Колебательные процессы

колебаний и сам колеблющийся объект могут быть различны: температура, атомы твердого тела, центр тяжести маятника, электрическое и магнитное поля и т.д. Среди них особое место занимают механические колебания. К данному виду колебаний можно отнести движение маятников, струн, мембран телефонов, поршней двигателей внутреннего сгорания, мостов и других сооружений, подвергнутых действию переменной силы. Механическим колебанием называется процесс, при котором характеристики движения принимают одни и те же значения через некоторые промежутки времени. Колебания, при которых значения физических величин, описывающих данный процесс, повторяются через равные промежутки времени называются периодическими. Минимальное значение этого промежутка времени называется периодом колебаний.(T) .

процесс, изменяется со временем по закону косинуса или синуса:
ξ(t) = Acos(ω0t + α). (1)
Константа A называется амплитудой колебания. Амплитуда это наибольшее значение, которое может принимать колеблющаяся величина. Согласно определению, она всегда положительна. Выражение ωt + α, стоящее под знаком косинуса, называют фазой колебания. Она позволяет рассчитать значение колеблющейся величины в любой момент времени. Постоянная величина α представляет собой значение фазы в момент времени t = 0 и поэтому называется начальной фазой колебания. Значение начальной фазы зависит от выбора начала отсчёта времени. Величина ω получила название циклической частоты, физический смысл которой связан с понятиями периода и частоты колебаний.
Периодом незатухающих колебаний называется наименьший промежуток времени, по истечении которого процессы повторяются, или время одного полного колебания. Число колебаний, совершаемых в единицу времени, называют частотой колебаний. Частота ν связана с периодом T колебаний соотношением
ν =1/Τ. ω = 2π/Τ = 2π ν.
Из этого соотношения следует физический смысл циклической частоты. Она показывает, сколько колебаний совершается за 2π секунд.

первоначального толчка, называются свободными.
Примером свободных колебаний являются колебания математического маятника.
Если в процессе движения маятник не испытывает сил трения и сопротивления, то его малые колебания (угол отклонения от положения равновесия α < 6 градусов)  можно считать гармоническими.
При наличии в системе сил трения или сопротивления свободные колебания будут затухающими.
Колебания, возникающие в системе под воздействием переменной внешней силы, называются вынужденными(b)

Рассмотрим колебания, совершаемые под действием возвращающей силы F = -kx, знак ‘ –’ указывает, что направление F и x противоположны; k- коэффициент пропорциональности.
Тангенциальная составляющая силы тяжести F= Psin α ≅ mg α. Ввиду малости α:
α ≅ sin α ≅ tg α=x/l, где x- смещение, l – длина нити.

– масса колеблющейся точки, – ускорение.

Введем обозначения

(3)

получим

Получили дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний , совершаемых под действием упругой или квазиупругой силы при отсутствии сил сопротивления.

(3*)

(*),

индуктивности и ёмкости, называют колебательным контуром (рис. 2). Электрическим сопротивлением контура пренебрегаем (R = 0). Для установления характера процессов, возникающих в контуре после зарядки конденсатора, надо составить дифференциальное уравнение, используя второе правило Кирхгофа. Согласно этому правилу, запишем εs = uс (εs — э. д. с. самоиндукции, uc — напряжение на конденсаторе).
Но uс = q/C, где q и C заряд и ёмкость конденсатора, а

Здесь L - индуктивность соленоида, i - сила тока в контуре. С учётом этого

L

C

R

Рис. 2

получаем

(4)

Введем обозначения

(4*)

С точки зрения математики уравнения (3) и (4) одинаковые. Их можно записать в виде:

Отсюда

(5)

где в случае маятника ξ = x

и для эл. колебательного контура ξ = q

уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения надо составить характеристическое уравнение и решить его:
Отсюда и где - мнимая единица.

Решением этого дифференциального уравнения будет выражение:

ξ(t) = Acos(ω0t + α). (1)

и является функцией времени.

и опережает колебания смещения по фазе на π и опережает колебание скорости по фазе на π/2.