Выпуклый анализ. Выпуклые функции.. Лекция 12

3. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ
(ПРОДОЛЖЕНИЕ)

3.4. Дифференцируемость выпуклой функции по всем возможным

направлениям.

3.3. Непрерывность

3.3. Непрерывность выпуклой функции.

оказывается столь сильным,

Теорема 6.

выпукла.

Доказательство.

Из неравенства (1)

следует

С другой стороны

Общий случай сводится к уже рассмотренному

определенной формулой

Тогда по доказанному она

Для граничных точек доказанная теорема неверна.

Пример 4.

но терпит разрыв в

3.4. Дифференцируемость выпуклой функции по всем возможным направлениям.

Определение 3.

такое,

Пример 7.

имеется хотя бы одно возможное направление.

и содержит не

в которой она имеет производные по всем направлениям.

Пример 8.

Пусть

Однако,

Отсюда

выводим

Таким образом, указанный предел существует.

Тогда

Теорема 7.

выпукла.

Доказательство.

Имеет место включение

С другой стороны

Тогда

Имеет место равенство

Тогда

Упражнение 1.

Решение.

Функция нормы выпукла и конечна.