Поверхности

l

Образующая

Направляющая

m

Поверхность - множество последовательных положений некоторой линии (образующей), перемещающейся в пространстве

Линия, которая при перемещении образует поверхность, называется образующей.
Линии, которые остаются неподвижными

Поверхности

Поверхность можно получить различными способами:

Совокупность геометрических условий, однозначно задающих поверхность называется

Классификация поверхностей

По виду образующей

По закону движения образующей

линейчатые

криволинейные

развертываемые

неразвертываемые

цилиндр

конус

пирамида

призма

Образующая плоская

Образующая пространственная

сфера

эллипсоид

тор

Образованы движением прямолинейной образующей

Образованы

КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

По виду образующей различают поверхности линейчатые и нелинейчатые.    Линейчатые поверхности -

ЗНАЧИТЕЛЬНЫЙ КЛАСС ПОВЕРХНОСТЕЙ ФОРМИРУЕТСЯ ДВИЖЕНИЕМ ОКРУЖНОСТИ ПОСТОЯННОГО ИЛИ ПЕРЕМЕННОГО РАДИУСА. ЭТО

ЕСЛИ ЖЕ ГРУППИРОВАТЬ ПОВЕРХНОСТИ ПО ЗАКОНУ ДВИЖЕНИЯ ОБРАЗУЮЩЕЙ ЛИНИИ И ПРОИЗВОДЯЩЕЙ

ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ – ЭТО ПОВЕРХНОСТИ СОЗДАННЫЕ ПРИ ВРАЩЕНИИ ОБРАЗУЮЩЕЙ

ТАК СОЗДАЕТСЯ КАРКАС ПОВЕРХНОСТИ, СОСТОЯЩЕЙ ИЗ МНОЖЕСТВА ОКРУЖНОСТЕЙ , ПЛОСКОСТИ КОТОРЫХ

СФЕРА – ОБРАЗУЕТСЯ ВРАЩЕНИЕМ ОКРУЖНОСТИ ВОКРУГ ЕЁ ДИАМЕТРА . ПРИ СЖАТИИ ИЛИ

ТОР – ОБРАЗУЕТСЯ ПРИ ВРАЩЕНИИ ОКРУЖНОСТИ ВОКРУГ ОСИ, НЕ ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ

ПАРАБОЛОИД ВРАЩЕНИЯ – ОБРАЗУЕТСЯ ПРИ ВРАЩЕНИИ ПАРАБОЛЫ ВОКРУГ СВОЕЙ ОСИ

ГИПЕРБОЛОИД ВРАЩЕНИЯ – РАЗЛИЧАЮТ ОДНО И ДВУХ ПОЛОСТНОЙ ГИПЕРБОЛОИДЫ ВРАЩЕНИЯ. ПЕРВЫЙ

ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Винтовые поверхности образуются винтовым движением некоторой линии – образующей.
Под винтовым

АЛГОРИТМИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ: 1. НА ОБРАЗУЮЩЕЙ M ВЫДЕЛЯЮТ РЯД ТОЧЕК А, В, С,

ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОСТЬЮ ПАРАЛЛЕЛИЗМА (ПОВЕРХНОСТИ КАТАЛАНА)

Поверхность с плоскостью параллелизма представляет собой

В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ФОРМЫ НАПРАВЛЯЮЩИХ ОБРАЗУЮТСЯ ТРИ ЧАСТНЫХ ВИДА ПОВЕРХНОСТЕЙ. ЦИЛИНДРОИД. ЦИЛИНДРОИДОМ

КОНОИД. КОНОИДОМ НАЗЫВАЕТСЯ ПОВЕРХНОСТЬ, ОБРАЗОВАННАЯ ДВИЖЕНИЕМ ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ ОБРАЗУЮЩЕЙ ПО ДВУМ НАПРАВЛЯЮЩИМ,

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМ ПАРАБОЛОИДОМ ИЛИ КОСОЙ ПЛОСКОСТЬЮ НАЗЫВАЕТСЯ ПОВЕРХНОСТЬ, ОБРАЗОВАННАЯ ДВИЖЕНИЕМ

Поверхности параллельного переноса

Поверхностью параллельного переноса называется поверхность, образованная поступательным плоскопараллельным перемещением

Цилиндрическая поверхность

ℓ

m

∆(m; ℓ ⎜⎜S)

