Кинематика движения материальной точки

1. Понятие механики, разделы в механике

Предметом классической механики является механическое движение взаимодействующих между собой макротел при

Модели в механике
МАТЕРИАЛЬНАЯ ТОЧКА - тело, размерами и формой которого можно

2.2. Система отсчета, тело отсчета

Всякое движение относительно, поэтому для описания движения

Пространство трехмерно, поэтому наиболее применяемой системой координат является, декартова или прямоугольная

Кинематические уравнения движения материальной точки:
Эти уравнения эквивалентны векторному уравнению

где х, у,

Число независимых координат, полностью определяющих положение точки в пространстве, называется числом

2.3. Кинематика материальной точки

2.3.1. Траектория , путь, перемещение

Положение точки А в

При движении точки А из точки 1 в точку 2 её

Пусть за время Δt точка А переместилась из точки 1 в

2.3.2 Скорость

Скорость движения – это векторная величина, определяющая быстроту и направление

Мгновенная скорость -вектор скорости в данный момент времени равен первой производной

При Δt → 0 т.е. на бесконечно малом участке траектории (перемещение

Обратное действие – интегрирование

– площадь бесконечно узкого прямоугольника. Чтобы вычислить

Геометрический смысл этого интеграла в том, что площадь под кривой есть

Если материальная точка участвует в нескольких движениях, то ее результирующее

Так как
Тогда

Таким образом, скорость тоже подчиняется принципу независимости

2.3.3. Проекция вектора скорости на оси координат

В векторной форме уравнения

х

у

Z

Проекции вектора скорости на оси равны:

где i, j, k единичные векторы – орты.

Модуль вектора скорости:

Так

Ускорение - это векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости по модулю

Введем единичный вектор , связанный с точкой 1 и направленный

Найдем общее ускорение (как производную):

Получили два слагаемых ускорения:

–

X

Y

Z

K

М

r(t)

L

v

a

τ

n

При произвольном движении
точки имеем:

aτ

an

O

или по модулю

-показывает изменение вектора скорости по величине:

- если

Ускорение при произвольном движении

При произвольном движении материальной точки величина r будет

Центростремительным называют ускорение – когда движение происходит по окружности. А когда

r

v

a

an

aτ

Суммарный вектор ускорения при движении точки вдоль плоской кривой равен:

Модуль общего

Типы ускорений

Частица движется прямолинейно

Чтобы более наглядно представить свойства введенных составляющих полного

При равномерном движении
При движении с постоянным ускорением

2.4. Кинематика твердого тела

Различают пять видов движения твердого тела:
- поступательное;
- вращательное

2.4.1. Поступательное движение твердого тела

Поступательное движение – это такое движение твердого

Скорости и ускорения всех точек твердого тела в данный момент

При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых

2.4.2. Вращательное движение вокруг неподвижной оси

Движение твердого тела, при котором две

Угол поворота характеризует перемещения всего тела за время dt (угловой путь) Удобно

Угловой скоростью называется вектор численно равный первой производной от угла

Связь линейной и угловой скорости
Пусть – линейная скорость точки М.

Период Т – промежуток времени, в течение которого тело совершает полный

Введем вектор углового ускорения
для характеристики неравномерного вращения тела:

Вектор направлен в

Выразим нормальное и тангенциальное ускорения точки М через угловую скорость и

Формулы простейших случаев вращения тела вокруг неподвижной оси:
- равномерное вращение

Связь между линейными и угловыми величинами при вращательном движении: