Выпуклый анализ. Минимум выпуклой функции. Лекция 16

Сентябрь 7, 2022

Главная
Алгебра
Выпуклый анализ. Минимум выпуклой функции. Лекция 16

Содержание

2. 5. МИНИМУМ ВЫПУКЛОЙ ФУНКЦИИ 5.1. Локальный и глобальный минимум выпуклой функции. 5.2. Минимум дифференцируемой выпуклой функции.
3. 5.1. Локальный и глобальный минимум выпуклой функции. Теорема 1. выпукла. одновременно является точкой ее глобального минимума
4. С другой стороны, или Таким образом, всякий локальный минимум одновременно является глобальным. Тогда Таким образом,
5. то для строго выпуклых функций 5.2. Минимум дифференцируемой выпуклой функции. Теорема 2.
6. Доказательство. Необходимость. что Тогда Необходимость доказана.
7. а может и не выполняться. Например, пусть Достаточность. что и доказывает достаточность. Теорема доказана.
8. 5.3. Минимум выпуклой функции, дифференцируемой по всем возможным направлениям. Требование существования производных по направлениям Это тем
9. Доказательство. Необходимость. Тогда Необходимость доказана. Достаточность.
10. Полагаем
11. имеем то для направления что и требовалось доказать. Тогда Заметим, что
12. Тогда является обобщением теоремы 2 Таким образом, теорема 3 Получили формулировку теоремы 2. (функций дифференцируемых по
13. Решение. Таким образом, В этих точках функция является дифференцируемой, поэтому
14. Тогда одна из производных должна быть строго отрицательной.
16. Скачать презентацию

Слайд 2

5. МИНИМУМ ВЫПУКЛОЙ ФУНКЦИИ
5.1. Локальный и глобальный минимум выпуклой функции.

5.2. Минимум дифференцируемой выпуклой функции.

5.3. Минимум выпуклой функции, дифференцируемой

по всем возможным направлениям.

Слайд 3

5.1. Локальный и глобальный минимум выпуклой функции.
Теорема 1.
выпукла.
одновременно является

точкой ее глобального минимума на этом множестве,

выпукло.

Доказательство.

Слайд 4

С другой стороны,
или
Таким образом, всякий локальный минимум одновременно является

глобальным.

Тогда

Таким образом,

Слайд 5

то для строго выпуклых функций
5.2. Минимум дифференцируемой выпуклой функции.
Теорема 2.

Слайд 6

Доказательство. Необходимость.
что
Тогда
Необходимость доказана.

Слайд 7

а может и не выполняться.
Например, пусть
Достаточность.
что и доказывает

достаточность.

Теорема доказана.

Слайд 8

5.3. Минимум выпуклой функции, дифференцируемой по всем возможным
направлениям.
Требование существования производных

по направлениям

Это тем более естественно, поскольку всякая выпуклая функция

Теорема 3.

имеет производные по всем возможным направлениям.

имеет производные по всем направлениям.

Слайд 9

Доказательство. Необходимость.
Тогда
Необходимость доказана.
Достаточность.

Слайд 10

Полагаем

Слайд 11

имеем
то для направления
что и требовалось доказать.
Тогда
Заметим, что

Слайд 12

Тогда
является обобщением теоремы 2
Таким образом, теорема 3
Получили формулировку теоремы 2.
(функций дифференцируемых

по всем возможным направлениям).

Упражнение.

Слайд 13

Решение.
Таким образом,
В этих точках функция является дифференцируемой, поэтому

Слайд 14

Тогда одна из производных
должна быть строго отрицательной.