Электростатическое поле

двух типов – положительные и отрицательные.
Свойства зарядов:
1) Электрический заряд любого типа состоит из целого числа элементарных зарядов

Под элементарным отрицательным зарядом понимают заряд электрона,
под элементарным положительным зарядом – заряд протона.
2) Закон сохранения заряда. В электрически изолированной системе, независимо от природы происходящих в ней процессов, алгебраическая сумма зарядов есть величина постоянная.
3) Величина заряда не зависит от того, покоится заряженное тело или движется, она имеет одно и то же значение в различных инерциальных системах отсчета.

) формулируется следующим образом:
Между двумя неподвижными точечными зарядами, находящимися в вакууме, существует сила взаимодействия , пропорциональная произведению этих зарядов и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними.
Векторная форма закона Кулона имеет вид:

где

– сила, действующая на данный заряд со стороны другого,
– вектор, проведенный к рассматриваемому заряду от другого заряда
(рис. 1.1).

Скалярная форма закона Кулона в СИ имеет вид

Рис.1.1

можно пренебречь.
Пробный заряд – положительный заряд, достаточно малый по величине, чтобы при внесении его во внешнее поле не изменять это поле.
( «пробный» заряд – фактически это «прибор», которым мы «пробуем», есть электрическое поле или нет).

1.2 Напряженность электрического поля.

Электрическое поле – область пространства, в каждой точке которого существует сила, действующая на электрический заряд, помещенный в эту точку. Поле, действие которого на помещенные в него заряды со временем не меняется, называется статическим.

При помещении точечного пробного заряда в электрическое поле на него со стороны этого поля действует сила. Причем оказывается, что отношение этой силы от свойств пробного заряда совершенно не зависит, а определяется только свойствами поля в данной точке. Поэтому этим отношением описывают силовую характеристику электрического поля и называют ее напряженностью.

к величине пробного заряда

.

(1.1)

поля на единичный, положительный, точечный пробный заряд, помещенный в данную точку поля.

Рассмотрим поле точечного заряда.
Найдем напряженность поля заряда +q в произвольной точке А . Для этого поместим в точку А пробный заряд . На основании закона Кулона имеем:
поле точечного заряда обладает сферической
симметрией (рис.1.2).

Рис.1.2

Рис.1.3

Электростатическое поле можно описать, указав для каждой его точки величину и направление вектора напряженности .
Электростатическое поле можно представить графически с помощью линий напряженности, которые называют линиями вектора или силовыми линиями.

по направлению с   вектором напряженности в данной точке.

-- в каждой точке поля вектор имеет только одно направление, поэтому силовые линии нигде не пересекаются.

Свойства линий напряженности:
– начинаются у (+) q и оканчиваются у (-) q, или уходят на бесконечность;

Рис.1.4

– принято, чтобы количество линий напряженности, пересекающих единичную площадку, расположенную перпендикулярно линиям в окрестности данной точки, было пропорционально (или равно)

в данной точке

(см. рис.1.4).

В последнем выражении коэффициент пропорциональности равен единице, так как речь идет о числовом равенстве, знак равенства заключен в скобки.

точечных разноименных зарядов

линиям к центру или от центра. Это поле точечного заряда. –Однородное поле – вектор напряженности одинаков во всех точках поля по величине и направлению (рис.1.5 ). Такое поле изображается семейством параллельных прямых одинаковой густоты.

Рис.1.5

1.3 Принцип суперпозиции электрических полей

Он следует из принципа суперпозиции кулоновских сил.
Опыт показывает: взаимодействие двух зарядов не зависит от присутствия третьего:

поля , создаваемого системой точечных зарядов в произвольной его точке равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых в этой точке каждым зарядом в отдельности».

(1.3)

(1.3) – математическое выражение принципа суперпозиции.

В общем случае, если в пространстве расположена система зарядов

дает основная теорема электростатики – теорема Гаусса.

1.4 Поток вектора напряженности электростатического поля

Рис.1.7

Пусть в стационарном неоднородном электрическом поле, изображенном силовыми линиями на рис. 1.7, задана трехмерная поверхность S.
Выберем произвольно элементарную площадку

– достаточно малую, чтобы ее можно было считать плоской, а поле в пределах площадки – однородным

– единичный вектор нормали к :

,

– вектор элементарной площадки.

.

- проекция

на направление .

скалярному произведению векторов напряженности и элементарной площадки.
Поток – величина алгебраическая (рис.1.8)

Рис.1.8

Рис.1.9

Графически поток через элементарную площадку равен числу силовых линий, пересекающих эту площадку (рис 1.9):

поверхности S. Нормали к замкнутой поверхности всегда направлены наружу.

