Электрические цепи переменного тока

времени Т. Определенное мгновенное значение синусоидального тока можно представить функцией вида:

где i – мгновенное значение тока, т. е. значение тока в данный момент времени; Im – максимальное значение тока, называемое амплитудой; Т – период колебания тока, т. е. интервал времени в секундах (с), за которое совершается одно полное колебание; k – любое целое число.

Частота – это число периодов колебаний какого либо процесса (тока, напряжения и др.) за одну секунду. Измеряется в герцах (Гц), 1 Гц = 1/с.

В теории электротехники ось времени (ось аргумента) часто представляют не в секундах (единица времени), а в углах. Для их измерения используют безразмерную радианную величину.
При этом вводится понятие круговой (угловой, циклической) частоты ω, рад/с, равной числу периодов колебания тока (напряжения) за 2π секунд:

Частота

Угловая (круговая) частота

в виде волновой диаграммы (см. рис. 2.2) можно изобразить через радианное измерение аргумента.

В этом случае закон изменения синусоидального тока выражается функцией вида:

фаза (аргумент) – величина (ωt + ψ). Фаза характеризует состояние колебания, т. е. она даёт возможность определить численное значение изменяющейся величины в данный момент времени t;
2) значение фазы при t = 0, когда ωt + ψ = ω*0 + ψ = ψ, называется начальной фазой и обозначается ψ.

При радианном измерении аргумента синуса ωt в течение времени Т фаза тока увеличивается на 2π.
Круговая частота ω показывает, на сколько радиан изменится фаза тока за 1 секунду.

величинами: амплитудой, угловой частотой (частотой, периодом) и начальной фазой.

Амплитуда

Угловая частота

Начальная фаза

Кроме понятий мгновенного и максимального значений тока и напряжения, существует понятие их действующего значения.
Например, действующее значение I синусоидального тока i = Imsin(ωt) численно равно значению такого постоянного тока, который за время, равное периоду синусоидального тока, выделяет на сопротивлении R такое же количество теплоты, что и синусоидальный ток.
Действующее значение тока ещё называют эффективным или среднеквадратичным. Его определяют из выражения:

Аналогично определяют действующее значение напряжения:

значением синусоидального переменного тока понимают его среднее значение за полпериода, и определяют из выражения:

Аналогично определяется среднее значение переменного напряжения:

изменяющейся функции к её действующему значению.
Так, для синусоидального тока:

Коэффициент формы – это отношение действующего значения периодически изменяющейся функции к её среднему значению за полпериода.
Так, для синусоидального тока:

Коэффициенты амплитуды Ka и формы Kф для несинусоидальных периодических токов и напряжений будут не равны своим значениям для синусоидальной функции.
Отличие Ka от 1,41 и Kф от 1,11 позволяет судить о том, насколько несинусоидальный ток или напряжение отличается (искажается) от синусоидального.

переменного синусоидального тока
математическим уравнением
Закон изменения синусоидального тока выражается функцией вида
Это уравнение определяет мгновенное значение тока, т.е. значение тока в любой момент времени.

математическим
уравнением

волновой
диаграммой

вращающимся
вектором

системе координат х и у имеется вектор длиной Im, расположенный под углом ψ к горизонтальной оси (рис. 4.1).
Заставим этот вектор вращаться против часовой стрелки с угловой скоростью ω. Тогда за время t он повернётся на угол ωt .
Проекцию вращающегося вектора на вертикальную ось обозначим через функцию i = Imsin(ωt + ψ). Функция i представляет собой мгновенное значение тока.

Рис. 4.1. Вращающийся вектор

Изображение тока с помощью вектора называется его векторной диаграммой.
Длина вектора может быть равна амплитудному значению Im, либо действительному значению I. Обычно вектор при этом показывается не в произвольный момент времени t , а в начальный, когда t = 0, т. е. угол наклона вектора к горизонтальной оси равен начальной фазе.

на рис. 2.3. Длины векторов равны действующим значениям тока и напряжения, углы их наклона к горизонтальной оси – начальным фазам, а угол между векторами, равный разности начальных фаз ψu и ψi , определяет сдвиг фаз ϕ между напряжением и током:
ϕ = ψu - ψi.

Рис. 2.3. Векторная диаграмма напряжения и тока

На диаграмме стрелка, показывающая угол ϕ, всегда изображается в положительном направлении – против часовой стрелки.
Векторная диаграмма даёт наглядное представление об отставании одних величин и опережении других.
Если начальные фазы U и I (ψu и ψi) равны нулю, то можно изображать векторную диаграмму без осей и располагать её как удобно.

изобразить в виде волновой диаграммы, представленный на рис. 2.4.
На волновой диаграмме указана начальная фаза, которая определяется углом ψ, измеряемым от ближайшей к началу координат точки перехода синусоиды через ноль до точки начала координат. Начальная фаза ψ положительна в тех случаях, когда начало синусоиды смещено от точки ноль (начало координат) влево и наоборот – отрицательна, когда смещена вправо.

Рис. 2.4. Волновая диаграмма синусоидального тока

в узле электрической цепи равна нулю
где n – число ветвей, сходящихся в узле.

ЗАКОНЫ КИРХГОФА В ЦЕПЯХ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА И МЕТОДЫ РАСЧЁТА ЭТИХ ЦЕПЕЙ

Для мгновенных значений ЭДС, токов и напряжений остаются справедливыми сформулированные ранее законы Кирхгофа.

(4.1)

Второй закон Кирхгофа: в любой момент времени в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме напряжений на всех остальных элементах контура
где m – число ветвей, образующих контур.

(4.2)

выполнение операций непосредственно над синусоидальными функциями времени по уравнениям (4.1) и (4.2)
- применение метода векторных диаграмм, основанного на уравнениях (4.3).

(4.1)

(4.2)

Токи, напряжения и ЭДС, входящие в уравнения (4.1) и (4.2), есть синусоидальные функции времени, которые рассматриваются как проекции определённых векторов на оси координат.
Так как сложению проекций соответствует сложение векторов и соответствующих им комплексных чисел, то справедливыми будут следующие уравнения, которые можно записать как для действующих, так и для амплитудных значений. Законы Кирхгофа в векторной форме:

(4.3)

отсюда i3 = i1 + i2, в результате:

Применение метода расчёта
непосредственно над синусоидальными функциями

В узле электрической цепи (рис. 4.4) сходятся три ветви. Даны токи двух ветвей:

Требуется записать выражение тока i3 и определить показания амперметров электромагнитной системы.

Рис. 4.4. Узел электрической цепи

Сумма двух синусоид одинаковой частоты есть тоже синусоида той же частоты. Её амплитуда и начальная фаза находятся по формулам:

откуда

Таким образом,

примере, в соответствии с 1-м законом Кирхгофа в векторной форме для цепи (рис. 4.4), запишем:

Так как треугольник oab – прямоугольный, а сторона ab равна длине вектора , то в этом треугольнике:

Начальная фаза ψ3 тока равна углу наклона вектора к горизонтальной оси

Построим в прямоугольной системе координат сумму векторов (рис. 4.5). Необходимо определить .

токов и напряжений. Поэтому
Проанализировав численные значения токов I1, I2 и I3, обращаем внимание на то, что
Это не ошибка. Надо знать, что в цепях синусоидального тока для показаний приборов законы Кирхгофа не справедливы.
В итоге можно складывать только мгновенные значения токов (синусоидальные функции времени) и векторы. Однако складывать численные значения токов и напряжений, а также показания приборов нельзя.