Скалярное поле. Поверхности и линии уровня. Градиент скалярного поля. Лекция 30

§ 1. Скалярные и векторные поля.
Определение. (скалярного поля). Если в трехмерном

Пример. (скалярного поля). Если в начало координат поместить заряд Q, то

Определение. (векторного поля). Говорят, что в трехмерном пространстве задано векторное поле
Замечание.

Пример. (поверхности уровня). Если в начало координат поместить заряд Q, то

Определение. (векторной линии). Пусть в трехмерном пространстве задано векторное поле
Векторной линией

Пример. Напряженность поля можно определить путем внесения пробного электрического заряда в

§ 2. Производная по направлению.
Ее вычисление.
Пусть задано скалярное поле u,

Df. (производной по направлению): если существует конечный предел отношения приращения скалярного

Чтобы вычислить производную по направлению, пользуются теоремой:
Th.: (о вычислении производной по

где α,β,γ − углы определенные в любой точке области V ,

здесь α1,α2,α3 − бесконечно малые функции в точке М0 , которые

Перейдем к пределу в выражении (2) при
Заметим, что
Если заменить Δx на

Значит, в пределе, учитывая, что
α1, α2, α3 → 0 при ,

Что и требовалось доказать.
Замечание: Производная скалярного поля по направлению вектора выражает

§ 3. Градиент скалярного поля. Связь скалярных и векторных полей. Свойства

Определение градиента привязано к декартовой системе координат. Покажем связь скалярных и

Вспомним, что скалярное произведение 2-х векторов вычисляется по формуле:
Найдем скалярное произведение

По этой формуле можно вычислять производную по направлению, зная градиент.
Учитывая, что:

на произвольное направление вектора равна производной скалярного поля по направлению этого

Если имеется уравнение поверхности
u(x,y,z) = 0, это означает, что задана поверхность

Поток.

§ 5. Задача, приводящая к понятию потока векторного поля.
Пусть в трехмерном

Для этого возьмем в трехмерном пространстве поверхность S и разобьем ее

Найдем количество жидкости, которое протекает через участок Si в единицу

Если сложить объемы всех маленьких параллелепипедов, то количество жидкости, протекающее

то он и будет выражать значение количества жидкости, протекающей через

Для того, чтобы количественно описать векторы, электростатического, электромагнитного поля вводится

Примечание: в случае жидкости поток равен количеству жидкости, протекающей через

то поток через эту поверхность S может быть вычислен по

Второй способ вычисления потока называется методом проектирования на координатной плоскости.

Поток через поверхность S равен
Пользуясь аддитивностью интеграла

Предполагая, что поверхность S однозначно проектируется на координатные оси имеем:
Поверхностные

Знаки ± берутся с учетом того, какой угол составляет нормаль

Пример: пусть дано векторное поле
найти поток через внешнюю

Поток через всю поверхность S:

§ 7. Формула Остроградского.
Пусть в трехмерном пространстве задана область V, такая

Тогда справедлива формула Остроградского:
Поверхность S замкнутая.
Доказательство. Самостоятельно.
Формула Остроградского применима только в

§ 8. Векторная запись теоремы Остроградского.

Пусть в 3-х мерном

Так как S - замкнутая, гладкая, ориентированная, а функции P, Q,

Сравнивая правые части формул (1) и (2) и
вспоминая

Пример:

Поток векторного поля через поверхность неизвестен.
S: нормаль внешняя S

Замечание: из материала, приведенного выше ясно, что скалярным полям можно поставить

§ 9. Дивергенция векторного поля, ее вычисление.
В векторном поле возьмем замкнутую

Если поверхность S стягивать в точку и предполагать что существует

содержащемся внутри этой поверхности, при стягивании поверхности S в точку,

Теорема. (о вычислении дивергенции)
Если в 3-х мерном пространстве задано

Доказательство:
По определению:
Так как поверхность S замкнутая, то применяя формулу Остроградского

Значит, дивергенция поля может быть записана
Частные производные непрерывны, значит