Чистый сдвиг и свободное кручение

котором отличными от нуля будут только одни касательные компоненты напряженного состояния

z

x

y

z

x

z

y

x

z

τyx

τxy

O

B

A

А

0

Рассмотрим элемент находящийся в состоянии чистого сдвига

Выделим трапецию ограниченную наклонной плоскостью

Площадь наклонной площадки связана с площадями горизонтальной и вертикальной площадок соотношениями

Составим уравнение равновесия относительно осей i и t

равны нулю, то:

Потенциальная энергия при чистом сдвиге

Q

Рассмотри элемент размером axax1. Горизонтальная сила Q=τ·a·1 совершает работу на перемещении Δ=γ·a. Работа равна:

Отнесем численно равную работе энергию деформации к единице объема:

u – плотность энергии деформации или удельная потенциальная энергия деформации при чистом сдвиге.

Полная энергия деформации:

заклепки, соединяющей три листа. Одним из видов разрушения является cрез заклепки по сечениям m-n и m1-n1 (отсюда название заклепки – «двухсрезная»). Площадь среза:

В момент текучести приближенно можно считать, что касательные напряжения в этих сечениях распределены равномерно. Тогда условие прочности заклепки на срез будет иметь вид:

NЗАК – сила действующая на одну заклепку, [τ]ср – максимально допустимое касательное напряжение на срез.

листов или заклепки по поверхности их контакта. Фактическое распределение контактных напряжений весьма сложно. Поэтому вычисляются условные напряжения смятия, отнесенные к площади А являющейся проекцией фактической криволинейной площади на плоскость диаметрального сечения заклепки. Условие прочности:

[σ]см – предельное напряжение заклепки (листа) на смятие (определяется исходя из предела текучести). Расчет делают для заклепки и каждого листа.

Расчет заклепочного соединения обычно состоит в определении необходимого числа заклепок n при действии на соединение заданного расчетного усилия N. В упругой стадии это усилие неравномерно распределяется между заклепками. Однако в предельном состоянии благодаря деформациям текучести усилия в заклепках выравниваются. Поэтому сделаем допущение: сила N распределяется между всеми заклепками поровну. Тогда

его продольной оси.

M1

M2

a

a

l1

l2

l3

l4

x3

MIIIK

3. Кручение стержней

кручении стержней кольцевого сечения поперечные сечения стержня поворачиваются друг относительно друга около прямой, называемой осью кручения (в дальнейшем ось x), как недеформирующиеся в своей плоскости (жесткие) диски. Это предположение называют гипотезой жесткости сечения в своей плоскости. Точка пересечения оси кручения с поперечным сечением называется центром кручения. Угол поворота произвольного поперечного сечения стержня, как жесткого целого, относительно сечения, принятого за неподвижное, будем обозначать φ = φ(x) и называть углом закручивания, а через φj-i будем обозначать угол закручивания сечения j относительно сечения i.
Точки поперечного сечения любой формы, за исключением кольцевой, неодинаково перемещаются в направлении оси кручения, за счет чего оно превращается в некоторую поверхность (депланирует).

3. Если точки поперечного сечения могут свободно перемещаться в направлении оси кручения, то кручение называется свободным, в противном случае оно называется стесненным. При свободном кручении в поперечных сечениях стержня возникают только касательные силы упругости, а следовательно, только касательные напряжения.

по формуле

где WK - момент сопротивления сечения кручению, величина которого зависит от его формы и размеров.

Погонным углом закручивания называется производная от φ по х

Как увидим в дальнейшем, всегда следовательно:

где φi-0— угол закручивания сечения, находящегося в начале участка относительно сечения, принимаемого за неподвижное; GIк — жесткость сечения стержня при кручении; Iк— геометрическая характеристика жескости, зависящая от размеров и формы сечения.

Бернулли (гипотеза плоских сечений).

Предположим, что касательное напряжение в любой точке поперечного сечения с координатами ρ, α направлено произвольно по отношению к радиусу. Разложим его на два компонента: τxα - нормальный к радиусу и τxρ— направленный по радиусу.

