Хаос и катастрофы

информации — это идея перераспределения чего-то уже имеющегося в наличии, уже произведенного.
Любой параметр, содействующий перераспределению вещества и/или энергии, выступает в информационном качестве.
Информационный параметр (параметр порядка) призван реализовать один из маршрутов распределения энергии и/или вещества из числа всех возможных путей такого распределения.
С вероятностной точки зрения информация есть устраняемая неопределенность. Высокой энтропии соответствует практически исчезающая информация.
Напротив, отвод энтропии равносилен поступлению в систему потоков энергии, пропорциональной определенному количеству информации.
При переходе к изучению все более сложных систем именно структурные, информационные аспекты их поведения и развития выступают на первый план, а динамика создает лишь основу для информационного развития.

Энтропия как причина возникновения хаоса при недостатке информации в системе

разверзаться) — категория космогонии, первичное состояние Вселенной, бесформенная совокупность материи(греч. χάος от греч. χαίνω — раскрываться, разверзаться) — категория космогонии, первичное состояние Вселенной, бесформенная совокупность материи и пространства(греч. χάος от греч. χαίνω — раскрываться, разверзаться) — категория космогонии, первичное состояние Вселенной, бесформенная совокупность материи и пространства (в противоположность порядку).
Динами́ческий ха́ос — явление в теории динамических систем, при котором поведение нелинейной системы выглядит случайным, несмотря на то, что оно определяется детерминистическими законами.
Причиной появления хаосаПричиной появления хаоса является неустойчивость (чувствительность) по отношению к начальным условиям и параметрам: малое изменение начального условия со временем приводит к сколь угодно большим изменениям динамики системы.
Положения теории хаоса:
сложные системы чрезвычайно зависимы от первоначальных условий;
небольшие изменения в окружающей среде ведут к непредсказуемым последствиям.
Математические системы с хаотическим поведением являются детерминированными, то есть подчиняются определенному строгому закону (являются упорядоченными, т.е. их можно описать с помощью математических методов).

Основные положения теории хаоса

(раздвоения при бифуркации удвоения) происходит в точке бифуркации.
Хаос может возникнуть через бифуркацию (теория Митчела Фейгенбаума (Feigenbaum) в соответствии с логистическим уравнением:
Xn+1=CXn - С(Хn)2,
где С - внешний параметр.
Отсюда (по теории Фейгенбаума) при некоторых ограничениях во всех подобных уравнениях происходит переход от равновесного состояния к хаосу.

Переход к хаосу через бифуркации, начальная стадия уравнения Xn+1=CXn - С(Хn)2

Состояние системы в момент бифуркации является крайне неустойчивым, и бесконечно малое воздействие может привести к выбору дальнейшего пути движения, что является главным признаком хаотической системы (существенная зависимость от начальных условий).

Дерево Фейгенбаума

в системе флуктуаций (fluctus, лат. — бурлящий). В любой системе имеют место флуктуации, связанные со сбоями в функционировании ее элементов, с поломками в структурных образованиях. Флуктуации необходимы и присутствуют в любой системе, но вместе с тем их появления означают нарушения в способе существования системы: отклонения от статистически среднего.
Достигая некоторого критического значения, флуктуации становятся источником бифуркации, коренной ломки предшествующего состояния. В результате бифуркации случайные и несогласованные микроскопические изменения захватывают весь объем ранее существовавшей системы без остатка.

Неравновесные фазовые переходы отличаются тем, что новое состояние достижимо и устойчиво только благодаря постоянному подводу энергии, так как происходит постоянная диссипация энергии (ее рассеяние).
Локальное уменьшение энтропии при образовании диссипативных структур компенсируется ее повышением в окружающей среде за счет передачи ей энтропии, произведенной в системе. С ростом потока энергии, компенсирующего диссипацию, вновь возникающие структуры становятся все более сложными.

при периодическом движении, возвращающем систему к исходному состоянию.
Для объектов, обладающих способностью бесконечно повторять собственную структуру, на микроуровне вводится специальное название — фракталы, включающие широкий класс естественных и искусственных топологических форм.
Главной особенностью этого класса является самоподобная иерархическая организационная структура. Самоподобие подразумевает, что внешняя — наблюдаемая форма изучаемого объекта или явления, представленная в графическом виде, включает в себя большое количество копий, исполненных по одному и тому же замыслу.
Такие копии могут быть последовательно обнаружены в любой точке фрактальной кривой или поверхности при уменьшении масштаба представления. Геометрические модели фракталов часто ассоциируются с утонченным узором, проявляя удивительную изощренность в построении простых и сложных объектов.
Простейший математический прототип фрактала — непрерывная, но бесконечно изрезанная линия, заданная некоторой функцией, не имеющая ни в одной точке производной.

Аттракторы и фракталы

обыкновенных дифференциальных уравнения, три константы и три начальных условия. Однако, несмотря на свою простоту, система Лоренца ведет себя псевдослучайным (хаотическим) образом.
Смоделировав свою систему на компьютере, Лоренц выявил причину ее хаотического поведения - разницу в начальных условиях. Даже микроскопическое отклонение двух систем в самом начале в процессе эволюции приводило к экспоненциальному накоплению ошибок и соответственно их стохастическому расхождению.
Любой аттрактор имеет граничные размеры, поэтому экспоненциальная расходимость двух траекторий разных систем не может продолжаться бесконечно. Рано или поздно орбиты вновь сойдутся и пройдут рядом друг с другом или даже совпадут, совпадение траекторий является правилом поведения простых предсказуемых аттракторов.

Скорость схождения-расхождения является мерой хаоса, т.е. численным выражением того, насколько система хаотична. Другой статистической мерой хаоса служит размерность аттрактора.
Основным свойством хаотических аттракторов является сходимость-расходимость траекторий разных систем, которые случайным образом постепенно и бесконечно перемешиваются.
Здесь проявляется пересечение фрактальной геометрии и теории хаоса, а одним из инструментов теории хаоса является фрактальная геометрия, фрактал - это противоположность хаоса.

Фрактал на основе аттракторов

является динамическим явлением, а фрактал статическим. Под динамическим свойством хаоса понимается непостоянное и непериодическое изменение траекторий.
Фрактал - это геометрическая фигура, определенная часть которой повторяется снова и снова. Свойства фрактала:
самоподобие;
дробность.
Дробность фрактала является математическим отражением меры неправильности фрактала.
Существующее вокруг нас случайное и неправильное может быть фракталом (облака, деревья, излучины рек, биения сердца, популяции и миграции животных или языки пламени).

Фрактал «ковер Серпинского» получается путем проведения ряда итераций.
Итерация (от лат. iteratio - повторение) - повторное применение какой-либо математической операции.

поведения качественными особенностями системы:
по осям а и b отложены значения независимых переменных;
по оси х - зависимой переменной. Возможным положениям системы соответствует поверхность катастроф. Проекция этой поверхности на плоскость (а, b) дает бифуркационную кривую.

Непрерывному изменению значений параметров a и b соответствует движение по кривой RT. В точке T происходит катастрофа - система скачком переходит с верхнего листа на нижний в точку Р.
Каждому значению параметров a и b внутри бифуркационной кривой соответствуют два различных состояния системы (бимодальность).
На поверхности катастроф можно наблюдать явление гистерезиса, когда поведение системы существенно зависит от предыстории процесса:
- при изменении состояния системы вдоль кривой RT происходит скачок с верхнего листа на нижний - из точки Т в точку Р;
- при движении вдоль кривой PQ скачок с нижнего листа на верхний произойдет не в точке Р, а в точке Q.

Катастрофа «сборка» как показатель степени опасности системы