Электротехника и электроника. Цепи с распределенными параметрами. (Лекция 15)

3. Режимы работы длинных линий.

Литература:

1. Зевеке Г.В., Ионкин А.В., Нетушил А.В.,Страков С.В. Основы теории цепей: Учебник для вузов, - М.: Энергоатомиздат, 1999 г, с. 344 –350.

2. Бакалов В.П., Игнатов А.Н., Крук Б.И. Основы теории электрических цепей и электроники: Учебник для вузов, - М.: Радио и связь, 1999 г, с. 235 –245.

3. Фрикс В.В. Основы теории цепей: Учебное пособие для межвузовского использования вузов, - М.: Радио Софт, 2002 г, с. 219 –228.

4. Использование отрезков длинной линии в качестве элементов селективных цепей СВЧ техники.

В качестве комплексной нагрузки ZH может быть телефон, антенна.

Ток и напряжение на выходе в конце сколь угодно малого участка (отрезка) цепи с распределенными параметрами не равны соответственно току и напряжению на его входе и отличаются как по величине, так и по фазе.

Ток и напряжение в любой точке цепи являются не только функциями времени t, но и пространственных координат (например – х –расстояние от одного из концов линии.

Цепи с распределенными параметрами характеризуются проходящими в них волновыми процессами. Поэтому напряжения и токи изменяются не только во времени, но и в пространстве: u(t,x); i(t,x)

Длинными линиями называются линии, геометрическая длина l которых больше длины волны λ в 10 раз: l > 10λ.

dL – характеризует результирующую индуктивность верхнего и нижнего проводов;

dR– характеризует результирующее сопротивление потерь в проводах;

dС– характеризует величину емкости между проводами;

dG– характеризует проводимость утечки между проводами;

Эквивалентная схема всей линии конечной длины содержит бесконечное множество аналогичных звеньев, соединенных последовательно.

погонное сопротивление, Ом/м

погонная индуктивность, Гн/м

погонная емкость, Ф/м

погонная проводимость, См/м

Однородной длинной линией называется такая линия, первичные параметры которой неизменны (постоянны) по всей ее длине.

ZB - волновое сопротивление линии , Ом;

D – расстояние между медными проводниками линии , мм;

εr – относительная диэлектрическая проницаемость; r – радиус проводов, мм;

Рассмотрим элементарный участок линии длиной Δх, находящийся на расстоянии х от начала линии

Уменьшение напряжения в конце участка линии Δx по сравнению с его началом вызвано падением напряжения на индуктивности L0Δх и сопротивлении R0Δх, а уменьшение тока происходит за счет ответвления тока через емкость С0Δх и проводимость изоляции G0Δх

Телеграфные уравнения

Найдем законы изменения амплитуд и фаз напряжений и токов в линии для режима установившихся гармонических колебаний (считая известным закон изменения токов и напряжений в линии)

Используя символический метод анализа гармонических колебаний:

Так как комплексные значения U и I являются функциями только х, то уравнения записываются не в частных, а в полных производных

Введя в рассмотрение обозначение

Уравнение Гельмгольца (волновое уравнение)

Коэффициент распространения в линии

α -коэффициент ослабления, т.е. величина потерь в линии: α = γ cos(ϕ)

β -коэффициент фазы, т.е. величина фазового сдвига в линии: β = γ sin(ϕ)

Из первого уравнения системы выразим ток

Решение телеграфных уравнений

Волновое сопротивление линии

Общее решение для тока

Напряжение и ток состоят из сумм двух слагаемых. Первые уменьшаются с увеличением расстояния от начала линии х, а вторые возрастают. В линии существуют два типа волн: падающие и отраженные волны.

Коэффициент отражения по напряжению показывает, какую часть амплитуды падающей волны в конце линии составляет амплитуда отраженной волны

Решения этой системы уравнений

Короткозамкнутая линия на конце → ZH = 0

Падающая и отраженная волны напряжения в конце линии имеют равные амплитуды и сдвинуты по фазе по отношению друг другу на 180º. Амплитуда результирующей волны напряжения в конце линии будет равна нулю. В тоже время падающая и отраженная волны тока будут иметь равные амплитуды, что приведет к увеличению вдвое тока в конце короткозамкнутой линии

Холостой ход в конце линии→ ZH = ∞ (σU= 1, σI= -1) – «противоположное»

В линии существуют только падающие волны напряжения и тока, отраженных волн нет, коэффициенты отражения по напряжению и току равны нулю.

Режим бегущей волны

Стоячие волны

Узлы тока и пучности напряжения

Узлы напряжения и пучности тока

Режим стоячих волн

Отрезок длинной линии с реактивным входным сопротивлением называется реактивным шлейфом.

Линейный вольтметр:

Непосредственное включение в цепь измерительного прибора при очень высокой частоте нарушает режим работы ЭЦ, так как вносит добавочное реактивное и активное сопротивление.

Подключение измерительного прибора к отрезку линии практически создает короткое замыкание. Входное сопротивление линейного вольтметра оказывается очень большим, и он не оказывает заметного влияния на цепь, в которой измеряется напряжение.

Пример: Для согласования нагрузки RH =50 Ом и линии с волновым сопротивлением ZB = 75 Ом потребуется четвертьволновый отрезок …