S

//

//

Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой ℓ (образующей) по

i

m

ℓ

∆(i, ℓ∩m; ℓ∩i )

Коническая поверхность

Коническая поверхность – образуется движением прямой линии

Однополостный гиперболоид

Вогнутый тор (глобоид)

Поверхность, образованная внутренней стороной вращающейся дуги радиусом R, называется

R

R

А2 ≡(В2 )

А1

А

В1

A2

(A1)

Сфера

Выпуклый тор

R

R

А2

А1

R

В1

С2≡(D2)

(C1) ≡

(D1) ≡

≡(В2)

i2

Эллипсоид

Открытый тор (окружность m вращается вокруг оси i )

i2

i1

i3

m3

Закрытый тор

А2

А1

А

экватор

Закрытый кольцевой тор (самопересекающийся)

Гранные поверхности

Пирамидальная поверхность – это линейчатая поверхность, образованная перемещением прямой линии,

M1

А1

12

N1

S1

Гранные поверхности

Многогранником называют замкнутые пространственные фигуры, ограниченные плоскими многоугольниками.

S2

N2≡N21

M2

Грани - многоугольники

Многогранные поверхности – это поверхности, образованные частями (отсеками) пересекающихся плоскостей

Многогранником называется

Построение проекций многогранника сводится к построению проекций его вершин и ребер.

S

ℓ

m

S

m

Пирамидальная поверхность

S

m

Пирамида

m – замкнутый контур

Если направляющая m ломаная, а все образующие

m

S

ℓ

Призматическая поверхность

m

S

ℓ

Призма

Если все образующие поверхности параллельны – поверхность называется

Примеры многогранных поверхностей

ПРАВИЛЬНЫЙ ШЕСТИГРАННИК (КУБ) ИЛИ ГЕКСАЭДР - ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ, У

ПРАВИЛЬНЫЙ ВОСЬМИГРАННИК ИЛИ ОКТАЭДР - МНОГОГРАННИК, СОСТОЯЩИЙ ИЗ ВОСЬМИ ГРАНЕЙ -

ПРАВИЛЬНЫЙ ДВАДЦАТИГРАННИК ИЛИ ИКОСАЭДР СОСТОИТ ИЗ ДВАДЦАТИ ПРАВИЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ, СОЕДИНЕННЫХ ПО

Призматоид

Следует запомнить:
Проекции точек , принадлежащих поверхности геометрического тела, располагаются на линиях

Построение точки на поверхности многогранника:
в плоскости грани проводят прямую и

S

А1

С1

В1

S2

X1,2

S1

А2

С2

В2

Задача

Построить недостающую проекцию точки

N

N2

N1

Поверхности вращения

Поверхности

Поверхность задана на чертеже, если заданы проекции определителя

i2

i1

l2

l1

Для придания чертежу поверхности

Очерки проекций поверхностей

Линии, образующие внешний контур геометрического тела, называют О Ч Е

12

11

Цилиндрическая поверхность –поверхность, образованная вращением прямолинейной образующей вокруг оси.

Г ( l,

Определитель поверхности цилиндра

Определитель проверхности конуса

Определитель поверхности сферы

цилиндр

цилиндр

13

11

12

Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии, расположенной на этой поверхности

Линия

Линейчатые поверхности вращения

Коническая поверхность –поверхность, образованная вращением прямолинейной образующей вокруг пересекающейся

31

Образующая

ось

32

Σ ( l, i) [ l ∩ i] – коническая поверхность

Линейчатые

41

Образующая

ось

42

Σ ( l, i) [ l ∩ i] – коническая поверхность

Линейчатые

А2

А1

i2

S2

∆( i,ℓ, m, S; ℓ ∩ m; ℓ ∩ i =S)

ℓ2

S1

i1

ℓ1

(А2)

А1

i2

S2

m2

S1

i1

m1

Точка

СФЕРА

Комплексный чертеж сферы

Главный меридиан, параллельный П2

А2

А1

А3

Главный меридиан

В2

В3

Главный меридиан

C1

C2

Экватор

D1

D3

А1

параллель

Радиус параллели

Точка на поверхности сферы

А1

параллель

А3

Радиус параллели

Точка на поверхности сферы

Экватор

К1

Главный меридиан, параллельный П3

М3

М2

М1

Радиус окружности

Радиус окружности

***Построение комплексных чертежей начинают с тех плоскостей проекций, на которые их

Решение задач

Решение задач

Решение задач