Гидрогазодинамика. Элементы теории гидродинамического пограничного слоя. (Тема 1. Лекции 3,4)

Сентябрь 15, 2022

Главная
Физика
Гидрогазодинамика. Элементы теории гидродинамического пограничного слоя. (Тема 1. Лекции 3,4)

Содержание

2. § 6. Элементы теории гидродинамического пограничного слоя Пограничный слой – тонкая по сравнению с размерами потока
3. В пределах погранслоя имеется поперечный градиент скорости, то есть действует сила внутреннего трения. В невозмущенном потоке
4. Из-за возрастания толщины погранслоя уменьшается среднее значение поперечного градиента скорости в нем, то есть уменьшается сила
5. Найдем уравнения, описывающие стационарное движение несжимаемой жидкости в ламинарном погранслое на плоской поверхности. В погранслое вектор
6. Рассматриваемое двумерное течение описывается следующей системой уравнений:
7. Оценим порядок входящих в систему величин и отбросим малые величины. Из-за малой величины погранслоя, то есть
8. Из самых общих соображений можно заключить, что в погранслое силы инерции и внутреннего трения должны быть
9. Второе уравнение вырождается в условие постоянства давления поперек погранслоя, и получаем следующую систему уравнений, называемых уравнениями
10. Неизвестными функциями в системе уравнений Прандтля являются u(x,y) и v(x,y). Распределение давления в погранслое вдоль оси
11. Уравнения Прандтля для плоской поверхности при стационарном ламинарном движении несжимаемой жидкости: Граничные условия для полученных уравнений
12. В стационарном потоке несжимаемой жидкости вблизи плоской поверхности выделим контрольный объем в виде прямоугольного параллелепипеда, размер
13. Определим результирующий поток импульса через поверхность выделенного параллелепипеда, то есть алгебраическую сумму потоков количества движения через
14. На расстоянии dx эта величина получит приращение и поток импульса через грань 3-4 с учетом того,
15. Так как жидкость несжимаема, то количество жидкости, поступающее в параллелепипед за единицу времени, должно быть равно
16. Подставляя выражения для потоков импульса, приводя подобные слагаемые и сокращая на dx, получим выражение, которое непосредственно
17. Для ламинарного погранслоя с учетом формулы Ньютона уравнение Кармана принимает вид: . Теодор фон Карман (1881–1963)
18. § 8. Расчет ламинарного пограничного слоя на основе интегрального метода Аппроксимируем поперечный профиль скорости в погранслое
19. 3) при y = δ u = u0; 4) при y = δ – условие гладкости
20. Подставим полученное выражение для u в уравнение Кармана, выполним интегрирование в его левой части и дифференцирование
21. . . Получили дифференциальное уравнение для определения толщины погранслоя: .
22. Разделим переменные и произведем сокращения: , откуда, интегрируя, находим: . При x = 0 δ =
23. Формула для δ позволяет найти u(x,y) и v(x,y). Продольная составляющая скорости находится из уравнения для профиля
24. § 9. Уравнение Бернулли Титульный лист «Гидродинамики» Даниил Бернулли (1700– 1782) – представитель известной династии ученых,
25. Рассмотрим элемент трубки тока, движение в котором происходит в направлении n. Жидкость движется в поле силы
26. Умножая обе части уравнения на ρ, получим: . Проинтегрируем по n и обозначим ρ⋅g=γ (удельный вес):
27. Величину α называют коэффициентом Кориолиса. Она учитывающий то обстоятельство, что динамическое давление, найденное по величине средней
28. § 10. Потери давления на трение и на местные сопротивления Потери давления на трение представляют собой
29. При ламинарном режиме движения λ~1/Re. Так, для круглой трубы . При турбулентном течении в гидравлически гладкой
30. Потери давления на местные сопротивления обусловлены, во-первых, изменением величины и направления скорости, то есть действием сил
31. Считаем, что на всей площади левого сечения контрольного объема давление постоянно и равно . Силой трения
32. В соответствии с уравнением неразрывности для несжимаемой жидкости в интегральной форме . . Для идеальной жидкости
33. , то есть потеря давления при внезапном расширении равна динамическому давлению потерянной скорости, что составляет содержание
35. Скачать презентацию

Слайд 2

§ 6. Элементы теории гидродинамического пограничного слоя
Пограничный слой – тонкая

по сравнению с размерами потока зона, в которой необходимо учитывать влияние сил внутреннего трения.
Рассмотрим стационарное движение неограниченного потока жидкости с однородным распределением скорости u0 вдоль полубесконечной плоской поверхности (неограниченна в направлении оси z и в положительном направлении оси x). За кромкой поверхности, то есть при x>0, скорость на поверхности равна нулю, следовательно, вблизи поверхности образуется область, в пределах которой скорость изменяется от 0 на стенке до u0 на ее верхней границе.

Слайд 3

В пределах погранслоя имеется поперечный градиент скорости, то есть действует сила

внутреннего трения. В невозмущенном потоке эта сила отсутствует. По мере удаления от кромки толщина погранслоя возрастает, поскольку тормозящее влияние стенки проникает все дальше в невозмущенный поток из-за поперечного переноса импульса.

Слайд 4

Из-за возрастания толщины погранслоя уменьшается среднее значение поперечного градиента скорости в

нем, то есть уменьшается сила трения. Однако увеличение толщины погранслоя означает увеличение движущейся в нем массы жидкости и, следовательно, силы инерции. При xКР, определяемым ~ 105 , образуется турбулентный погранслой, в котором имеется турбулентная зона I и ламинарный подслой II.
Толщина турбулентного погранслоя нарастает по длине плоской поверхности быстрее, чем толщина ламинарного, так как интенсивность макроскопического переноса импульса в направлении y существенно превосходит интенсивность молекулярного переноса. Вблизи стенки, где абсолютные значения скорости малы, а поперечный градиент скорости велик, сила инерции оказывается малой по сравнению с силой внутреннего трения, а потому ламинарный режим сохраняет устойчивость.

Слайд 5

Найдем уравнения, описывающие стационарное движение несжимаемой жидкости в ламинарном погранслое на

плоской поверхности.
В погранслое вектор скорости имеет проекции как на ось х, так и на ось у (см. параллелепипед 1-1-2-2 на слайде 3: расход жидкости, поступающей в параллелепипед через его левую грань, где скорость изменяется от 0 до u0, больше, чем расход жидкости, выходящей из параллелепипеда через правую грань, где скорость изменяется от 0 до величины, меньшей u0; – поскольку жидкость несжимаема, должно быть ее перемещение вдоль оси у).
Действием внешних массовых сил из-за малого объема погранслоя будем пренебрегать.

Слайд 6

Рассматриваемое двумерное течение описывается следующей системой уравнений:

Слайд 7

Оценим порядок входящих в систему величин и отбросим малые величины.
Из-за

малой величины погранслоя, то есть из-за того, что δ<Основным направлением движения является x, тогда порядок продольной компоненты скорости o(u)=1.
Для оценки порядка величины поперечной компоненты скорости используем уравнение неразрывности. Учтем, что порядок n-ой производной равен отношению порядка функции к порядку аргумента в степени n.
, а так как оба слагаемых в левой части уравнения неразрывности должны иметь одинаковый порядок, чтобы в сумме давать 0, тогда , но o(y)=δ, поэтому o(v)=δ.

Слайд 8

Из самых общих соображений можно заключить, что в погранслое силы инерции

и внутреннего трения должны быть величинами одного порядка. Левая часть уравнения Навье-Стокса, представляющая собой массовую плотность силы инерции, имеет порядок 1. А второе слагаемое в правой части – массовая плотность силы трения – также должно иметь этот порядок. Но выражение в скобках имеет порядок 1/δ2, следовательно, o(ν)=δ2.
Определив порядок величин в уравнениях Навье-Стокса, можно сделать два вывода:
1) в первом уравнении пренебрежимо малой величиной является ;
2) во втором уравнении все оцениваемые величины имеют порядок, не превышающий δ, тогда (считаем, что o(ρ)=1).

Слайд 9

Второе уравнение вырождается в условие постоянства давления поперек погранслоя, и получаем

следующую систему уравнений, называемых уравнениями пограничного слоя или уравнениями Прандтля:

Людвиг Прандтль (1875–1953) – немецкий ученый в области механики. В 1904 году он опубликовал фундаментальную работу – «Течение жидкости с малой вязкостью», в которой впервые описал теорию пограничного слоя и его влияние на лобовое сопротивление и срыв потока, дав объяснение явлению сваливания.

Слайд 10

Неизвестными функциями в системе уравнений Прандтля являются u(x,y) и v(x,y). Распределение

давления в погранслое вдоль оси x такое же, как и в невозмущенном потоке. Оно может быть найдено из уравнения Эйлера, для рассматриваемого случая имеющего вид:
.

Но , тогда .
Следовательно, давление в погранслое всюду постоянно.

Слайд 11

Уравнения Прандтля для плоской поверхности при стационарном ламинарном движении несжимаемой жидкости:

Граничные условия для полученных уравнений имеют вид:
при y=0 u=0, v=0;
при у=δ u=u0, .

