Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов

Поведение каждой частицы внутри системы описывается физическими величинами, которые называются микроскопическими параметрами. Примерами таких параметров являются масса, значения координат и импульсов частиц.

Плотность вещества : где - масса одной частицы;
- их среднее число в единице объема.
Давление газа определяется средним импульсом его частиц .
Температура газа определяется средней кинетической энергией поступательного движения одной частицы:

Примеры связи макропараметра системы и среднего значения, характеризующего микрочастицу:

Если значения распределены непрерывно, то суммирование заменяется интегрированием по всей области изменения скорости:

где dN -- число молекул, скорости которых лежат в интервале (v, v+dv).

По аналогии

(1а)

В неравновесном состоянии система обычно не имеет определенных значений макропараметров: в разных точках системы они могут быть разными.

рис. 1

Быстрое движение поршня: под поршнем образуется газовая подушка, где давление больше, чем в остальном объеме.
Медленное движение поршня: давление приблизительно одинаково во всем объеме.
В последнем случае можно считать, что в каждый момент времени для каждого положения поршня газ будет находиться в соответствующем равновесном состоянии, а весь процесс сжатия равновесным.

Реально любой процесс, связанный с нарушением равновесного состояния, является неравновесным. Равновесный - это идеализированный бесконечно медленный процесс.
Равновесный процесс состоит из непрерывного ряда равновесных состояний системы. Он может быть изображен графически (см., например, кривую 1-А-2 на рис.1).

Круговым (циклическим) называется процесс, при котором после каких-либо макроскопических изменений система переходит в исходное состояние.

Часто макроскопические системы участвуют в процессах, при которых один из макроскопических параметров системы остается постоянным. Такие процессы называются изопроцессами.
Примерами изопроцессов являются: изотермический ( ), изобарный ( ), изохорный ( ).

2.1 Идеальный газ. Уравнение состояния.

(1)

где m – масса газа, R-- универсальная газовая постоянная, -- молярная масса газа.

постоянная Больцмана.

Запишем выражение (1) через концентрацию молекул:

(2) – другой вид уравнения состояния идеального газа.

На стенке сосуда, в котором находится идеальный газ, выделим малую площадку , ось системы отсчета направим перпендикулярно .

За промежуток времени о площадку ударятся все частицы, находящиеся в объеме в интервале скоростей (v,v+dv) , поэтому площадка получит импульс

Рассмотрение более сложной модели, учитывающей всевозможные направления подлета частиц к стенке, дают такой же результат для уравнения состояния.

Импульс, полученный площадкой в ед. времени от всех молекул, скорости которых лежат в интервале

, или .

Среднее значение равно

а поскольку тепловое движение в равновесии носит полностью хаотический характер, то

Следовательно, Сравнение с (4) дает

(4)

т.е. в среднем на каждое из трех направлений по осям координат теплового движения приходятся равные кинетические энергии:

(5)

Запишем систему уравнений:

(1)

(2)

Число степеней свободы тела i -- минимальное число независимых переменных, полностью определяющих положение тела в пространстве.

Это положение называется законом равнораспределения энергии по степеням свободы молекул.

Среднее значение полной энергии теплового движения одной молекулы в МКТ:

В действительности атомы внутри молекулы могут совершать колебательное движение относительно друг друга под действием каких-либо «упругих» связей. Колебательное движение требует вдвое больше энергии, чем поступательное или вращательное. Для него необходимо наличие кинетической и потенциальной энергии, причем их средние значения одинаковы. С учетом того, что на колебательную степень свободы приходится вдвое больше энергии, полное число степеней свободы реальной молекулы

Для достоверного события р=1, для невозможного р=0.

3. Условие нормировки: при испытаниях сумма вероятностей всех возможных событий =1

Пусть N раз измеряли величину x, причем значение величины x1 повторялось N1 раз, ……, значение xk -- Nk раз.

4. Вероятность одновременного появления двух статистически независимых событий.

, где -- вероятность 1 – го,

-- вероятность 2 – го событий.

Разобьем ось OX на равные интервалы и для каждого по OY отложим величину .

5.Функция распределения вероятностей.

и гистограмма переходит в гладкую кривую F(x):

Если x распределена непрерывно, по мере уменьшения ширины интервала можно перейти от к dx. Тогда по OY надо откладывать

Рис.1

Из него следует, что площадь под кривой распределения равна единице.

(*)

Нормальное распределение часто встречается в природе, нормально распределёнными являются следующие случайные величины:
отклонение при стрельбе
ошибки при измерениях
рост человека
Нормальное распределение дает хорошую модель для реальных явлений, в которых:
1) имеется сильная тенденция данных группироваться вокруг центра;
2) положительные и отрицательные отклонения от центра равновероятны;
3) частота отклонений быстро падает, когда отклонения от центра становятся большими.

В пространстве скоростей скорости каждой молекулы соответствует точка. Из –за столкновений положение точек будет меняться, но их плотность в каждом месте будет неизменной.

Рис. 2

3.2.1 Общий вид функции распределения Максвелла

поэтому функция распределения зависит лишь от величины вектора и не зависит от его направления. Можно принять

2) Вероятность появления скорости в объеме -- вероятность сложного события, заключающегося в одновременном появлении:
-- в интервале -- обозначим вероятность этого события ;
-- в интервале -- обозначим вероятность этого события ;
-- в интервале -- обозначим вероятность этого события .

Рис.3

(*а)

Т.к. появление в объеме -- статистически независимые события, то

3) Для нашей функции и ее аргумента справедливы соотношения:

Из математики известно, что этим условиям удовлетворяет только экспоненциальная функция:

, (1)

где А и α – параметры, причем , т.к. при должно выполняться условие
(1) дает общий вид функции распределения по компоненте скорости.

Выразим постоянные А и α через физические параметры.
А найдем из условия нормировки: т.к. вероятность обнаружения
в интервале равна единице, то

(2)

Табличный интеграл:

Получим: , отсюда .

3.2.2 Вычисление параметров в функции распределения Максвелла

, откуда (3).

С другой стороны,

Табличный интеграл: подставляем в (4):

(4)

(5)

Приравнивая правые части (3) и (5), получим

(6)

(7)

(8)

Такой же вид имеют распределения , в силу равноправия всех направлений движения молекул в пространстве.
Рассмотрим свойства распределения (8).
График распределения.

При
Функция симметрична относительно
и имеет максимум

Рис.4

Поэтому значение является наиболее вероятным значением проекции скорости частицы на выделенное направление в равновесном состоянии системы.

Площадь выделенной полоски на рис. 4 имеет смысл вероятности обнаружения измеренной скорости в интервале

3) Рассмотрим один и то же газ при разных температурах .

Рис.4

С ростом температуры кривая уширяется (см.рис 5).

Рис.5

Теперь можно записать явный вид функции распределения Максвелла по вектору скорости:

Рис.7

Величина имеет смысл плотности точек в пространстве скоростей.

Итак
откуда окончательно определяем вид функции распределения молекул по абсолютному значению (модулю) скорости:

(9)

Рис.9

График распределения имеет один max и изображен на рис. 9.

2) Площадь под распределением в соответствии с условием нормировки равна единице. Площадь заштрихованного участка равна относительному числу молекул, скорости которых лежат в интервале :

(9)

Рис.10

Среднеквадратичная скорость

Сравним ее с , полученной из средней кинетической энергии поступательного движения молекул:

откуда

Путем преобразований получим

Здесь -- число частиц, кинетическая энергия поступательного движения которых лежит в интервале .

(10)

S=1

где ρ- плотность газа на высоте (толщина слоя . выбирается такой, чтобы плотность газа можно было считать в этом слое постоянной), - ускорение свободного падения.

(1)

(5)

(9)

(11)

получим, что число частиц, имеющих компоненты скоростей и находящихся в окрестности точки с координатами , равно

получим

Учитывая, что -- полная механическая энергия частицы,