Лекция 10. Расчет статически неопределимых систем методом перемещений

исключаются лишние связи, а за неизвестные принимаются силы (усилия) в этих связях.
После их определения из канонических уравнений, определяются все остальные усилия, а также перемещения, напряжения и деформации, т.е. полное напряженно-деформированное состояние (НДС) системы.
НДС статически неопределимых систем можно устанавливать и по-другому. Для этого в систему вводятся дополнительные связи, а за неизвестные принимаются перемещения во введенных связях.
Такой метод называется методом перемещений.

для определения НДС стержневой системы. Для этого установим простейшие деформации стержня АВ при его переходе в деформированное состояние А’В’ (рис. а). Задача упрощается, если стержень закрепить по обоим концам.

концам стержня были такими же как у незакрепленного, его концам следует последовательно задавать поступательные перемещения Δ и ΔAB (рис. б, в), угловые перемещения φA и φB (рис. г, д), а внутри стержня приложить внешнюю нагрузку (рис. е).
При этом от поступательного перемещения Δ всего стержня внутренние усилия не возникают (рис. б). Внутренние усилия от местной нагрузки, действующей в пределах закрепленного стержня можно найти отдельно.
Значит, для определения НДС стержня достаточно знать три неизвестных перемещения – два угловых перемещения его концов φA и φB и одно поступательное перемещение (взаимное смещение концов) стержня ΔAB.

следует ввести допол-нительные связи, чтобы исключить перемещения концов ее стержней.
Например, для рамы из пяти стержней их число будет равно 5·3=15.

Это число можно уменьшить, если примем гипотезы:
Поперечные и продольные деформации стержней малы;
Длина хорды, соединяющей концы изогнутого стержня, равна первоначальной длине стержня;
В упругом рамном узле углы между стержнями сохраняются.

– поступательное перемещение Δ и угловые перемещения φ1 и φ2:

Таким образом, принятые гипотезы позволили уменьшить число неизвестных перемещений с 15 до 3.

упругом рамном узле сохраняются) следует, что число неизвестных угловых перемещений будет определяться по формуле:
nугл = числу упругих рамных узлов.
Для определения числа неизвестных поступательных (линейных) перемещений во все узлы рамы, включая и опоры, нужно ввести шарниры:

Например, в рассматриваемой раме nлин=2⋅ 6 – 5 – 6 =1.

Тогда число линейных перемещений можно определить по известной формуле кинематического анализа для фермы:

nлин .
Оно называется степенью кинематической неопределимости.
Неизвестные перемещения обозначаются Z1 , Z2 , ..., Zn .
После определения числа неизвестных, в ЗС вводятся столько же связей для исключения перемещений концов ее стержней.
Например, в рассмотренную раму вводятся две заделки и одна опорная связь:

Полученная схема называется основной системой (ОС) метода перемещений.

ввести nугл заделок;
– по направлениям линейных перемещений узлов ввести nлин связей (для того чтобы система с введенными шарнирами стала ГНС).
Введенные связи внешне похожи на обычные опорные связи, но от них принципиально отличаются т.к.: 1) введенная заделка исключает лишь угловое перемещение узла, оставляя возможность его линейного смещения; 2) введенная опорная связь исключает только линейное перемещение узла, оставляя возможность его поворота.
При соблюдении этих требований ОС метода перемещений является единственной. Рассмотрим пример:

nугл=4.

nлин=2⋅ 8 – 8 – 6 =2.

ОС

ЗС

расчете МС нужно исключать четыре лишние связи и выбирать основную систему по МС с четырьмя неизвестными.
При расчете рамы МП имеем:
n=nугл+ nлин=1+0=1.
Выберем основную систему, вводя заделку в упругом узле:

ОС

Потребуем, чтобы усилия в ОС были как в ЗС, т.е. R=0. А реакцию R определим рассматривая единичное и грузовое состояния основной системы.

ЗС

определим возникающую в ней реакцию r.
Эта реакция от единичного перемещения называется жесткостью.
В грузовом состоянии приложим только внешнюю нагрузку и во введенной связи основной системы определим реакцию RP :

С учетом упругости системы и принципа суперпозиции, наше уравнение приводится к виду
r · Z+ RP =0.
Оно называется каноническим уравнением метода перемещений.
Если известны реакции r и RP, то из него можно найти величину узлового перемещения:
Z= – RP /r.

ЕС

ГС

получается введением n дополнительных связей с неизвестными Z1, Z2, …, Zn.
Чтобы ОС была эквивалентна ЗС, реакции во введенных связях должны равняться нулю. С учетом этого можно записать n уравнений.
После рассмотрения n единичных состояний и одного грузового состояния и дальнейшего определения реакций (реактивных усилий) во всех состояниях, эти n уравнений приводятся к следующему виду:

Все вместе они называются системой канонических уравнений метода перемещений. Здесь rii – главные коэффициенты, rij – боковые коэффициенты. Свободные члены RiP назывются грузовыми коэффициентами.

. . . . . . . . . . .