Рассмотрим деформацию элемента, вырезанного из бруса. Отрезок ОА=ОА'— из гипотезы жесткости сечения в своей плоскости; γxρ =0 — из гипотезы Бернулли (поперечное сечение остается плоским). Но τxρ=Gγxρ — закон Гука при чистом сдвиге, поэтому τxρ=0 и τ=τxα.

Следовательно, касательное напряжение в любой точке поперечного сечения перпендикулярно радиусу, проведенному в эту точку из центра вращения. Таким образом, принятые гипотезы позволили установить направление τ в любой точке поперечною сечения.

Гука:

Согласно определению крутящий момент – это равнодействующая касательных сил упругости, действующих в сечении

Таким образом:

Сопоставляя

Формула для определения значений касательных напряжений в любой точке сечения.

т.е. для стержней кольцевого сечения IK=Ip

достигая максимума в точках наружного контура сечения.

Для определения IK и WK вычислим Ip для кольца:

d1

d

Для круга с=0

При кручении по свойству парности касательных напряжений будут существовать касательные напряжения в продольных сечениях бруса, распределенные по тому же закону.
Это приводит в частности к растрескиванию древесины вдоль волокон при кручении

элемент ABCD, то на его гранях будут обнаружены только касательные напряжения. Следовательно, во всех точках стержня при кручении возникает состояние чистого сдвига. Здесь, однако, чистый сдвиг не будет однородным, поскольку значение τ изменяется по радиусу поперечного сечения. Если изменить ориентацию сечений, повернув их в плоскости сдвига на 45°, то в новых площадках обнаруживаются только нормальные напряжения, имеющие одинаковое с τ значение. При этом одно из них является растягивающим, а второе - сжимающим.

Наличие растягивающих и сжимающих напряжений в наклонных площадках при кручении можно наглядно проиллюстрировать следующим способом. На поверхности цилиндра, изготовленного из пластичного материала, краской нанести множество мелких кружочков. При закручивании бруса кружки превратятся в эллипсы с главными осями, направленными под углом 45° к образующим. По направлению больших осей эллипса произойдет удлинение, а вдоль малых осей - сжатие.

некоторую работу, которая накапливается в объеме материала стержня в виде потенциальной энергии деформации. Представим себе отрезок вала длиной dx, получивший угол закручивания dφ от момента Μк. Момент упруго возрастает пропорционально углу dφ. Поэтому работа этого момента, равная площади графика,
Энергия, накопленная в элементе стержня,dU=dA, или

(с учетом)

Заменим

Получаем

для энергии деформации U, выраженные через крутящие моменты Mк или через углы закручивания:

Оба эти· выражения используются в расчетах

Рассмотрим пример:

Пусть требуется найти опускание λ точки приложения 1 силы F, передаваемой через абсолютно жесткий рычаг на 1 упругий ступенчатый вал. Составим равенство работы силы F на перемещении λ энергии деформации вала:

Отсюда найдем:

испытания на кручение проводят на тонкостенных трубчатых образцах, которые при кручении будут испытывать чистый однородный сдвиг, так как распределение напряжений по толщине их сечений в силу тонкостенности можно считать равномерным. По результатам испытаний такого образца строится диаграмма кручения — график зависимости MK=MK(φ).
По диаграмме кручения, в свою очередь, строится диаграмма сдвига (характеристика материала при чистом сдвиге, диаграмма сдвига) — график зависимости τ=τ(γ) , в котором
Все, что говорилось о диаграмме растяжения, а также о диаграмме напряжений и расчете на прочность при растяжении, можно перенести на чистый сдвиг, если заменить символы P Δ/, А, σ, ε, Е, EF соответственно на Mк, φ, WK,τ, γ, G, GJK. за исключением явлений уменьшения площади сечения и образования шейки, которая при кручении отсутствует.

τ

γ

τТ

τУ

τпц

τВ

проектировочного расчета

Условие прочности проверочного расчета расчета

Первый max относится к сечению, второй - к длине стержня.