Полный поток Ф вектора

через поверхность S

(1.4)

Поток вектора напряженности поля через поверхность равен интегралу по этой поверхности от нормальной составляющей вектора к этой поверхности.

Графически поток вектора через поверхность равен алгебраическому числу силовых линий, пересекающих поверхность . Вклад линий в поток положителен N+, если они направлены в ту же сторону от поверхности, что и нормаль, в противном случае их вклад в поток отрицателен N- .
В случае замкнутой поверхности S число линий N+ вытекает, а N- втекает в нее (рис 1.10)

рис 1.10

Пример:

теорема электростатики, позволяющая рассчитать полей, созданных любыми протяженными заряженными телами.
Формулировка интегральной формы теоремы:

(1.5)

поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную .

Рассмотрим несколько соображений.
1. Проверим справедливость теоремы в поле точечного заряда (рис 1.11).

В силу симметрии поля на поверхности сферы S

– совпадает с точечного заряда,

, полученной из закона Кулона.

рис 1.11

Число силовых линий поля

поверхность и Ф<0 .

рис.1.12

рис.1.13

2. Внешние по отношению к поверхности заряды вклад в поток через поверхность не дают (рис.1.14)).

рис.1.14

– сферу смять так, чтобы на поверхности появились глубокие складки (рис.1.13)).

– сферу сместить так, чтобы заряд оставался в любой точке внутри ее (рис.1.12));

теоремы Гаусса:
Электростатическое поле имеет источники – , где начинаются

силовые линии, и стоки – (-)q, где силовые линии заканчиваются. Поток вектора через поверхность S характеризует мощность источников и стоков поля , находящихся внутри этой поверхности.

Теорема Гаусса является обобщением опытного закона Кулона и принципа суперпозиции напряженностей полей. Она позволяет рассчитать поля ,

созданного протяженными заряженными телами.

1.6 Применение теоремы Гаусса к расчету полей высокой симметрии.

Порядок применения теоремы: 0. Установить геометрию поля.
Через точку наблюдения провести замкнутую поверхность S так, чтобы по возможности была перпендикулярна или параллельна S.

2. Рассчитать поток вектора через поверхность и заряд q внутри поверхности.
3. Полученные выражения подставить в теорему Гаусса и вывести формулу для в точке наблюдения.

положительным).

.
Из соображений симметрии следует, что:

– напряженность поля в любой его точке перпендикулярна плоскости и направлена в противоположные стороны слева и справа от плоскости;
– во всех точках, находящихся на равных расстояниях от плоскости

.

В качестве замкнутой поверхности S для применения выражения (1.5) выберем цилиндрическую поверхность с образующей, перпендикулярной плоскости и основаниями , находящимися на равных расстояниях от плоскости и параллельными ей (рис 1.15а)).

(1.6)

через эту плоскость терпит разрыв (рис 1.15б)).

В проекции на ось OX напряженность поля можно записать так:

1.6.2 Поле двух бесконечных параллельных равномерно
заряженных плоскостей

Поле между плоскостями однородно,
а слева и справа от плоскостей отсутствует (рис 1.16а),б))

рис 1.16

(1.7)

R равномерно заряжена с поверхностной плотностью
, где q – заряд на поверхности сферы.
Из-за сферической симметрии распределения заряда напряженность поля в любой точке может иметь только радиальное направление.
Поэтому в качестве замкнутой поверхности в выражении (1.5) выбирается сфера, концентрическая данной.

:

;

:

;

Напряженность поля внутри сферы равна нулю, скачком меняется на ее поверхности; вне сферы ее поле полностью совпадает с полем точечного заряда, если его расположить в центре сферы, а сферу убрать, при условии

(рис 1.17б)).

(1.8)

заряда)

Вектор имеет радиальное направление (рис 1.18а),б)).

рис 1.18

В качестве замкнутой поверхности в (1.5) выбирается цилиндр, ось которого совпадает с нитью. Площадь боковой поверхности цилиндра , заряд внутри цилиндра .

(1.9)

пользоваться для расчета полей высокой симметрии. В случае произвольного электростатического поля, не обладающего симметрией, используют дифференциальную форму теоремы Гаусса.
Пусть заряд распределен в пространстве непрерывно и объемная плотность заряда является функцией координат: .
Выберем достаточно малый объем , в пределах которого .

Заряд, заключенный внутри этого объема .
Поток вектора через замкнутую поверхность S, охватывающую :

Поделим обе части этого выражения на и устремим к нулю: