Балочная теория тонкостенных конструкций

Смещение центра тяжести вверх относительно оси x’ может быть найдено как отношение статического момента редуцированного сечения относительно оси x’ к совокупной площади редуцированного сечения

Тогда момент инерции сечения относительно ЦЕНТРАЛЬНОЙ оси будет равен

Момент инерции сечения относительно вспомогательной оси можно вычислить, взяв выражение для статического момента и заменить в нем расстояния до оси на квадрат этого расстояния

Более простое выражение можно получить, если воспользоваться формулой связи y’ и s чтобы перейти от интегрирования по ds к интегралу dy’ (обратите внимание на знаки дифференциалов и замену пределов интегрирования)

При расчёте нормальных напряжений, возникающих в элементах сечения, при действии изгибающего момента воспользуемся формулой

Вычислим коэффициент

Обратите внимание на размерности величин, используемых в формуле, чтобы получать напряжения в естественных. единицах (МПа) необходимо момент брать в Н‧мм, а момент инерции в мм4. В этом случае подставляя координату y в мм получим напряжения в МПа.

Как видно напряжения изменяются линейно по сечению в зависимости от y координаты, отсчитываемой от центральной (проходящей через центр тяжести сечения) оси x. В точке с одинаковой ординатой y напряжения в поясах и обшивки будут отличатся в φ раз (редукционный коэффициент).

В стыке дугового и наклонного участков:

В среднем поясе

В обшивке под средним поясом

По нижнему участку обшивки:

В нижнем поясе

Поток касательных сил мысленно (виртуально) разрезанного сечения при простом изгибе пропорционален величине статического момента и рассчитывается по формуле

Поток касательных сил по замкнутому периметру контура (суть – величина касательной силы в продольном разрезе конструкции) при чистом кручении рассчитывается по формуле

Величины, входящие в последнюю формулу будут пояснены по месту расчета.

Для определения закона изменения статического момента по контуру сечения необходимо выбрать точку условного (мысленного, виртуального) размыкания контура.
Здесь можно выделить несколько важных соображений:
Точка условного размыкания контура выбирается в общем случае произвольно, принципиальное условие состоит лишь в получении контура, не имеющего замкнутых ячеек и не имеющего участков, не связанных с остальными участками;
Сечение, обладающее вертикальной осью симметрии, рекомендуется размыкать в одной из точек пересечения контура и этой оси (это позволит получить симметричную эпюру статических моментов и, следовательно, симметричный поток погонных касательных сил). Свойство симметрии потока касательных сил (разомкнутного сечения) будет нами использовано при вычислении T0.
Если в точке размыкания контура сечение подкреплено поясом, то необходимо пояс разделить на две равные половины, каждую из которых отнести к своей стороне сечения относительно разреза (для сохранения симметрии сечения и после размыкания контура)

Где интегрирование проводится от начала отсчета дуг до текущей дуговой координаты s, отсчитываемой вдоль контура, а в операторе суммирования верхний предел соответствует числу поясов, попадающих в рассматриваемый участок.
В случае криволинейного участка (дуги) в интегральном слагаемом целесообразно перейти от дуговой координаты s к угловой мере этой дуги.
При записи закона изменения статического момента необходимо обеспечить монотонное увеличение дуговой (вдольконтурной) координаты s.
При разрезе контура в нижней точке отсчет дуг следует вести против направления часовой стрелки (учитывая знак y координаты точек контура)

площадь отсеченного участка

расстояние от центра тяжести участка до оси x

Через y’

Через s

Мы получили выражения, идентичные записанным ранее.

Кроме того можно заметить, что участок 2-3 пересекает ось x, т.к.

В точке пересечения участка 2-3 и оси x ожидаем максимальное значение величины Srx. Убедимся в этом. Найдем значение аргумента при котором первая производная Srx по аргументу обращается в нуль.

Значение Srx в этой точке является максимальным для контура:

или

Обратите внимание на второе слагаемое, оно формально прибавляется (знак плюс), но подчеркнутое выражение отрицательно, поэтому Srx уменьшится

площадь отсеченного участка

расстояние от центра тяжести участка до оси x

Через y’

Через s

В точке 4:

В точке 5:

Точка 5 лежит на оси симметрии контура, поэтому дальнейшие участки не требуют рассмотрения. Эпюра на участках слева от оси симметрии будет получена путем симметричного отражения эпюры построенный по рассчитанным значениям.
Но прежде чем переходить к построению эпюры выполним ПРОВЕРКУ

Если бы мы обходили контур в противоположном направлении от точки 1’ против хода часовой стрелки то в точке 5’ получили бы аналогично значение

Правило знаков говорит, что положительное значение Srx откладывается слева от контура при движении в направлении обхода контура. Тогда в точке 5 и 5’ значения будут равны, но лежать с противоположных сторон контура, т.е. имеет место скачок на эпюре.

Правило проверки: если в точке, противоположенной разрезу имеется пояс, то значение статического момента последнего участка в этой точке должно по равняться половине статического момента пояса, взятого по абсолютной величине . Если пояс в этой точке отсутствует, то статический момент на оси симметрии должен обращаться в нуль.

Равенство верное, проверка пройдена.

Обратите внимание, что изображена эпюра умноженная на 10-5

Для получения эпюры погонных касательных сил необходимо эпюру статического момента умножить на коэффициент

Интеграл по контуру можно заменить суммой интегралов по отдельным участкам (а в силу симметрии эпюры погонных касательных сил можно рассмотреть половину сечения и удвоить результат).

Полученная величина в точности равна перерезывающей силе, действующей в рассчитываемом сечении.
При выполнении курсовой работы допустимо расхождение до 3%

Результирующая эпюры погонных касательных сил, спроецированная на ось y :

– момент внешней силы относительно выбранного полюса

– плечо элементарной силы T*ds относительно выбранного полюса

– удвоенная площадь, охватываемая замкнутой линией контура

Момент внешней силы относительно выбранного полюса в этом случае будет представлять произведение величины силы на расстояние между вектором силы и осью симметрии

В таком случае формула расчёта постоянной составляющей погонных касательных сил примет вид

Момент внешних сил (и момент элементарных сил T*ds) следует принимать положительным, если он действует относительно полюса против часовой стрелки. В противном случае момент принимается отрицательным.

Касательно постоянной составляющей погонных касательных сил T0 следует отметить, что это векторная величина (как и погонная касательная сила T*), поэтому необходимо принять правило для знаков и направлений:
Положительная величина T0 вызывает положительный момент относительно полюса, направленный против хода часовой стрелки и эпюра T0 откладывается снаружи контура, а направление потока – против часовой стрелки.
В случае отрицательной величины T0 – вызываемый момент отрицательный и направлен по направлению хода часовой стрелки, эпюра T0 откладывается внутрь контура, а стрелки потока направлены по часовой стрелке.
Следует напомнить, что если контур комбинированный и содержит замкнутую ячейку и свободные участки (фланцы), то постоянная составляющая погонных касательных сил действует исключительно по замкнутой ячейке, а на свободных участках – отсутствует.

Момент внешней силы относительно выбранного полюса (c=b):

Как видно внешняя сила относительно выбранного полюса действует по направлению хода часовой стрелки, следовательно момент будет отрицательным.

Вычислим постоянную составляющую погонных касательных сил

Получили отрицательную величину, следовательно поток будет направлен по ходу часовой стрелки и эпюра отложена внутрь контура.

Построение эпюры оставлено на самостоятельную работу ☺