За τпр для пластичною материала принимается τТ - предел текучести при сдвиге, а для хрупкого τВ-предел прочности при сдвиге.
Если для материала известны значения предельных характеристик при растяжении и сжатии, то экспериментальное определение τТ и τВ не является необходимым, так как τТ и τВ для него могут быть найдены по теориям прочности. Например, для пластичного материала, одинаково работающего на растяжение

угол закручивания [θ] в изделиях общего машиностроения обычно принимают: [θ]=2°/м = при статической нагрузке, [θ]=0,250/м —переменной нагрузке, [θ] = 0,5°/м - при ударной нагрузке. В особых случаях требования могут возрастать (допустимый угол уменьшаться).

Так же как и в случае задач на растяжение-сжатие, задачи на кручение могут быть статически определимыми и статически неопределимыми. Последние решаются при помощи составления уравнения совместности деформаций.

приводятся силы упругости в поперечном сечении витка пружины, разрезаем его плоскостью, проходящей через ось пружины, и рассматриваем равновесие верхней отсеченной части (рис. б). В силу малости α сечение витка плоскостью можно считать поперечным (кругом диаметра d).
Для равновесия отсеченной части силы упругости в поперечном сечении витка должны привестись к

На рис. обозначены:
D=2R — средний диаметр витков пружины;
d=2r — диаметр проволоки;
i — число рабочих витков;
α — угол подъема витка.

на рис.
Опасной будет точка К, так как в ней касательные напряжения от Qy и Мк достигают наибольших значений и оба направлены вниз. Следовательно

Для кручения:

Для сдвига

Суммируем

Здесь

Второе слагаемое в скобках малои им по сравнению с единицей можно пренебречь. Это означает, что мы пренебрегаем напряжением от Qy, как малым но сравнению с напржением от Мк, считая, что пружина испытывает только кручение. Тогда

называется сила F, которая вызывает удлинение пружины λ=1. Для получения соотношения F и λ применим энергетический метод. Приравняем работу силы F энергии деформации кручения прутка пружины (энергией деформации среза пренебрегаем):

где l — длина прутка пружины, равная длине одного витка 2πR, умноженной на число витков i в пружине, т. е. l=2πRi. Подставляя l в формулу, после сокращений окончательно получим:

Полагая λ=1, найдем жесткость пружины c=F :

стержне с некруглым поперечным сечением представляет собой задачу, которая не может быть решена методами сопротивления материалов, так как для некруглого сечения упрощающая гипотеза неизменности плоских сечений, оказывается неприемлемой. Сечения заметно искривляются, в результате чего существенно меняется картина распределения по ним напряжений. На рис. в качестве примера показана форма закрученного стержня прямоугольного поперечного сечения, на поверхность которого предварительно была нанесена мелкая прямоугольная сетка.

Сетка деформировалась вместе с поверхностными частицами металла. Поперечные линии сетки заметно искривлены, следовательно, будут искривлены и поперечные сечения.
Таким образом, при определении углов сдвига необходимо учитывать не только взаимный поворот сечений, но также и местный перекос, связанный с их искривлением. Задача, кроме того, резко усложняется тем, что для некруглого сечения напряжения будут определяться в функции уже не одного независимого переменного (ρ), а двух (y и z).

формы, а затем приведем готовые формулы, полученные методами теории упругости для некоторых, наиболее часто встречающихся форм поперечных сечений.

Но внешняя поверхность свободна от нагрузки и к ней никаких внешних сил не приложено. Таким образом, τ' n= 0. Следовательно и τn= 0, и касательное напряжение τ вблизи контура направлено по касательной к контуру.

Касательные напряжения в поперечных сечениях для точек, расположенных вблизи контура, направлены по касательной к дуге контура.

Положим, что в точке А. касательное напряжение τ вблизи контура направлено под некоторым углом к контуру. Разложим это напряжение на две составляющие - по касательной к контуру τt и по нормали τn. По условию парности на свободной поверхности стержня должно возникнуть касательное напряжение τ`n =τn.

обращаются в нуль. Раскладывая напряжение τ вблизи угла на две составляющие по нормалям к сторонам угла, получаем напряжения τ1 и τ2. Так как парные им напряжения τ́1 и τ́2 равны нулю, то в нуль обращаются и напряжения τ1 и τ2. Значит, вблизи внешнего угла касательные напряжения в поперечном сечении отсутствуют

На рис. показана полученная методами теории упругости эпюра касательных напряжений для бруса прямоугольного сечения. В углах, как видим, напряжения равны нулю, а наибольшие напряжения возникают по серединам больших сторон в точках А

в точках В

где a - большая, а b - малая сторона прямоугольника.
Коэффициенты α и η зависят от отношения сторон а/b

и η

Угловое перемещение для прямоугольного сечения

Для эллиптического сечения наибольшие напряжения возникают в точках А по концам малой оси:

в точках B

имеющего форму равностороннего треугольника со сторонами a, наибольшие напряжения возникают по серединам сторон и равны

Угловое перемещение в этом случае:

Обобщая все эти формулы, можно отметить, что при кручении

задачи о кручении стержня с некруглым поперечным сечением является достаточно сложным, возникла необходимость создания косвенных методов исследования этого вопроса. Среди таких методов первое место занимает метод аналогий.
В задачах механики часто встречаются случаи, когда решения совершенно различных по физической сущности задач сводятся к одним и тем же дифференциальным уравнениям. Тогда между задачами может быть установлена аналогия. Можно, не решая уравнения, сказать, например, что между переменными x1, и у1 из одной задачи существует та же зависимость, что и между переменными x2 и у2 из другой задачи. Тогда говорят, что переменная x2 является аналогом переменной x1, а y2 - аналогом переменной у1. Часто бывает так, что в первой задаче, не решая уравнений, трудно представить себе связь между переменными х1 и у1, а физическое содержание второй задачи допускает простое и наглядное толкование зависимости x2 от y2· В таком случае установленная аналогия дает возможность наглядно представить себе закономерности, существующие в первой задаче. Так, в частности, обстоит дело с задачей о кручении. Оказывается, что, независимо от формы исследуемого сечения, задача о кручении стержня сводится к тому же дифференциальному уравнению, что и задача о равновесии пленки, натянутой по контуру того же очертания и нагруженной равномерно распределенным давлением. Аналогом напряжения является угол, который составляет касательная к поверхности пленки с плоскостью контура, а аналогом крутящего момента - объем, заключенный между плоскостью контура и поверхностью пленки.

не точно, то, во всяком случае, ориентировочно. Следовательно, всегда имеется возможность представить и закон распределения напряжений при кручении стержня с заданной формой сечения.

Положим, например, что нужно установить закон распределения напряжений в сечении, показанном на рисунке. Представим себе, что на заданный контур натянута пленка, которая нагружена равномерно распределенным давлением. Изобразим несколько разрезов пленки. Соответственно углам наклона пленки покажем ориентировочно распределение напряжений по сечению.

При помощи пленочной аналогии можно получить не только качественные, но и количественные соотношения. Для этого используют специальный прибор. Он состоит из подвижного столика, на котором расположена плоская коробка с натянутой тонкой резиновой пленкой. Сверху пленка вплотную накрыта крышкой с отверстием по форме исследуемого сечения. К нижней части коробки подведена трубка, сообщающаяся со стеклянным манометром. Поднимая трубку, повышают давление под резиновой пленкой, и последняя деформируется. Легко провести обмер пленки посредством вертикально установленного микрометра. Координаты точки на пленке устанавливают продольным и поперечным перемещениями столика. После того как определены перемещения, могут быть найдены и углы наклона касательной к поверхности пленки.

необходимость расчета на кручение так называемых тонкостенных стержней. Типичные формы прокатанных, гнутых, тянутых и прессованных профилей показаны на рисунке. Характерной геометрической особенностью тонкостенных стержней является то, что их толщина существенно меньше прочих линейных размеров.

Тонкие профили разделяются на замкнутые и открытые. Так, первые четыре профиля, показанные на рисунке, являются открытыми (незамкнутыми), а последние три - замкнутыми.

