Интерференция света. Пространственно-временная когерентность. Лекция 15(1)

двух когерентных источников
Взаимная когерентность световых волн
Пространственно-временная когерентность

(суперпозицию) двух гармонических световых волн одинаковой частоты ω, которые возбуждают в данной точке пространства колебания одинакового направления с амплитудами А1 и А2, т. е.
A1.cos(ωt + α1) и A2.cos(ωt + α2). Результирующее колебание с амплитудой А можно определить по теореме косинусов:
А2 = А12+ А22+ 2,А1.А2.cos δ, где δ = α2 – α1 – разность фаз возбуждаемых волнами колебаний.

Когерентными волнами называются волны одинаковой частоты, колебания светового вектора в которых отличаются постоянством разности фаз (разность фаз не зависит от времени).
Этому условию удовлетворяют полностью монохромати-ческие волны одинаковой частоты.

некогерентных волн разность фаз δ как-то случайно непрерывно изменяется во времени, принимая с равной вероятностью любые значения; при этом среднее по времени значение = 0 и, следовательно, А2= А12+ А22.
А, так как интенсивность волны I ~ A2, то здесь имеем I = I1 + I2 (сумма интенсивностей налагаемых волн).
В случае же наложения двух когерентных волн имеем интерференционное уравнение:
I = I1 + I2 + (11)
В точках пространства, где cos δ > 0, получаем I > I1 + I2, т.е. усиление колебаний (появление Imax), а там, где cos δ < 0, имеем I < I1 + I2, т.е. ослабление колебаний (появление Imin).
Явление, возникающее при наложении двух (или более) когерентных волн и заключающееся в получении соответст-вующей интерференционной картины (т.е. получение в местах наложения волн чередующихся максимумов и минимумов интенсивности), называется интерференцией волн.

обычного источника света
Естественный свет, обусловленный обычными некогерентными источниками (не лазерами) не является монохроматичным, так как представляет собой суперпозицию целого огромного множества элементарных цугов волн, испускаемых возбужденными атомами (независимо и случайным образом) излучающего тела; причем фазы колебаний отдельных цугов никак не урегулированы и меняются случайным образом. В связи с этим возникает трудность в получении интерференционной картины от двух (и более) обычных источников.
Однако когерентные световые волны можно получить даже от обычных источников. Для этого волну, излучаемую одним источником (обычная лампа), разделяют оптическим способом (с помощью отражений и преломлений) на две части (два луча) и затем накладывают их друг на друга подходящим способом. «Расщепленные» лучи пройдут разные оптические пути ni.ri и будут обладать оптической разностью хода:
Δ = n2.r2 – n1.r1 (11)
При этом разность хода Δ не должна быть слишком большой, так как складывающиеся колебания должны принадлежать одному цугу волн

обычного источника света
Если разделение на две когерентные волны происходит в точке О границы раздела двух оптических сред (с n1, n2), где имеет место общая фаза колебаний ω.t, то в точку наложения Р эти волны, пройдя соответствующие пути n1.r1 и n2.r2, принесут колебания A1.cosω(t + r1/v1) и A2.cosω(t + r2/v2). Здесь v1= c/n1, v2= c/n2 – фазовые скорости этих волн в соот-ветствующих средах. Следовательно разность фаз колебаний, возбуждаемых этими волнами в точке Р будет:

Зр1

Зр2

r1

r2

O

P

n2

Лм

Лм – лампа накаливания
Зр1, Зр2 - зеркала

δ = ω(r2/v2 – r1/v1) = ω/c.(n2.r2 – n1.r1), а заменив ω/с = 2π/λ0 и использовав (11) для Δ, получаем связь разности фаз и оптической разности хода налагаемых волн:
δ = 2π/λ0.Δ (12)

n1

после «расщепления» когерентные волны можно представить («как бы») исходящими из двух точечных источников S1 и S2 (действительных или мнимых – это не существенно), которые при условии Δ << 1 м - будут когерентными. В области, где эти волны перекрываются – в зоне интерференции – должна возникать интерференцион-ная картина, т. е. система чередующихся максимумов и мини-мумов интенсивности освещенности, которую можно наблю-дать на экране (в виде системы светлых и темных полос).

S1

S2

P

O

O1

r1

r2

Исследуем картину в точке Р экрана. 1) Если оптическая разность хода лучей S1P и S2P равна целому числу длин волн:
Δmax= ±m.λ0, где m=0,1,2,… (13)
то колебания в точке Р будут происходить в фазе (δ = ±m.2π) и условие (13) есть условие воз-никновения Imax.

