Методы решения задач теплопроводности

Июль 31, 2022

Главная
Физика
Методы решения задач теплопроводности

Содержание

2. Приближенные методы решения задач теплопроводности Точное аналитическое решение позволяет рассчитать температуру в любой точке тела, однако,
3. Приближенные методы решения задач теплопроводности Дифференциальное уравнение теплопроводности заменяется системой алгебраических уравнений. Температура рассчитывается в отдельных
4. Приближенные методы решения задач теплопроводности Наибольшее распространение получили два метода расчета: Метод элементарных тепловых балансов. Метод
5. Метод элементарных тепловых балансов Тело разбивается на отдельные объемы. Центральным точкам каждого объема присваивается отдельный номер.
6. Метод элементарных тепловых балансов Пусть температурное поле описывается уравнением: Разбиваем стенку на элементарные объемы:
7. Метод элементарных тепловых балансов Изменение внутренней энергии в рассматриваемой узловой точке: (1) - удельная массовая теплоемкость;
8. Метод элементарных тепловых балансов Теплота к точке 0 подводится от точки 1 и точки 2 за
9. Метод элементарных тепловых балансов С учетом (1), (2), (3) уравнение (4) примет вид (5)
10. Метод элементарных тепловых балансов - коэффициент температуропроводности. - критерий Фурье. При фиксированном значении шага разбиения по
11. Метод элементарных тепловых балансов Уравнение (5) принимает вид: (6) (7)
12. Метод элементарных тепловых балансов Из рассмотрения (7) следует, что будущая температура в рассматриваемой точке является функцией
13. Метод элементарных тепловых балансов Частные случаи: Пусть Будущая температура в рассматриваемой точке не зависит от настоящей
14. Метод элементарных тепловых балансов Пусть Пусть
15. Метод элементарных тепловых балансов Установлено, что устойчивость решения достигается лишь при
16. Метод элементарных тепловых балансов Аналогично можно получить решение для двухмерной задачи:
17. Метод элементарных тепловых балансов Установлено, что устойчивость решения достигается лишь при
18. Метод конечных разностей В этом методе производные, входящие в дифференциальное уравнение теплопроводности, замещаются разностными соотношениями:
19. Метод конечных разностей .
20. Метод конечных разностей Приближенные значения производных Предыдущие значения производных: Последующие значения производных:
21. Метод конечных разностей Симметричные значения производных:
22. Метод конечных разностей Вторая производная:
23. Метод конечных разностей Пусть температурное поле описывается дифференциальным уравнением: (1)
24. Метод конечных разностей Поскольку температура является функцией двух переменных, удобно выбрать прямоугольную сетку. Интервал изменения разделим
25. Метод конечных разностей Расчетная сетка:
26. Метод конечных разностей Координаты точек: 1: 2: 3: 4: 5:
27. Метод конечных разностей Заменим производные разностными соотношениями:
28. Метод конечных разностей Формула (1) примет вид:
29. Метод конечных разностей Или: (2)
30. Метод конечных разностей Уравнение (2) составляется для каждой узловой точки включая пограничные точки. Погрешность расчета уменьшается
31. Метод конечных разностей Пусть температурное поле описывается дифференциальным уравнением вида: (3)
32. Метод конечных разностей Заменим производные разностными соотношениями:
33. Метод конечных разностей Уравнение (3) примет вид:
34. Метод конечных разностей Пусть
35. Метод конечных разностей Обозначают числа Фурье: Часто принимают
36. Метод конечных разностей Тогда формула примет вид:
37. Метод конечных разностей Устойчивость решения обеспечивается при условии:
39. Скачать презентацию

Слайд 2

Приближенные методы решения задач теплопроводности
Точное аналитическое решение позволяет рассчитать температуру

в любой точке тела, однако, не любую задачу теплопроводности можно решить аналитически. В том случае, когда тело имеет сложную форму и коэффициент теплоотдачи является величиной переменной, задачу по теплообмену аналитически решить невозможно. В этом случае используют приближенные методы решения задач (численные методы).

Слайд 3

Приближенные методы решения задач теплопроводности
Дифференциальное уравнение теплопроводности заменяется системой алгебраических уравнений.

Температура рассчитывается в отдельных фиксированных точках тела, точность расчета зависит от выбранного шага разбиения тела на отдельные участки.

Слайд 4

Приближенные методы решения задач теплопроводности
Наибольшее распространение получили два метода расчета:
Метод элементарных

тепловых балансов.
Метод конечных разностей.

Слайд 5

Метод элементарных тепловых балансов
Тело разбивается на отдельные объемы.
Центральным точкам каждого

объема присваивается отдельный номер.
Эти точки обладают определенной массой и теплоемкостью.
К каждой точке теплота подводится или отводится через стержни, с помощью которых точки условно соединены друг с другом.
При этом внутренняя энергия точки может увеличиваться или уменьшаться.

Слайд 6

Метод элементарных тепловых балансов
Пусть температурное поле описывается уравнением:
Разбиваем стенку на элементарные

объемы:

Слайд 7

Метод элементарных тепловых балансов
Изменение внутренней энергии в рассматриваемой узловой точке:

(1)
- удельная массовая теплоемкость;
- плотность;
- начальная температура точки 0;
- температура этой точки через время

Слайд 8

Метод элементарных тепловых балансов
Теплота к точке 0 подводится от точки 1

и точки 2 за счет теплопроводности:
(2)
(3)
Уравнение теплового баланса:
(4)

Слайд 9

Метод элементарных тепловых балансов
С учетом (1), (2), (3) уравнение (4) примет

вид
(5)

Слайд 10

Метод элементарных тепловых балансов

- коэффициент температуропроводности.
- критерий Фурье.
При

фиксированном значении шага разбиения по пространству и по времени критерий Фурье является величиной постоянной .

Слайд 11

Метод элементарных тепловых балансов
Уравнение (5) принимает вид:
(6)
(7)

Слайд 12

Метод элементарных тепловых балансов
Из рассмотрения (7) следует, что будущая температура в

рассматриваемой точке является функцией настоящей температуры в этой точке и настоящих температур в соседних точках.

Слайд 13

Метод элементарных тепловых балансов
Частные случаи:
Пусть
Будущая температура в рассматриваемой точке не зависит

от настоящей температуры в этой точке.

Слайд 14

Метод элементарных тепловых балансов
Пусть
Пусть

Слайд 15

Метод элементарных тепловых балансов
Установлено, что устойчивость решения достигается лишь при

Слайд 16

Метод элементарных тепловых балансов
Аналогично можно получить решение для двухмерной задачи:

Слайд 17

Метод элементарных тепловых балансов
Установлено, что устойчивость решения достигается лишь при

Слайд 18

Метод конечных разностей
В этом методе производные, входящие в дифференциальное уравнение

теплопроводности, замещаются разностными соотношениями:

Слайд 19

Метод конечных разностей
.

Слайд 20

Метод конечных разностей
Приближенные значения производных
Предыдущие значения производных:
Последующие значения производных:

Слайд 21

Метод конечных разностей
Симметричные значения производных:

Слайд 22

Метод конечных разностей
Вторая производная:

Слайд 23

Метод конечных разностей
Пусть температурное поле описывается дифференциальным уравнением:
(1)

Слайд 24

Метод конечных разностей
Поскольку температура является функцией двух переменных, удобно выбрать прямоугольную

сетку. Интервал изменения разделим на одинаковые интервалы , а отрезок времени разделим на равномерные интервалы Восстановленные перпендикуляры к координатным осям в точках деления при пересечении образуют расчетные узловые точки.

Слайд 25

Метод конечных разностей
Расчетная сетка:

Слайд 26

Метод конечных разностей
Координаты точек:
1:
2:
3:
4:
5:

Слайд 27

Метод конечных разностей
Заменим производные разностными соотношениями:

Слайд 28

Метод конечных разностей
Формула (1) примет вид:

Слайд 29

Метод конечных разностей
Или:
(2)

Слайд 30

Метод конечных разностей
Уравнение (2) составляется для каждой узловой точки включая пограничные

точки.
Погрешность расчета уменьшается при .
Устойчивость решения обеспечивается лишь при условии:

Слайд 31

Метод конечных разностей
Пусть температурное поле описывается дифференциальным уравнением вида:
(3)

Слайд 32

Метод конечных разностей
Заменим производные разностными соотношениями:

Слайд 33

Метод конечных разностей
Уравнение (3) примет вид:

Слайд 34

Метод конечных разностей
Пусть

Слайд 35

Метод конечных разностей
Обозначают числа Фурье:
Часто принимают

Слайд 36

Метод конечных разностей
Тогда формула примет вид:

Слайд 37

Методы решения задач теплопроводности

Содержание

Приближенные методы решения задач теплопроводности Точное аналитическое решение позволяет рассчитать температуру

Приближенные методы решения задач теплопроводностиДифференциальное уравнение теплопроводности заменяется системой алгебраических уравнений.

Приближенные методы решения задач теплопроводностиНаибольшее распространение получили два метода расчета:Метод элементарных

Метод элементарных тепловых балансовТело разбивается на отдельные объемы. Центральным точкам каждого

Метод элементарных тепловых балансовПусть температурное поле описывается уравнением:Разбиваем стенку на элементарные

Метод элементарных тепловых балансовИзменение внутренней энергии в рассматриваемой узловой точке:

Метод элементарных тепловых балансовТеплота к точке 0 подводится от точки 1

Метод элементарных тепловых балансовС учетом (1), (2), (3) уравнение (4) примет

Метод элементарных тепловых балансов - коэффициент температуропроводности.- критерий Фурье. При

Метод элементарных тепловых балансовУравнение (5) принимает вид: (6) (7)

Метод элементарных тепловых балансовИз рассмотрения (7) следует, что будущая температура в

Метод элементарных тепловых балансовЧастные случаи:ПустьБудущая температура в рассматриваемой точке не зависит

Метод элементарных тепловых балансовПусть Пусть

Метод элементарных тепловых балансовУстановлено, что устойчивость решения достигается лишь при

Метод элементарных тепловых балансовАналогично можно получить решение для двухмерной задачи:

Метод элементарных тепловых балансовУстановлено, что устойчивость решения достигается лишь при

Метод конечных разностей В этом методе производные, входящие в дифференциальное уравнение

Метод конечных разностей.

Метод конечных разностейПриближенные значения производныхПредыдущие значения производных:Последующие значения производных:

Метод конечных разностейСимметричные значения производных:

Метод конечных разностейВторая производная:

Метод конечных разностейПусть температурное поле описывается дифференциальным уравнением: (1)

Метод конечных разностейПоскольку температура является функцией двух переменных, удобно выбрать прямоугольную

Метод конечных разностейРасчетная сетка:

Метод конечных разностейКоординаты точек: 1:2:3:4:5:

Метод конечных разностейЗаменим производные разностными соотношениями:

Метод конечных разностейФормула (1) примет вид:

Метод конечных разностейИли: (2)

Метод конечных разностейУравнение (2) составляется для каждой узловой точки включая пограничные

Метод конечных разностейПусть температурное поле описывается дифференциальным уравнением вида:(3)

Метод конечных разностейЗаменим производные разностными соотношениями:

Метод конечных разностейУравнение (3) примет вид:

Метод конечных разностейПусть

Метод конечных разностейОбозначают числа Фурье:Часто принимают

Метод конечных разностейТогда формула примет вид:

Метод конечных разностейУстойчивость решения обеспечивается при условии:

Похожие презентации

Приближенные методы решения задач теплопроводности
Точное аналитическое решение позволяет рассчитать температуру

Приближенные методы решения задач теплопроводности
Дифференциальное уравнение теплопроводности заменяется системой алгебраических уравнений.

Приближенные методы решения задач теплопроводности
Наибольшее распространение получили два метода расчета:
Метод элементарных

Метод элементарных тепловых балансов
Тело разбивается на отдельные объемы.
Центральным точкам каждого

Метод элементарных тепловых балансов
Пусть температурное поле описывается уравнением:
Разбиваем стенку на элементарные

Метод элементарных тепловых балансов
Изменение внутренней энергии в рассматриваемой узловой точке:

Метод элементарных тепловых балансов
Теплота к точке 0 подводится от точки 1

Метод элементарных тепловых балансов
С учетом (1), (2), (3) уравнение (4) примет

Метод элементарных тепловых балансов

- коэффициент температуропроводности.
- критерий Фурье.
При

Метод элементарных тепловых балансов
Уравнение (5) принимает вид:
(6)
(7)

Метод элементарных тепловых балансов
Из рассмотрения (7) следует, что будущая температура в

Метод элементарных тепловых балансов
Частные случаи:
Пусть
Будущая температура в рассматриваемой точке не зависит

Метод элементарных тепловых балансов
Пусть
Пусть

Метод элементарных тепловых балансов
Установлено, что устойчивость решения достигается лишь при

Метод элементарных тепловых балансов
Аналогично можно получить решение для двухмерной задачи:

Метод элементарных тепловых балансов
Установлено, что устойчивость решения достигается лишь при

Метод конечных разностей
В этом методе производные, входящие в дифференциальное уравнение

Метод конечных разностей
.

Метод конечных разностей
Приближенные значения производных
Предыдущие значения производных:
Последующие значения производных:

Метод конечных разностей
Симметричные значения производных:

Метод конечных разностей
Вторая производная:

Метод конечных разностей
Пусть температурное поле описывается дифференциальным уравнением:
(1)

Метод конечных разностей
Поскольку температура является функцией двух переменных, удобно выбрать прямоугольную

Метод конечных разностей
Расчетная сетка:

Метод конечных разностей
Координаты точек:
1:
2:
3:
4:
5:

Метод конечных разностей
Заменим производные разностными соотношениями:

Метод конечных разностей
Формула (1) примет вид:

Метод конечных разностей
Или:
(2)

Метод конечных разностей
Уравнение (2) составляется для каждой узловой точки включая пограничные

Метод конечных разностей
Пусть температурное поле описывается дифференциальным уравнением вида:
(3)

Метод конечных разностей
Заменим производные разностными соотношениями:

Метод конечных разностей
Уравнение (3) примет вид:

Метод конечных разностей
Пусть

Метод конечных разностей
Обозначают числа Фурье:
Часто принимают

Метод конечных разностей
Тогда формула примет вид:

Метод конечных разностей
Устойчивость решения обеспечивается при условии: