Основы физики прочности и пластичности

1.Зависимость между напряжением и деформацией в идеальных кристаллах. Двухатомная модель.

С развитием представлений о кристаллическом строении твердых тел и взаимодействии атомов

Отсюда металлическая связь может быть записана как

(2.2)

Рис. 2.1. Модель взаимодействия между

и

(2.3)

Отсюда

И выражение для U принимает вид:

(2.4)

Сила взаимодействия P:

Для взаимодействия

где

- энергия взаимодействия пары атомов с
координатами

и

.

"Мягкие" кристаллы имеют m=1, n=3 и для них
rmax = 1,41 ro
При

Небольшие смещения или деформации могут вызвать остаточную деформацию только в том

Это одна из форм записи закона Гука. Таким образом закон
Гука

Разлагая

в биноминальный ряд, получаем

(2.13)

Отсюда можно определить значение коэффициентов в

Теоретическую прочность в двухатомной модели можно оценить
следующим образом. Подставим

(2.14)

Отсюда

Тогда можно записать

(2.17)

Здесь μ − коэффициент Пассона.
В этом случае

(2.18)

При

Под действием напряжения сдвига τ эти ряды атомов смещаются друг относительно

Рис. 2.2. К расчету прочности по А.Френкелю

(2.19)

Для малых смещений

Используя

Приравнивая приведенные выражения для τ, получаем

Подставляя это значение k в соотношение

Можно принять, что а ≈ b, так что теоретическое критическое напряжение

Такое расхождение воспринимается вначале как свидетельство того, что проведенный анализ является

Из такого теоретического рассмотрения неизбежно следует заключение, что использованная простая модель

Дислокация является линейным дефектом, пли нарушением непрерывности смещения между двумя частями

2. Некоторые понятия механики твердого деформируемого тела
Напряженное состояние
Схема напряженного состояния элемента

В этом случае тензор напряженного состояния можно записать

(2.22)

где σx .

Соответственно главные касательные напряжения можно
определить как:

(2.24)

Тогда тензор деформации

Для тензора поля напряжений можно записать

(2.27)

где J1. J2. J3 – инварианты

(2.28)

Истинная деформация описывается уравнением:

(2.29)

Если считать, что при деформации объем тела

Средняя (гидростатическая) деформация определяется как

(2.30)

Сдвиговую деформацию для чистого сдвига определяют как

В этом случае обобщенный закон Гука – Коши записывается как:

(2.32)

Здесь 36

Константы Ламэ: модуль нормальной упругости, модуль Юнга − Е: модуль сдвига,

Анизотропия упругих свойств кристалла определяется константой анизотропии А из соотношением

Константа анизотропии в некоторых металлах

В общем случае трехосного напряженного состояния результирующая деформация вдоль выбранного направления

Объемная компонента деформации равна.

Если положить, что V= 1, то

Пренебрегая члены

Работа упругой деформации
Пусть F площадь поперечного сечения образца, lo - первоначальная

Тогда после соответствующих преобразований получаем:

Таким образом, в запасенной энергии, связанной с формоизменением объекта, входят только

Теории эквивалентности
При нагружении макроскопического тела в нем, как правило, возникает объемное

1. Гипотеза наибольших нормальных напряжений. Системы считаются эквивалентными, если наибольшие напряжения

4. Гипотеза одинаковой энергии формоизменения. Состояние считается эквивалентным, если энергия формоизменения

Схемы напряженного состояния

Диаграмма напряженного состояния Я.Б.Фридмана.
Коэффициент мягкости нагружения:

Наибольшие приведенные напряжения по второй гипотезе

Рис.2.5. Диаграммы Я.Б.Фридмана.
tmax – наибольшие касательные напряжения; S – приведенные

Уравнения пластичности
Все что ранее рассматривалось относилось к деформации в упругой области.

Здесь с – свойство, зависящее от степени деформации.
P1 > P2 >