Э

Δ

ЗИ

условии: Δmin= ±(m + 1/2).λ0 (14)
возникают Imin (колебания приходят в точку Р в противофазе, т. е. их δ = ±(2.m + 1).π).
В практически важных случаях (для наблюдения четкой картины) необходимо обеспечить следующие условия: рассто-яние между источниками d << l – удаления источников от экрана; угол θ – мал. При этом оптическая разность хода рассматриваемых лучей Δ = r2 – r1 = d.sinθ ≈ d.θ, так как sinθ ≈θ, а также tgθ ≈ θ и по определению tgθ = x/l, где х – коор-дината точки Р.

S1

S2

I

O

O1

θ

l

d

r1

r2

Заменив θ в выражении для Δ на x/l и воспользовавшись условием (13) для Imax, можно определить координаты макси-мумов: xmax = ±m.(l/d).λ0 (15)
Аналогично с учетом (14) можно получить координаты миниму-мов: xmin=±(m+1/2)(l/d).λ0 (16)

Э

Δ

точке О экрана наблюдается центральный максимум нулевого порядка (m = 0).
Ширина интерференционной полосы Δх, иначе говоря расстояние между соседними минимумами интенсивности, определяется по формуле: Δх = (l/d).λ0 (17)
Последнюю формулу с учетом угла наблюдения когерентных источников φ ≈ d/l можно переписать как
Δх ≈ λ0/φ (18)

S1

I

O

O1

φ

l

d

Δx

Замечание: В случае распро-странения света в среде с показателем преломления n в формулах (13 – 18) следует вместо λ0 подставлять λ=λ0/n – длину волны в данной среде.

Э

оптической схеме «бипризма Френеля» для разделения исходной световой волны на две когерентные волны используют двойную призму БП с малым преломляющим углом θ (θ ≤ 10 уг. мин). Источником света является ярко освещенная щель S, параллельная преломляющему углу бипризмы. При условии, что углы падения лучей от щели S на грань призмы – достаточно малы (удаление призмы а от щели большое), все лучи отклонятся (преломятся) каждой из половин призмы на одинаковый угол α = (n – 1).θ, где n – показатель преломления призмы.

S1

O’

b

a

Образуются когерентные волны, исходящие из мнимых источников S1 и S2 (находятся в одной плоскости со щелью S), в форме конусов CS1B и AS2D.
Расстояние между когерент-ными источниками: d = 2.a.tgα ≈ 2.a.α = 2.a.(n – 1).θ; удаление источников от экрана: l = a + b.

Э

В

O

O1

O2

α

α

θ

d

БП

2α

за бипризмой формируется зона интерференции ЗИ, которая образует на экране Э интерференционную картину шириной:
АВ = 2.b.tgα ≈ 2.b.α = 2.b.(n – 1).θ
Используя стандартную формулу (17), определяем ширину интерференционной полосы:
Δx = (l/d).λ =
Полное число наблюдаемых полос в картине определяется как:

Расчет интерференционной картины от двух когерентных источников

2α

ЗИ

или волновых процессов.
Различают: временную и пространственную когерентность.
Степень согласованности колебательных (волновых) процессов называют степенью когерентности.
Так как в общем случае реальные световые волны не являются ни строго когерентными (когда у них разность фаз δ= const во времени), ни строго некогерентными (когда δ –var хаотически во времени), они – частично когерентны (для них -1< cosδ < 1), то при суперпозиции двух таких волн наблю-даются максимумы и минимумы интенсивности, которые зависят от времени:
где |γ12(τ)| - степень взаимной когерентности двух волн; причем при |γ12(τ)| = 1 имеем полностью когерентные волны, при |γ12(τ)| = 0 – полностью некогерентные волны и при 0<|γ12(τ)|<1 – частично когерентные волны.

источников света (их степени монохрома-тичности λ/Δλ); 2) от времени запаздывания τ (т.е. разности времен распространения света от каждого источника до точки наблюдения).
Напоминание: Интерференция наблюдается только в случае, когда оптическая разность хода когерентных лучей Δ или, иначе говоря, их запаздывание τ с приходом в точку наблюдения – не слишком велики.
Опыт Юнга (часть 1)

S1

S2

P

O

O1

Э

S

Д2

Д1

b

a

Сначала яркий пучок немонохроматического света падает на идеально узкую щель S диафрагмы Д1. Затем расходящийся пучок освещает диафраг-му Д2 с двумя узкими щелями S1 и S2, которые уже работают как пара когерентных источников.