при помощи пленочной аналогии. Представим себе вырезанное в плоской плите отверстие по форме профиля и натянутую на нем пленку. Если приложить к пленке равномерно распределенную нагрузку, то пленка деформируется, но по-разному, в зависимости от того, замкнутым или открытым является профиль. Это различие иллюстрирует рисунок. В случае замкнутого профиля область внутри контура не связана с внешней областью и под действием давления смещается (см. рис. б). Это и предопределяет качественное различие между формами пленки для случаев замкнутого и открытого профилей.

Для открытого профиля пленка имеет наибольшие углы наклона по концам нормального отрезка (рис., а), причем примерно в середине толщины происходит смена знака угла наклона.

С большой степенью точности можно принять, что напряжения по толщине незамкнутого профиля распределены линейно.
В случае замкнутого контура деформированная пленка образует поверхность примерно постоянного угла подъема (рис. б), откуда следует, что распределение напряжений по толщине профиля близко к равномерному.

пленки, а следовательно, и напряжения в стержне сильно не изменятся, если профиль сечения распрямить. Т.е.напряжения в криволинейном открытом профиле будут примерно такими же, как и в прямом. Используем расчетные формулы, для прямоугольного сечения с большим отношением сторон a/b=∞

Полученные формулы являются общими, т.е. не зависят от формы профиля, если последний может быть развернут в прямоугольник.

В случае, если тонкостенный незамкнутый профиль является составным, и не может быть развернут в вытянутый прямоугольник, то момент Мк рассматривают как сумму моментов, возникающих в отдельных участках. Тогда,

где δ - толщина профиля (меньшая сторона прямо-угольника); s - длина контура поперечного сечения (большая сторона прямоугольника).

участке с наибольшей толщиной δmах · Для этого отдельно взятого участка, которому припишем номер k, справедливы формулы:

МКk - доля крутящего момента, соответствующего k-му участку; φ- угловое перемещение, единое для всех участков.

Исключая из этих выражений МКk, находим

Данный метод определения напряжений в незамкнутом профиле является приближенным, поскольку не учитываются повышенные местные напряжения во внутренних углах ломаного профиля. Чем меньше радиус закругления во внутренних углах, тем больше местные напряжения. Это наглядно можно проиллюстрировать при помощи пленочной аналогии. Местный угол наклона α пленки в точке А больше, чем в остальных точках внутреннего контура. Во избежание местных перенапряжений внутренние углы в профилях выполняют скругленными.

равномерно. Выделим из стержня элементарную призму длиной dx. Размер призмы в направлении дуги контура, т.е. расстояние между точками 1 и 2, является произвольным. Пусть толщина контура в точке 1 будет δ1, а в точке 2-δ2. Соответственно через τ1, и τ2 обозначим напряжения в поперечном сечении. В продольных сечениях возникают парные напряжения τ́1=τ1 и τ́ 2=τ2 . Составим для выделенного элемента уравнение равновесия, спроектировав все силы на направление оси бруса. Очевидно:

Так как точки 1 и 2 взяты произвольно, то τδ= const.
Таким образом, произведение τδ по длине замкнутого контура не изменяется. На участках, имеющих меньшую толщину, напряжения будут соответственно большими.

Выразим крутящий момент через напряжения τ. Для этого возьмем на контуре элементарный участок длиной ds. Момент силы τδds относительно произвольно взятой точки О равен δds|OA|. Тогда

x

x

z

dx

dx

удвоенную площадь треугольника ОВС, а интеграл от этого произведения по длине замкнутого контура дает удвоенную площадь, ограниченную средней линией контура. Обозначим эту площадь через A* в отличие от A. Таким образом

Наибольшее напряжение

Угловое перемещение φ для тонкостенного стержня замкнутого профиля поперечного сечения определим путем сопоставления потенциальной энергии, выраженной через напряжение τ, с потенциальной энергией, выраженной через внешний момент M. Обратимся к выражению удельной потенциальной энергии при сдвиге

выражение должно быть проинтегрировано по длине стержня l и по дуге замкнутого контура. Если стержень является однородным по длине, то

Последний интеграл зависит от закона изменения толщины по дуге контура и является геометрической характеристикой сечения. Учитывая, что

получим

Однако энергию U можно выразить как работу внешнего момента M на угловом перемещении φ: