=f(x) на отрезке [a,b].

Слайд 10

Определение: Если существует конечный предел интегральной суммы функции y=f(x) на отрезке

[a,b] при стремлении к 0 величины максимального из частичных отрезков, не зависящий от способа разделения данного отрезка на частичные отрезки и выбора на них точек ci , то такой предел называют определенным интегралом от этой функции на данном отрезке и обозначают следующим образом:

Слайд 11

Слайд 12

Процесс вычисления определенного интеграла называется интегрированием.
Функция f(x) – подынтегральная функция,
x –

переменная интегрирования.
Числа a и b (границы отрезка [a,b]) называют, соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования.

Слайд 13

Если функция f(x) непрерывна в замкнутом интервале [a,b], то ее n-ная

интегральная сумма стремится к пределу при стремлении к нулю наибольшего частичного интервала. Этот предел не зависит от способа разбиения интервала интегрирования на частичные интервалы и от выбора в них промежуточных точек.

Теорема существования определенного интеграла:

Слайд 14

Основное отличие определенного интеграла от неопределенного:
Неопределенный интеграл – это семейство первообразных

функций;
Определенный интеграл – число!

Слайд 15