Содержание
- 2. 2. Применение операторного метода к расчету электрических цепей 2.1. Прямое преобразование Лапласа Этот метод заключается в
- 3. Следовательно, оригинал и изображение представляют собой пару функций действительного переменного t и комплексного переменного р, связанных
- 4. Теорема дифференцирования дифференцированию оригинала соответствует операция умножения изображения на р df(t)/dt ⇒ pF(p) - f(0_). Теорема
- 5. Теорема линейности устанавливает, что изображение линейной комбинации есть линейная комбинация изображений или, в самом простом случае,
- 6. Эта формула, носящая название обратного преобразования Лапласа, представляет собой решение интегрального уравнения (2.1) относительно функции f(t).
- 8. Анализ электронных цепей Анализ ЭЦ предполагает вывод ПФ и расчет ее параметров. Методика составления уравнения для
- 9. 3.1 Основные характеристики электронных цепей Чтобы устранить неопределенности и унифицировать описания различных по топологии и назначению
- 10. АЧХ представляет собой реакцию цепи на входное воздействие в форме синусоидального сигнала. Для цепей с линейной
- 11. Поскольку коэффициент передачи, являясь параметром АХ, определяет ее наклон K = Y/X, где X, Y -
- 12. ФЧХ находится как arctg отношения мнимой части комплексной ПФ к действительной части. Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ)
- 13. 3.2 Пример расчета электронных цепей Рассмотрим конкретную реализацию данной методики на примере двух простых, но очень
- 14. Рис. 2.1. Интегрирующая RC - цепь и ее АЧХ Общий характер АЧХ, т.е. зависимости коэффициентов передачи
- 15. ЛАЧХ интегрирующей цепи Kи [дБ]=20Lg(Kи(ω))= -10Lg(1+(ωτ)2). Если текущее значение частоты ω меньше частоты среза ω Когда
- 16. ЛАЧХ дифференцирующей цепи Kд[дБ]=20Lg(Kд(ω))=20Lg (ωτ) - 10Lg(1+(ωτ)2). Эта ЛАЧХ также состоит из двух прямых. Первая прямая
- 17. Анализ переходной характеристики интегрирующей и дифференцирующей цепей, ПФ которых: Kи(p) = 1/(1 + pRC); Kд(p) =
- 19. Скачать презентацию
2. Применение операторного метода к расчету электрических цепей
2.1. Прямое преобразование Лапласа
Этот
2. Применение операторного метода к расчету электрических цепей
2.1. Прямое преобразование Лапласа
Этот
сходится абсолютно и является аналитической функцией комплексного переменного р = с + jω. Интегральное уравнение вида (2.1) представляет собой прямое преобразование Лапласа. Функция f(t) называется оригиналом, а функция F(p) - изображением по Лапласу.
Пусть f(t) - функция действительного переменного t,
заданная в области t > 0 и равная нулю при t < 0.
Известно, что если f(t) имеет ограниченный рост, то интеграл:
(2.1)
Следовательно, оригинал и изображение представляют собой пару функций действительного переменного t
Следовательно, оригинал и изображение представляют собой пару функций действительного переменного t
Математическим операциям над оригиналами соответствуют определенные операции над изображениями и наоборот. Знание этих операций, или, как их называют, свойств преобразования Лапласа, облегчает нахождение изображений. Оно позволяет переходить от дифференциальных (или интегро-дифференциальных) уравнений, записанных для функций-оригиналов, к "операторным" уравнениям, записываемым для изображений, и облегчает последующее нахождение искомого оригинала по вычисленному изображению. Основные свойства преобразования Лапласа доказываются в курсе математического анализа. Ниже приводятся лишь формулировки этих свойств.
Теорема дифференцирования дифференцированию оригинала соответствует операция умножения изображения на р
df(t)/dt ⇒
Теорема дифференцирования дифференцированию оригинала соответствует операция умножения изображения на р
df(t)/dt ⇒
Теорема интегрирования интегрированию оригинала соответствует операция деления на p
∫ f(t)dt ⇒ F(p)/p.
Теорема запаздывания запаздыванию во временной области соответствует умножение изображения на экспоненциальную функцию p
f(t - τ) ⇒ e-pτ F(p).
Теорема смещения показывает, как изменяется изображение при умножении оригинала на экспоненциальную функцию времени
eλt f(t) ⇒ F(p - λ).
Теорема умножения изображений (теорема свертывания) устанавливает, что умножению изображений соответствует операция свертки оригиналов с пределами интегрирования от 0 до t
F1(p) F2(p) ⇒ ∫ f1(t) f2(t - τ) dτ.
Теорема подобия показывает, как изменяется изображение при изменении масштаба независимой переменной t оригинала
f(at) ⇒ (1/a) F(p/a).
Теорема линейности устанавливает, что изображение линейной комбинации есть линейная комбинация изображений
Теорема линейности устанавливает, что изображение линейной комбинации есть линейная комбинация изображений
af(t) ⇒ aF(p).
Предельные соотношения. Первое предельное соотношение дает возможность найти начальное значение функции f(t) при t = 0 непосредственно по изображению: lim f(t) = lim pF(p), при p → ∞.
Второе предельное соотношение дает возможность найти предел функции f(t) при t → ∞ по значению функции F(p) в начале координат:
lim f(t) = lim pF(p), при p → 0. Предельные соотношения полезны для проверки вычислений с помощью преобразования Лапласа.
2.2.2. Обратное преобразование Лапласа
Обратное преобразование Лапласа позволяет перейти от изображений к оригиналам. Из теории функции комплексного переменного известно, что если функция F(p) аналитична и интегрируема в пределах от c - jω до c + jω, то существует интеграл
(2.1)
Эта формула, носящая название обратного преобразования Лапласа, представляет собой решение интегрального
Эта формула, носящая название обратного преобразования Лапласа, представляет собой решение интегрального
Анализ электронных цепей
Анализ ЭЦ предполагает вывод ПФ и расчет ее параметров.
Анализ электронных цепей
Анализ ЭЦ предполагает вывод ПФ и расчет ее параметров.
1) преобразование цепи в операторную форму;
2) составление системы алгебраических уравнений цепи по законам Ома и Кирхгофа в соответствии с выбранным методом расчета;
3) решение полученной системы относительно выходной величины;
4) запись решения в форме уравнения преобразования, когда неизвестная выходная величина Y(p) записывается в левой, а заданная входная величина X(p) - в правой части уравнения вместе с совокупностью компонент определяющих операторный коэффициент передачи:
Y(p) = K(p) X(p);
5) запись уравнения для ПФ в виде K(p) = Y(p)/X(p);
6) качественный анализ ПФ как функции от оператора р с использованием предельных соотношений p → 0 и p → ∞;
7) переход от изображений к оригиналам либо в комплексной форме K(jω), либо в показательной K(t);
8) численная оценка коэффициента передачи K(ω) на заданной частоте или K(t) в заданный момент времени и построение соответствующих зависимостей K(ω) или K(t).
3.1 Основные характеристики электронных цепей
Чтобы устранить неопределенности и унифицировать описания различных
3.1 Основные характеристики электронных цепей
Чтобы устранить неопределенности и унифицировать описания различных
2) амплитудно-фазочастотную (АФЧХ);
3) переходную (ПХ).
Для каждой характеристики определен перечень основных параметров, с помощью которых производится сравнительная оценка качества различных устройств по диапазону преобразуемых величин, быстродействию, точности и др. Ряд этих параметров законодательно оговорен и используется как перечень обязательных паспортных параметров электронных устройств.
Амплитудная характеристика (АХ) представляет собой зависимость амплитудного (или действующего) значения выходной величины цепи от амплитудного (или действующего) значения входной величины. В информационно-измерительной технике понятию АХ соответствует понятие уравнения преобразования (УП). Если АХ является линейной, то и такая электрическая цепь называется линейной.
АЧХ представляет собой реакцию цепи на входное воздействие в форме синусоидального
АЧХ представляет собой реакцию цепи на входное воздействие в форме синусоидального
K(ω) = √ Re2[K(p = jω )] + Im2[K(p = jω )], (2.3)
где символами Re2[K(p = jω)] и Im2[K(p = jω)] обозначены соответственно квадраты действительной и мнимой частей комплексной ПФ K(jω).
