«Производная и ее применение в алгебре, геометрии».

Если к линии y=f(x) в точке х имеется касательная, непараллельная Оу, то угловой коэффициент касательной равен значению производной f '(х), в точке х.

Если функция y=f(x) имеет определенную производную в точке х, то:
1) в этой точке имеется касательная к графику функции,
2) угловой коэффициент ее равен значению производной f '(x) в точке х.

укас =y(x0)+у’(x0)(x—x0); y’(x0) = 1/6 ∙ (-2x) = -x/3; т.к. укас проходит через M(4;3), то
3 = (9—x02) — (4—x0) ∙ x0/3
x02—8 x0—9 = 0;
Д/4 = 16 + 9 = 25; x0 = 9; x0 = -1
укас1 = - 12 - 3 ∙ ( x – 9) = -3x + 15
укас2 = 4/3 + 1/3 ∙ (x + 1) = 1/3x + 5/3
5 А
A(5;0); B(-5;0);
AM = 2√ 5 (ед.); М
AB = 10 (ед.); 3
BM = 4√5 (ед.);
4
р/2 = 3√5 +5
S = √ (3√5 +5) ∙ (√5 +5 ) ∙ (5 - √5 ) ∙ (3 √5 -5)
S = 20 ( кв.ед. ). В
Ответ: 20 кв.ед.

. 3.Наибольшие, наименьшие значения функций

Решение.
Проведем плоскость и построим сечение (рис.).
АО ∈ АA1C1С - линия, принадлежащая данной плоскости. Продолжим АО до пересечения с CC1 в точке S. Тогда SP - линия пересечения грани DD1C1C и данной плоскости, а сечение ANMP - параллелограмм. Sсеч = SAMNP = SK ∙AP/2 SK/2— высота параллелограмма ANMP.

dy=f '(x)∙∆x

(I)

при достаточно малом ∆x

∆y ≈ dy =f '(х)∆x

Это означает, что при малых изменениях аргумента (от начального значения х) величину изменения функции y=f(x) можно приближенно считать пропорциональной величине изменения аргумента с коэффициентом пропорциональности, равным значению производной f '(x);

f(x+∆x) ≈ f(x) + f '(x) ∙ f(x+∆x) ≈ f(x) + f '(x) ∙ ∆x

.
Вычисляем:

;

,

.
Имеем:

.

5.Доказательство неравенств.

Для отыскания наибольших и наименьших значений f на отрезке [a,b] достаточно сравнить между собой значения f в точках a, b и в критических точках из отрезка [a,b].

Эти результаты применимы при решении многих элементарных задач, связанных с неравенствами.