Слайд 12

В стационарном потоке несжимаемой жидкости вблизи плоской поверхности выделим контрольный объем

в виде прямоугольного параллелепипеда, размер которого в направлении оси z примем равным 1. Нижняя грань параллелепипеда совпадает с плоскостью поверхности, а верхняя отстоит от поверхности на расстояние L, превышающее толщину погранслоя в данном сечении:

§ 7. Уравнение потока импульса для пограничного слоя

Слайд 13

Определим результирующий поток импульса через поверхность выделенного параллелепипеда, то есть алгебраическую

сумму потоков количества движения через все его грани. Будем считать поступающие вместе с втекающей в параллелепипед жидкостью потоки импульса – положительными, а уходящие – отрицательными.
Через единицу поверхности 1-2 в единицу времени проходит масса ρ⋅u, кг/(м2⋅с), а через элемент поверхности dy⋅1 – масса ρ⋅u⋅dy, кг/c. Умножив эту массу на u, получим поток импульса через элемент поверхности ρ⋅u2⋅dy, кг⋅м/с2.
Поток количества движения через всю поверхность 1-2
.

Слайд 14

На расстоянии dx эта величина получит приращение
и поток импульса через грань

3-4 с учетом того, что жидкость через эту грань вытекает, будет равен
.

В связи с тем, что в сечении 3-4 толщина погранслоя больше, чем в сечении 1-2, массовый расход, поступающий в параллелепипед через грань 1-2 (М1-2, кг/c), превышает поток массы, вытекающий через грань 3-4 (М3-4). Таким образом, через грань 2-3 жидкость покидает параллелепипед, и поток импульса через эту грань – отрицателен:
I2-3 = –M2-3 ⋅ u0 .

Слайд 15

Так как жидкость несжимаема, то количество жидкости, поступающее в параллелепипед за

единицу времени, должно быть равно количеству жидкости, выходящему из него:

Следовательно, с учетом постоянства u0 ,
.

В соответствии с законом сохранения импульса имеем:
I1-2 + I2-3 + I3-4 = dFТР = τW ⋅ dx .

Слайд 16

Подставляя выражения для потоков импульса, приводя подобные слагаемые и сокращая на

dx, получим выражение, которое непосредственно выражает закон сохранения импульса:
.

Учитывая, что ρ=const и что в пределах δ≤y≤L интеграл в левой части равенства обращается в нуль, так как в этих пределах u=u0, получим:
– уравнение Кармана.

Это уравнение справедливо как для ламинарного, так и для турбулентного погранслоя, поскольку закон сохранения импульса является общим законом механики.

Слайд 17

Для ламинарного погранслоя с учетом формулы Ньютона
уравнение Кармана принимает вид:
.

Теодор фон Карман (1881–1963) – американский инженер и физик венгерского происхождения, специалист в области воздухоплавания. Работал в Германии и США. Основные труды Кармана связаны с аэродинамическими проблемами авиации и космонавтики.

Слайд 18

§ 8. Расчет ламинарного пограничного слоя на основе интегрального метода
Аппроксимируем поперечный

профиль скорости в погранслое полиномом третьей степени:
u(y) = a + b ⋅ y + c ⋅ y2 + d ⋅ y3 ,
где коэффициенты a, b, c и d должно определить из граничных условий для распределения скорости:
1) при y = 0 u = 0 (условие прилипания) ⇒ a = 0;
2) при y = 0 – следствие 1-го уравнения
Прандтля для ламинарного погранслоя, так как на поверхности пластины u = 0 и v = 0 (пластина непроницаема) ⇒ с = 0;

Слайд 19

3) при y = δ u = u0;
4) при y

= δ – условие гладкости профиля скорости.
Третье и четвертое условия дают систему из 2 уравнений с 2 неизвестными, решая которую, найдем:
; .
Подставляя эти результаты в выражение для профиля скорости, получим:
.

Слайд 20

Подставим полученное выражение для u в уравнение Кармана, выполним интегрирование в

его левой части и дифференцирование в правой:

Слайд 21

.
.
Получили дифференциальное уравнение для определения толщины погранслоя:
.

Слайд 22

Разделим переменные и произведем сокращения:
,
откуда, интегрируя, находим:
.
При x

= 0 δ = 0 ⇒ c = 0. Тогда .
В безразмерной форме:
,
где Rex – число Рейнольдса, в котором роль характерного размера играет расстояние от кромки поверхности.

Слайд 23

Формула для δ позволяет найти u(x,y) и v(x,y). Продольная составляющая скорости

находится из уравнения для профиля скорости u(x,y) (слайд 19). После этого находится поперечная составляющая скорости из уравнения неразрывности (второе уравнение в системе Прандтля – слайд 11).
Подставим в формулу Ньютона для касательного напряжения трения выражение для поперечного распределения скорости:
.
Подставляя сюда формулу для δ, найдем
.

Слайд 24

§ 9. Уравнение Бернулли
Титульный лист «Гидродинамики»
Даниил Бернулли (1700– 1782)

– представитель известной династии ученых, швейцарский математик и механик, получивший аналитическое решение уравнений Эйлера для стационарного движения несжимаемой жидкости. В результате многолетних исследований в 1738 г. издал фундаментальный труд «Гидродинамика, или изъяснение сил и движений жидкости».

Слайд 25

Рассмотрим элемент трубки тока, движение в котором происходит в направлении n.

Жидкость движется в поле силы тяжести, ускорение которой направлено по оси z в отрицательную сторону:

Уравнение Эйлера в проекции на ось n (обозначим проекцию вектора скорости на это направление u и учтем, что в связи со стационарностью движения и малостью поперечного сечения трубки тока скорость и давление зависят только от n):
,
где .

Слайд 26

Умножая обе части уравнения на ρ, получим:
.
Проинтегрируем по n и

обозначим ρ⋅g=γ (удельный вес):
,
то есть сумма объемных плотностей кинетической энергии, потенциальной энергии давления и положения (динамического, статического и геометрического давления) не изменяется.
Для потока реальной жидкости в трубе или канале уравнение Бернулли имеет вид:
.

Слайд 27

Величину α называют коэффициентом Кориолиса. Она учитывающий то обстоятельство, что динамическое

давление, найденное по величине средней скорости, не равно среднему динамическому давлению в поперечном сечении трубы (канала), определяемому очевидным образом:
.

Гаспар-Гюстав де Кориолис (1792–1843) – французский математик, инженер и механик. Его имя внесено в список величайших ученых Франции, помещенный на первом этаже Эйфелевой башни.

pПОТ – потери давления, обусловленные переходом части механической энергии в теплоту.

Слайд 28

§ 10. Потери давления на трение и на местные сопротивления
Потери

давления на трение представляют собой работу силы трения, отнесенную к единице объема жидкости, и пропорциональны динамическому давлению, рассчитанному по средней скорости:
,

где ξТР – коэффициент сопротивления трения;
λ – гидравлический коэффициент трения;
L – длина исследуемого участка трубы;
– гидравлический диаметр трубы
(S – площадь поперечного сечения, P – периметр).

Слайд 29

При ламинарном режиме движения λ~1/Re. Так, для круглой трубы
.
При

турбулентном течении в гидравлически гладкой трубе в соответствии с эмпирической формулой Блазиуса
.

При течении в гидравлически шероховатой трубе λ рассчитывается по формуле Никурадзе:
,

где r0 – радиус трубы,
Δ – высота выступов шероховатости.

Слайд 30

Потери давления на местные сопротивления обусловлены, во-первых, изменением величины и направления

скорости, то есть действием сил инерции, во-вторых, вызванным силами давления разворотом части потока и образованием зон вихревого движения жидкости. Работа этих сил, отнесенная к единице объема жидкости, представляет собой потери на местные сопротивления, которые аналогично потерям на трение, рассчитываются как доля динамического давления
,
где ξМС – коэффициент местного сопротивления.
Этот коэффициент определяется экспериментально. Лишь для случая внезапного расширения его можно приближенно найти теоретически.

Слайд 31

Считаем, что на всей площади левого сечения контрольного объема давление постоянно

и равно . Силой трения на стенке трубы пренебрегаем. Тогда
,
так как сила давления, действующая на правое сечение контрольного объема, положительна, поскольку она уменьшает поток импульса.
.

Слайд 32

В соответствии с уравнением неразрывности для несжимаемой жидкости в интегральной форме

.
.

Для идеальной жидкости в соответствии с уравнением Бернулли
.

Слайд 33

,
то есть потеря давления при внезапном расширении равна динамическому давлению

потерянной скорости, что составляет содержание так называемой теоремы Борда.

Жан Шарль де Борда (1733–1799) – французский математик, физик, геодезист, политолог и моряк. Его изыскания, напечатанные в «Мемуарах» Парижской академии в 1763 г., 1767 и 1770 гг., привели к заключению, что сопротивление течению жидкостей пропорционально приблизительно квадратам скоростей. Борда занимался также истечением жидкостей из сосудов через малые отверстия, работами над установлением десятичной системы мер и весов.