Амплитудно-фазочастотная характеристика (АФЧХ) состоит из двух характеристик: амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ).
Поскольку коэффициент передачи, являясь параметром АХ, определяет ее наклон K =
Поскольку коэффициент передачи, являясь параметром АХ, определяет ее наклон K =
АЧХ представляет частный случай ПФ для фиксированной синусоидальной формы входного воздействия.
Чтобы проанализировать вид АЧХ и оценить ее параметры необходимо:
1) вывести выражение для ПФ заданной цепи;
2) заменить оператор р на jω,
3) привести полученную комплексную ПФ к стандартному виду:
K(jω ) =Re [K(jω )] + j Im[K(jω )],
т.е. выделить отдельно действительную и мнимую части;
4) записать уравнение для АЧХ в форме (2.3), т.е. найти модуль ПФ;
5) исследовать функцию K(ω ) на предмет наличия характерных точек (экстремумов, разрывов, перегибов, асимптот, предельных значений и т.д.).
ФЧХ находится как arctg отношения мнимой части комплексной ПФ к действительной
ФЧХ находится как arctg отношения мнимой части комплексной ПФ к действительной
Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) или диаграмма Боде, представляет собой АЧХ, построенную в логарифмическом масштабе и аппроксимированную отрезками прямых линий. Чтобы построить ЛАЧХ, необходимо уравнение для АЧХ прологарифмировать (в десятичных логарифмах) с коэффициентом 20 (для получения единиц измерения децибел), а затем точные выражения, стоящие под знаком логарифма, заменить более простыми, приближенными.
Переходная характеристика представляет собой реакцию цепи на входное воздействие в виде единичного скачка. ПХ так же, как и АЧХ, является частным случаем ПФ. В отличие от АЧХ, ПХ есть решение уравнения для ПФ в экспоненциальной (показательной) форме, для чего используются либо непосредственно формула обратного преобразования Лапласа, либо теорема о вычетах, либо таблицы. На практике из-за простоты чаще всего используют последний вариант. При небольшом навыке, запомнив два-три вида преобразования, можно научиться достаточно быстро решать типовые задачи.
3.2 Пример расчета электронных цепей
Рассмотрим конкретную реализацию данной методики на примере
3.2 Пример расчета электронных цепей
Рассмотрим конкретную реализацию данной методики на примере
1) Для перехода к операторной форме цепи заменим оригиналы напряжений и токов на их изображения
U(t) ⇒ U(p), UR(t) ⇒ UR(p), UC(t) ⇒ UC(p), I(t) ⇒ I(p).
Заменим элементы R, C их операторными сопротивлениями по
правилу: R⇒ R, XС = 1/jωC ⇒ 1/pC.
2) Второй закон Кирхгофа в операторной форме
U(p) = UR(p) + UC(p) = I(p)Z(p) = I(p)(R + 1/pC) .
3) Так как входная величина U1(p), а выходная U2(p), сами цепи представляют собой делитель напряжения, для которого несложно вывести уравнение преобразования:
U2(p) = U1(p) Z2(p)/(Z1(p) + Z2(p)).
4) Учитывая, что для интегрирующей (рис. 2.1) цепи
Z1(p) = R, Z2(p) = 1/pC, а для дифференцирующей (рис. 2.2) -
наоборот Z1(p) =1/pC, Z2(p) = R, получаем ПФ
Kи(p) = 1/(1 + pRC);
Kд(p) = pRC/(1 + pRC).
Рис. 2.1. Интегрирующая RC - цепь и ее АЧХ
Общий характер АЧХ,
Рис. 2.1. Интегрирующая RC - цепь и ее АЧХ
Общий характер АЧХ,
с увеличением частоты ω
от 0 до ∞ ,
для интегрирующей цепи –
Kи(ω) падает от 1 до 0;
для дифференцирующей цепи –
Kд(ω) возрастает от 0 до 1. Приравняв Kи(ω) и Kд(ω) в (2.2) к значению 1/√ 2, найдем значение частоты среза ωср = 1/τ.
Рис. 2.2. Дифференцирующая RC - цепь и ее АЧХ
Kи(ω) = 1/(√ 1 + (ωτ)2),
Kд(ω) = ωτ/(√ 1 + (ωτ)2. (2.4)
Обозначим через τ = RC постоянную времени цепи и перейдем к модулям ПФ Kи(ω)и Kд(ω)
ЛАЧХ интегрирующей цепи Kи [дБ]=20Lg(Kи(ω))= -10Lg(1+(ωτ)2).
Если текущее значение частоты ω меньше
ЛАЧХ интегрирующей цепи Kи [дБ]=20Lg(Kи(ω))= -10Lg(1+(ωτ)2).
Если текущее значение частоты ω меньше
Когда ω > ωср, можно пренебречь 1 под знаком Lg, и тогда Kи[дБ] ≈ - 20Lg (ωτ).
Следовательно, ЛАЧХ интегрирующей цепи состоит из двух прямых, одна из которых совпадает с осью абсцисс (Kи[дБ] ≈ 0 или, что то же самое,
Kи(ω) ≈ 1) в диапазоне от 0 до ωср. Другая прямая наклонена к оси абсцисс с угловым коэффициентом -20 децибел на декаду (-20 дБ/дек). Последнее означает, что на участке ω > ωср, изменению частоты в 10 раз (т.е. на декаду) соответствует уменьшение коэффициента передачи тоже в 10 раз (или в логарифмических единицах на 20 дБ). В относительной форме данная зависимость имеет вид K(ω) ≈ (ωср/ω) или K(f) ≈ (fср/f).
Рис. 2.3. ЛАЧХ интегрирующей (а)и дифференцирующей (б) цепей
ЛАЧХ дифференцирующей цепи
Kд[дБ]=20Lg(Kд(ω))=20Lg (ωτ) - 10Lg(1+(ωτ)2).
Эта ЛАЧХ также состоит из
ЛАЧХ дифференцирующей цепи
Kд[дБ]=20Lg(Kд(ω))=20Lg (ωτ) - 10Lg(1+(ωτ)2).
Эта ЛАЧХ также состоит из
Kд[дБ] ≈ 20Lg (ωτ) соответствует диапазону изменения частоты ω
от 0 до ωср. В этом диапазоне наблюдается увеличение коэффициента передачи со скоростью 20 децибел на декаду. В относительной форме данная зависимость имеет вид K(ω) ≈ (ω/ωср) или K(f) ≈ (f /fср ). Вторая прямая Kд[дБ] ≈ 0 дБ, совпадающая с осью абсцисс, лежит в диапазоне изменения частоты ω от ωср до ∞ .
ЛАЧХ интегрирующей и дифференцирующей цепей представлены на рис. 2.3. Обратите внимание на то, что при построении ЛАЧХ координаты точек по оси абсцисс могут указываться не в логарифмических единицах, а непосредственно в Гц или рад/с, а по оси ординат - в единицах измерения коэффициента передачи (как правило, в относительных единицах).
Анализ переходной характеристики интегрирующей и дифференцирующей цепей, ПФ которых:
Kи(p) =
Анализ переходной характеристики интегрирующей и дифференцирующей цепей, ПФ которых:
Kи(p) =
Kд(p) = pRC/(1 + pRC).
Учитывая, что изображение функции, которая называется единичным скачком 1(t) есть 1/p (табл. 2.1), преобразуем общие ПФ Kи(p) и Kд(p) к частному виду Wи(p) и Wд(p), используя замену U1(p) = E/p. Здесь E - некоторое произвольное значение скачка входного напряжения.
Wи(p) = U2(p)/E = Kи(p)/p = 1/p(1 + pRC);
Wд(p) = U2(p)/E = Kд(p)/p = RC/(1 + pRC ). (2.5)
Произведем замену τ = RC и вынесем эту постоянную времени в знаменателях (2.2) за скобки. В результате получим формулы, соответствующие формулам п. 5 и п. 4 табл. 2.1, где a = 1/τ:
Wи(p) = a/p(p + a);
Wд(p) = 1/(p + a). (2.6)
Переходя по таблице 2.1 от изображений к оригиналам, получаем ПХ для интегрирующей и дифференцирующей цепей (рис. 2.6) в виде
Wи(t) = U2(t)/E = (1 - exp( - t/τ));
Wд(t) = U2(t)/E = exp( - t/τ). (2.7)