Динамика механической системы и твердого тела (§12 - §14). Некоторые виды систем

скоростью

§ 12. Некоторые виды систем

Неизменяемой называют механическую систему, в которой расстояние между каждыми двумя взаимодействующими точками во все время движения остаётся постоянным

12.1. Неизменяемая система

В1В2 = const

Рассмотрим две точки в неизменяемой системе, т.е.

а точка В2 – со скоростью

т.к. , то

об изменении кинетической энергии для такой системы будет

или

связи, не изменяющиеся со временем

Разделим все внешние и внутренние силы на активные и реакции связей, тогда

и теорема об изменении кинетической энергии для такой системы запишется

Т.к. силы реакции связи – постоянные, то

Связи называются идеальными, если они не изменяются со временем и при элементарном перемещении системы сумма их работ равна нулю

скольжения по твердой поверхности

2. Если связью является неподвижная поверхность (или кривая), трением о которую можно пренебречь

4. Качение по абсолютно твердой поверхности (без деформаций)

и

= 0

В случае системы с идеальными связями теорема об изменении кинетической энергии

Вывод

(22)

запишется как движение центра масс

§ 13. Дифференциальные уравнения движения твердого тела

в координатном представлении

2. Если тело двигается вращательно, то по теореме моментов

а

– дифференциальное уравнение движения вращающегося тела

(23)

(24)

описывает уравнение движения центра масс системы, а уравнение для вращательного движения – его вращение относительно МЦС

времени к каждой из точек системы кроме действующих на нее внешних и внутренних сил присоединить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной и к ней можно применить все уравнения статики

Для каждой точки системы можем записать уравнение принципа Даламбера

(26)

Просуммируем по всем точкам системы

равновесия механической системы

− главный момент сил инерции относительно центра О

и

, то

(27)

движении

(28)

?

Главный вектор сил инерции системы равен произведению массы системы (тела) на ускорение центра масс и направлен в противоположную сторону ускорения

Тангенциальная и нормальная (центробежная) силы инерции

системы относительно центра О

(29)

?

− главный момент сил инерции системы относительно оси Z

движется поступательно, тогда

Все силы инерции образуют систему параллельных сил и имеют равнодействующую, проходящую через центр масс системы

Если тело имеет плоскость симметрии и движется параллельно этой плоскости, то равнодействующая сил инерции лежит в ней и приложена к центру масс тела, а пара сил имеет момент

ε − угловое ускорение тела

Если твердое тело совершает такое движение, то сила , т.к. , следовательно, система сил инерции сводится к паре сил с моментом, равным

постоянной угловой скоростью ω

14.3. Динамические реакции, действующие на ось при вращении тела

Реакции, возникающие в опорах при движении тела, называются динамическими

Пусть на тело действуют заданные силы, то проекции главного вектора этих сил будут

Тогда координаты центра масс и моменты инерции тела будут постоянными величинами

подшипников

XA, YA, ZA, XB, YB

Присоединим силы инерции всех частей тела, приведя их к центру А

Проекции этого момента будут

вращения тела

Составим уравнения равновесия, полагая АВ = b

Центр масс С имеет только нормальное ускорение , т.к. ω = const ,

О

и учтем, что Rин ||ОС и

Для нее тоже сила инерции имеет только центробежную составляющую, т.к. ω=const

Рассмотрим какую-нибудь точку тела, чтобы определить моменты сил инерции относительно осей.

О

моменты инерции тела

динамические реакции в подшипниках

О

Это зависит не только от ω, но и хС, уС, Jxz, Jyz.

Если ω = 0, то получаем статические реакции

Jyz = 0, то наличие вращения не влияет на значения реакций подшипников

Любую ось, проведенную в теле, можно сделать главной центральной осью инерции, прибавляя к телу две точечные массы!

Получили условие динамической уравновешенности вращающегося тела относительно оси Z

Динамическое уравновешивание вращающихся тел – важная техническая задача

Пусть для тела массой m координаты его центра масс и центробежные моменты инерции известны и не равны нулю: хС ≠ 0, yС ≠ 0, Jxz ≠ 0, Jyz ≠ 0

0

Прибавим к телу ещё две массы m1 и m2 в точках с координатами (х1, у1, z1) и (х2, у2, z2)

Найдем радиус-вектор центра масс такой системы и её центробежные моменты инерции

Чтобы для полученной системы ось Z стала главной центральной осью инерции, необходимо выполнение следующих условий