экране Э только до некоторого порядка, например m=3, а далее она раз-мывается.
Дифрагированные лучи S1Р и S2Р, попадающие

в точку Р экрана, становятся практически некогерентными (их степень когерентности |γ12| —› 0). Иначе, пока их разность хода Δ не превышала величины m.λ (т.е. Δ≤m.λ), налагаемые колебания в какой-то степени еще были когерентными.
Следовательно, вдоль распространения волны когерент-ными между собой будут только участки волны, заключенные в этом интервале длины; данный интервал называют длиной когерентности: lк = m.λ (20)
где m – максимальный порядок видимой интерференционной полосы.

и S2P – изначально когерентны и обладают длиной когерентности lк, но по мере их распространения к точке Р и далее, у них растет разность хода Δ (по сравнению с лучами, попадающими в центральную область экрана), их участки когерентности постепенно сдвигаются относительно друг друга и, начиная с точки Р, перестают перекрывать друг друга. В результате здесь накладываются уже некогерентные колебания, и интерферен-ционные полосы исчезают.
Часто используют понятие временной когерентности, которой характеризуют сохранение взаимной когерентности при временном запаздывании двух волн, полученных от одного источника (или от одной точки волнового поля).
Количественной характеристикой здесь служит время когерентности τк – это минимальное запаздывание τ, для которого степень взаимной когерентности |γ12(τ)| = 0.
Связь длины когерентности и времени когерентности (для вакуума): lк = τк.c (21)

свет – это набор монохроматических компонент в некотором конечном интервале длин волн [λ, λ+Δλ] (предполагается равномерное распределение компонент по интервалу), а ширина интерференционных полос Δх ~ λ, то у световой волны наряду с основными максимумами Imax, обусловлен-ными действием крайних составляющих λ и (λ+Δλ), начинают сказываться (особенно с некоторого m=3) дополнительные максимумы, вызванные промежуточными спектральными ком-понентами λi. Эти максимумы постепенно будут заполнять промежутки между основными Imax, а этот процесс приведет к «смазыванию» интерференционной картины полос.
Таким образом, условием исчезновения четких полос явля-ется равенство: m.(λ+Δλ) = (m+1).λ, где m – максимальный наблюдаемый порядок в картине; при этом Imax m-го порядка от длины волны (λ+Δλ) наложится на Imax (m+1)-го порядка от длины λ. Разрешив последнее равенство относительно порядка m = λ/Δλ, где справа стоит степень монохроматич-ности источника, согласно (20) получим lк = m.λ = λ2/Δλ (22)

когерентности двух лучей, взятых из различных точек сечения пучка. При этом взаимная когерентность проверяется по интерференции при запаздыва-нии τ = 0, т.е. в системе (19) для Imax и Imin используется степень взаимной когерентности |γ12(0)|.
Количественной характеристикой пространственной коге-рентности может служить площадь когерентности Sк – это ограниченная кривой |γ12(0)| = 0 площадь нормального сечения пучка лучей, в пределах которой степень когерентности принимает значения от 1 (внутри сечения) до 0 (на границе сечения).

Sк

γ12(0)=1

γ12(0)=0

Замечания: Так как строго монохромати-ческий пучок лучей, испускаемых точеч-ным источником, всегда когерентен, то он имеет неограниченную площадь Sк —›∞.
С увеличением размеров реального исто-чника площадь когерентности сужается.

влияние ширины щели S (как источника света) на результирующую интерференционную картину.
Увеличение размера щели, как и уменьшение степени монохроматичности света, ведет к ухудшению (размыванию) интерференционных полос и в пределе - к их исчезновению.
Пусть падающее на диафрагму Д1 излучение – монохро-матичное, а щель S – широкая.

Результирующую карти-ну на экране Э можно представить как наложение картин от бесконечно узких щелей, на которые мыслен-но разобьем всю щель S.
Пусть положение макси-мумов на экране от «щели» вблизи края 1 показано

S1

S2

P1

Э

S

Д2

Д1

b

a

1

2

сплошной линией, а максимумы от «щели» у края 2 будут сме-щены вверх и показаны пунктирной линией.

максимумами от промежуточных «щелей» (между краями 1 и 2 щели S). При расширении щели S расстояния между макси-мумами от ее крайних элементов будут увеличиваться, а интервалы между соответствующими картинами все больше будут заполняться дополнительными максимумами. Результи-рующая картина сильно усложняется и становится нечеткой.

Это явление можно тол-ковать иначе: интерферен-ционная картина исчезает потому, что вторичные источники S1 и S2 становят-ся некогерентными. Здесь обычно говорят о ширине когерентности падающей

S1

S2

P1

Э

S

Д2

Д1

b

a

1

2

d

на щели S1 и S2 волны, т.е. такой ширине hк, на которой отдельные участки волны в достаточной степени когерентны между собой. В данной установке следует принять: hк ≈ d .