Плоский изгиб. Деформации и перемещения балки

(плоскость x0y) изменяется кривизна оси, и плоские поперечные сечения поворачиваются и смещаются на некоторую величину относительно нейтральной оси.

Основные понятия и определения

Искривленная ось балки при изгибе называется изогнутой осью или упругой линией.

Деформация балки при изгибе описывается двумя параметрами:

1) прогиб (y, v) – смещение центра тяжести сечения балки по направлению перпендикулярному к ее оси.

Наибольший прогиб балки называется стрелой прогиба (f=ymax);
Не путать прогиб y с координатой y точек сечения балки!

относительно своего перво-начального положения (угол между касательной к упругой линии и первоначальной осью балки).

В общем случае величина прогиба балки в данной точке является функцией координаты x и может быть записана в виде следующего уравнения:

Тогда угол между касательной к изогнутой оси балки и осью x будет определяться из следующего выражения:

Ввиду малости углов и перемещений, можем считать, что

угол поворота сечения есть первая производная от прогиба балки по абсциссе сечения.

утверждать, что изогнутая ось непрерывной балки должна быть непрерывной и гладкой (не имеющей изломов) кривой. При этом деформация того или иного участка балки определяется искривлением его упругой линии, то есть кривизной оси балки.

Формула для определения кривизны бруса (1/ρ) при изгибе

Из курса высшей математики известно, что уравнение кривизны плоской кривой:

которое называется точным уравнением изогнутой оси бруса.

В координатной системе прогибов x0y, когда ось y направлена вверх, знак момента определяет знак второй производной от y по x.
Интегрирование данного уравнения, очевидно, представляет некоторые трудности. Поэтому его, как правило, записывают в упрощенной форме, пренебрегая величиной в скобках по сравнению с единицей.

Дифференциальное уравнение упругой линии балки

интегрирования C1, D1 находят из граничных условий – условий закрепления балки, при этом для каждого участка балки будут определяться свои постоянные.

1. Метод непосредственного интегрирования

l, загруженная поперечной силой F. Материал балки (E), форму и размеры ее сечения (Jz) также считаем известными.

Решение
а) реакции в заделке

б) методом мысленных сечений определим внутренний изгибающий момент

Определить закон изменения угла поворота φ(x) и прогиба y(x) балки по ее длине и их значения в характерных сечениях.

а именно – в жесткой заделке угол поворота равен нулю, тогда

Найдем угол поворота свободного конца балки (x=l)

Знак «минус» показывает, что сечение повернулось по часовой стрелке.

– в жесткой заделке прогиб равен нулю, тогда

Найдем прогиб свободного конца балки (x=l)

Знак «минус» показывает, что сечение опустилось вниз.

достаточно трудоемким, так как для n участков число произвольных констант (C и D) возрастает до 2n.
Для уменьшения вычислительной работы в подобных случаях разработан ряд методов, которые позволяют при любом числе участков свести решение к отысканию всего двух констант – прогиба и угла поворота в начале координат.

Метод начальных параметров
Теорема Кастильяно
Метод Максвелла-Мора
Формула Симпсона
Способ Верещагина

выбирать общим для всех участков в крайней левой (или правой) точке балки;

4) интегрировать уравнения на всех участках следует, не раскрывая скобок.

2) все составляющие уравнения моментов на предыдущем участке должны сохраняться неизменными в уравнении моментов последующих участков;

3) в случае обрыва распределенной нагрузки ее продлевают до конца балки, а для восстановления действительных условий нагружения вводят «компенсирующую» нагрузку обратного направления;

опор также представляем как внешние силы), и составим для нее уравнение моментов в произвольном сечении:

Группируя подобные слагаемые, запишем данное уравнение в самом общем виде:

aM, aF, aq – координаты точки приложения внешнего момента, силы или начало распределенной нагрузки. Сомножитель (x–a) должен быть всегда положительным, слагаемые с отрицательными значениями (x–a) отбрасываются. Сомножитель (x–aM)0 равен единице, но он необходим для сохранения подобия слагаемых при последующем интегрировании.

C1 и D1 являются единственными константами, причем

где φ0, y0 – угол поворота и прогиб балки в начале координат.

универсальное уравнение углов:

Для определения постоянных интегрирования CI и CII воспользуемся граничными условиями. Тогда, при x=0 (из первого уравнения):

На границе участков (x=a) угол поворота должен быть одинаков, то есть при x=a должно быть φI(x=a)=φII(x=a):

участках и на их границе, найдем, что

Универсальные уравнения метода начальных параметров:

aш – координата шарнира.

При решении задач удобно записать универсальные уравнения сначала для наиболее удаленного от начала координат участка, тогда уравнения для предыдущих участков легко получить, вычеркивая из полученного уравнения члены, учитывающие нагрузку на последующих участках.

Окончательный вид уравнений:

углы поворота и прогибы сечений 1 и 2 методом начальных параметров.

сечениях 1 и 2 начало координат принимаем на опоре А, так как из граничных условий балки нам известны угол поворота и прогиб в этом сечении. Опора А – жесткое защемление, следовательно, при z=0 θA=0, yA=0.

Для применения формул метода начальных параметров

преобразуем заданные силы.