Содержание
- 2. 3. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ 3.5. Критерии выпуклости гладких функций
- 3. 3.5. Критерии выпуклости гладких функций. Теорема 8. (Первый критерий выпуклости дифференцируемой функции). необходимо и достаточно, чтобы
- 4. В результате получим (1) Необходимость доказана. Достаточность. Положим Из (1) находим и сложим их почленно. Имеем
- 5. Таким образом, и теорема доказана.
- 6. Теорема 9. (Второй критерий выпуклости дифференцируемой функции). необходимо и достаточно, чтобы Доказательство. Необходимость. Сложим эти неравенства
- 7. Достаточность. Таким образом следует доказать. что
- 8. Для всех последовательно вычисляем выражения Тогда в силу (4) и (5) выводим имеет место формула конечных
- 9. Тогда в силу (4) находим Таким образом,
- 10. Обозначим
- 11. Заметим, что При этом Аналогично, обозначим
- 12. Заметим, что Кроме того При этом
- 13. Из (8) в силу (9) Тогда для этих точек выполнено условие (3) имеем Теорема доказана. Следовательно
- 14. Теорема 10. (Критерий выпуклости дважды дифференцируемой функции). то это условие является необходимым. Доказательство. Необходимость. достаточно, чтобы
- 15. Сокращая в неравенстве (11) По доказанному выше будет выполняться Необходимость доказана. Достаточность. найдется последовательность получим (10).
- 16. Тогда из условия (10) Где обозначено Теорема доказана. следовательно, она выпукла. Пример 10. Определить значения параметров,
- 17. По теореме 10 для ее выпуклости требуется положительность матрицы Вычислим ее главные миноры и выясним, Решение.
- 18. Упражнение. Решение.
- 20. Скачать презентацию