Методы математического программирования в микроэкономическом анализе

анализ: Учебник.- М.: РТА 2009.
2. Анисимов Е.Г. И др. Экономико-математические методы и модели в мирохозяйственных связях: Учебник М.: РТА 2011.
3. Анисимов Е.Г. Анисимов В.Г., Липатова Н.Г., Черныш А.Я. Применение математических методов при проведении диссертационных исследований. Учебник М. РТА, 2011.
Дополнительная Воркуев Б.Л. Количественные методы исследования в микро- и макроэкономике. – М.: ТЕИС, 2010. – 436 с.

решению задачи безусловной оптимизации специально построенной функции Лагранжа.

которого является исследование моделей и методов оптимизации при условии, что целевая функция и ограничения задачи оптимизации являются линейными.

Общая задача линейного программирования может быть сформулирована следующим образом. Определить вектор
(1)
такой, что (2)
при ограничениях (3)
(4)
(5)
где заданные числа

называть областью определения линейной формы или многогранником (для двумерного случая − многоугольником) допустимых решений.

СУЩНОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Для задач линейного программирования, связанных с реальными практическими проблемами, обычно система ограничений не противоречива, т.е. имеются наборы , удовлетворяющие всем ограничениям, а область определения линейной формы − ограничена.

Любой набор переменных , принадлежащих области определения, называется допустимым решением рассматриваемой задачи. Допустимое решение, обеспечивающее искомый экстремум линейной функции (2), называется оптимальным.

Следовательно, решение задачи линейного программирования состоит в поиске допустимого решения, доставляющего экстремум функции (2).

модель межотраслевого баланса, разработанная В. Леонтьевым в 20-х годах прошлого столетия. Модель получила название по имени автора, а сам В. Леонтьев получил за ее разработку Нобелевскую премию, в области экономики.

Сущность этой модели состоит в следующем. Предполагается, что весь производственный комплекс страны (или любой крупной экономической системы) разделен на n отраслей. Каждая отрасль выпускает однородную продукцию (продукцию одного типа), но разные отрасли выпускают разную продукцию. Таким образом, в целом выпускается n типов продукции.

В процессе производства каждая отрасль использует продукцию других отраслей и, в свою очередь, снабжает другие отрасли своей продукцией. Кроме того, каждая отрасль выпускает продукцию, которая потребляется в непроизводственной сфере (сфера потребления, создание запасов).

Полагается, что для отрасли i известно количество aij ее продукции, которое используется для производства единицы продукции отрасли j и количество Ci единиц этой продукции используемой в непроизводственной сфере (накопление, потребление). Требуется определить валовой объем продукции i-й отрасли, обеспечивающий выполнение условия межотраслевого баланса

Пусть T общее количество имеющихся трудовых ресурсов.

Задача максимизации суммарного валового выпуска при ограниченных трудовых ресурсах

Тогда модель задачи максимизации суммарного валового выпуска имеет вид:
(6)
(7)
(8)

Соотношение (7) является матричной формой представления условия межотраслевого баланса.

j=1,2,…,n,
где V- заданный уровень суммарного валового выпуска.

виде, так называемой,
основной задачи линейного программирования. Основная задача линейного программирования
формулируется следующим образом. Дана система линейных уравнений:
(1)
и дана линейная функция

Требуется определить такое неотрицательное решение системы (1), т.е. найти n неотрицательных неизвестных x1≥0, x2≥0,…,xn≥0,
при которых функция L принимает экстремальное значение (min или max в зависимости от поставленной задачи).

ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Данцигом в средине прошлого столетия и в настоящее время получил наибольшее распространение при решении задач линейного программирования

Шаг 0. Исходная задача линейного программирования приводится к стандартному виду (к основной задаче линейного программирования)

Шаг 1. Полученная при этом система (1) ограничений разрешается относительно произвольно выбранных m базисных переменных. Остальные n-m переменных приравниваются к нулю и определяются значения выбранных базисных переменных.

Шаг 2. Из числа текущих небазисных переменных выбирается включаемая в новый базис переменная, увеличение которой обеспечивает улучшение значения целевой функции. Если такой переменной нет, вычисления прекращаются, так как полученное базисное решение оптимально. В противном случае переходят к шагу 3.

Шаг 3. Из числа переменных текущего базиса выбирается исключаемая переменная, которая должна принять нулевое решение (стать свободной) при введении в состав базисных новой переменной. Эта переменная выражается из уравнения в наибольшей степени ограничивающего значение вновь выбранной для включения в состав базисных переменной

Шаг 4. Полученное значение переменной подставляется в остальные уравнения для базисных переменных и целевую функцию и осуществляется переход к шагу 1.

программирования, то есть перейдем от неравенства к равенствам. В результате получим систему уравнений из четырех уравнений с шестью неизвестными:

вновь введенные переменные ). Получим:

Приравняв свободные переменные к нулю, получим базисное решение:

этом целевая функция в большей степени растет при увеличении х1. Поэтому переведем х1 в базисные переменные.

Базисные переменные должны быть положительными. Поэтому х1 следует выделять из наиболее жесткого для нее ограничения. Значения х1 ограничиваются первыми тремя равенствами. Из первого равенства следует, что . Из второго - . Из третьего - .
Следовательно, наиболее ограничивающим является третье уравнение. Поэтому:

Новое базисное решение:

Переменная х2 входит во второе, третье и четвертое равенства. При этом наиболее ограничивающим является второе равенство:
Поэтому выражаем новую базисную переменную х2 из второго равенства и подставляем в остальные равенства и целевую функцию. Получим:

х5 . Эта переменная входит во все четыре равенства. Причем наиболее ограничивающим для нее является второе уравнение:
Поэтому выражаем новую базисную переменную х5 из второго равенства и подставляем в остальные равенства и целевую функцию. Получим: