Теорема о существовании и гладкости обратной функции как частный случай теоремы о неявной функции.

(Геометрические интерпретации)
Частные производные
Дифференциал функции
Экономическая иллюстрация

области социальных наук или другой области знаний, то видим, что одни величины сохраняют свои значения, другие же принимают различные значения.
Переменная величина при выполнении некоторого комплекса условий может принимать различные значения.
Постоянная величина при выполнении некоторого комплекса условий сохраняет одно и то же значение.
Переменные величины обычно обозначаются последними бук­вами латинского алфавита (x.,y, z, u, v, w), а постоянные — первыми (а, b, с).

Изучая какое-нибудь явление, мы обычно имеем дело с сово­купностью переменных величии, которые связаны между собой так, что каждым значениям одних величин соответствуют значе­ния других. Термин «функция» происходит от латинского слова functio — исполнение, осуществление. Задать функцию — значит задать три объекта: 1) множество X, 2) множество У, 3) правило f.

Определение. Соответствие f, при котором каждому значению х из множества Х соответствует единственное значение у из множества У называется функцией, задан­ной на множестве Х и принимающей значения из множества У.

переменных х и у, если для каждой пары значений (х, у) из некоторой области D существует единственное значение z. Аналогично определяются функции трех и большего числа переменных. Под областью определения D функции z = f(x, у) понимается совокупность точек (х, у) плоскости ХОУ, в которых данная функция определена, т.е. для этих точек существует значение выражения z = f(x,y). Область определения функции представляет собой часть координатной плоскости ХОУ, ограниченную одной или несколькими кривыми. Эти кривые образуют границу области

у как неявную функцию х. Иными словами, функция у = у(х), заданная уравнением F(x,у) = 0, не разрешённым относительно у, называется неявной функцией; она становится явной, если зависимость у от х задается непосредственно.

су­ществует ровно одно значение у, которое совместно с х удовлетворяет уравнению F(x,у) = 0, то этим определяется функция у = у(х), для которой равенство F(x,у(х)) = 0 выполняется тождественно по х в указанном интервале.

Неявная функция

Пусть имеем уравнение:
F(x,у) = 0,
Где F(x,у) есть функция двух переменных, заданная в некоторой области G на плос­кости хОу. Если для каждого значения х из некоторого интервала

о неявной функции.

Теорема. Пусть функция F(u, x1, x2…) дифференцируема в некоторой окрестности точки Мo (uo, x1o, x2o) пространства R, (R’ обозначаем пространство переменных (х1, х2…) при­чем частная производная ∂F/∂u непрерывна в точке Mo. Для удобства геометрической иллюстрации будем рассматривать две переменные х1 и х2.
Тогда, если в точке Mo функция F обращается в нуль, а частная производная ∂F/∂u не обращается в нуль, то для любого достаточно малого по­ложительного числа ε найдется такая окрестность точки Mo'(x1o, x2o) пространства R, что в пределах этой окрестности су­ществует единственная функция u = ϕ(x1, х2), которая удовлетворяет условию |u-uo|<ε и является решением уравнения:
F(u, х1, x2)=0, (13)
 функция u = ϕ(х1, x2) непрерывна и дифференцируема в указанной окрестности точки Mo’.
Условия, обеспечивающие существование для функции y=f(x) обратной функции.

производную на всем множестве определения.
Теорема. Пусть функция F(u, x1, x2…) дифференцируема в некоторой окрестности точки Мo(uo, x1o, x2o) пространства R, (R’ обозначаем пространство переменных (х1, х2…) при­чем частная производная ∂F/∂u непрерывна в точке M. Для удобства геометрической иллюстрации будем рассматривать две переменные х1 и х2.
Тогда, если в точке Mo функция F обращается в нуль, а частная производная ∂F/∂u не обращается в нуль, то для любого достаточно малого по­ложительного числа ε найдется такая окрестность точки Mo'(x1o, x2o) пространства R; что в пределах этой окрестности су­ществует единственная функция u = ϕ(х1, x2), которая удовлетворяет условию |u-uo|<ε и является решением уравнения:
F(u, х1, x2)=0, (1)
причем эта функция u = ϕ(х1, x2) непрерывна и дифференцируема в указанной окрестности точки Mo’.

этих переменных называется предел от- ношения частного приращения функции к приращению соответствующей независимой переменной, когда это приращение стремится к нулю

х, если приращение ∆y этой функции в точке х, соответствующее приращению аргумента ∆x, может быть представлено в виде ∆ y = A∆x + а∆х, (5.9) где А — некоторое число, не зависящее от ∆x, а a функция. аргумента ∆x, являющаяся бесконечно малой при ∆x→0.

Теорема. Для, того чтобы функция у = f(x) являлась дифференцируемой в данной точке х, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.