Колебания-1. Гармоническое колебание и его характеристики. Модель гармонического осциллятора

электромагнитными, электромеханическими.
Механическими колебаниями называются периодические (или почти периодические) изменения физической величины, описывающей механическое движение (скорость, перемещение, кинетическая и потенциальная энергия и т. п.), это движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям.
Свободные (собственные) колебания- колебания, происходящие в системе, предоставленной самой себе после того, как она была выведена из положения равновесия.
Вынужденные- колебания, в процессе которых система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы.
Параметрические колебания- колебания, при которых происходят периодическое изменение какого-либо параметра системы.

сила тяжести уравновешивается силой упругости:
X-смещение из положения равновесия, нуль совмещен с положением равновесия.
Сместим из положения равновесия, то удлинение равно:
Проекция результирующей силы на ось х:

Работа для смещения на x против квазиупругой силы:

- квазиупругая сила

Потенциальная энергия системы при смещении из положения равновесия:
Кинетическая и потенциальная энергии взаимнопревращаются.

действием силы описывается линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка:
Общее решение имеет вид:
Движение системы, находящейся под действием квазиупругой силы представляет собой гармонические колебания.

времени x = f (t).
Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания-колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону косинуса или синуса: x = xm cos (ωt + φ0).
Здесь x – смещение тела от положения равновесия, xm – амплитуда колебаний, т. е. максимальное смещение от положения равновесия, ω – циклическая или круговая частота колебаний, t – время. Величина, стоящая под знаком косинуса φ = ωt + φ0 называется фазой гармонического процесса. При t = 0 φ = φ0, поэтому φ0 называют начальной фазой. Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний T .
Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний: ν=1/T. Частота колебаний f показывает, сколько колебаний совершается за 1 с. Единица частоты – герц (Гц). Частота колебаний f связана с циклической (круговой) частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:
w=2π/T = 2πν

и Ер изменяются с частотой в два раза превышающие частоту гармонических колебаний. Среднее значение Ек = среднему значению Ер = ½ Е

имеет вид:
Гармонический осциллятор представляет собой систему, совершающую гармонические колебания около положения равновесия.
Импульс гармонического осциллятора:
Импульс как функция от координаты –фазовая траектория:

Плоскость (p,x) – фазовая плоскость.
Полная энергия гармонического осциллятора = произведению собственной частоты и площади эллипса:
,

которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке.
Отклонение маятника от положения равновесия описывается углом φ.
Вращательный момент при отклонении маятника(«-» - стремится вернуть маятник в положение равновесия):

Уравнение динамики вращательного движения:
Рассмотрим малы колебания sin φ≈ φ и обозначим g/l= w02:
Решение имеет вид: - угловое отклонение изменяется по гармоническому закону.
Период колебания математического маятника:

не совпадающей с его центром инерции.
Вращательный момент, возникающий при смещении из положения равновесия:
где m – масса маятника, l- расстояние между точкой подвеса и центром инерции маятника.

Уравнение динамики вращательного движения:
Рассмотрим малы колебания sin φ ≈ φ и обозначим mgl/I= w02:
Отклонение от положения равновесия описывается гармоническим законом!
Частота колебаний зависит от массы маятника, момента инерции маятника относительно оси вращения и расстояния от оси вращения до центра масс

период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника:

Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром инерции, лежащей на расстоянии приведённой длины от оси вращения, называется центром качения физического маятника.
Подставим теорему Штейнера: I=I0+ml2 и получим:
Приведённая длина всегда больше l! Точка подвеса и центр качения лежат по разные стороны от центра инерции.
Период колебаний:

вдоль одной прямой.
Пусть колебания заданы уравнениями:

Отложим из точки О вектор  под углом φ1 и вектор  под углом φ2. Оба вектора вращаются против часовой стрелки с одинаковой угловой скоростью ω, поэтому их разность фаз не зависит от времени. Такие колебания называют когерентными.
     Суммарная проекция вектора А равна сумме проекций на ось: результирующее колебание изображено вектором амплитуды А=А1+А2, вращающимся вокруг точки О с угловой скоростью ω.
Результирующее колебание :

Метод векторных диаграмм

в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания.
Амплитуда А результирующего колебания зависит от разности начальных фаз .

движение можно рассматривать как гармонические колебания с пульсирующей амплитудой- такие колебания называются биениями:
w и a – частота и амплитуда одного колебания
w+∆w и a - частота и амплитуда второго колебания, ∆w<Уравнения:

Амплитуда положительная величина:

называют частотой биения, равной разности частот складываемых колебаний.

Амплитуда положительная величина:

y. Начальная фаза первого колебания равна 0.
Уравнения колебаний:
α – разность фаз колебаний
Преобразуем:
Получили уравнение эллипса с осями вдоль x и y. Ориентация и величина полуосей эллипсов зависит от амплитуд a и b и разности фаз α

Сложение двух взаимноперпендикулярных колебаний

– гармонические колебания вдоль прямой с частотой w и амплитудой:

Уравнение:
Движение по часовой стрелке

α = - π/2
Уравнение:
Движение против часовой стрелки

Равномерное движение по окружности есть сумма двух взаимно перпендикулярных колебаний:
«+» - против часовой стрелки,
«-»-по часовой стрелки.