Пологие оболочки. Полубезмоментная теория цилиндрических оболочек

Типичная форма пологой оболочки или искривленной панели показана на рис.а. Криволинейный элемент abcd поверхности такой оболочки в координатах х, у можно приближенно отождествить с его проекцией на плоскость ABCD, а криволинейные координаты х, у — с декартовыми координатами.
Основное упрощение, вытекающее из этого предположения заключается в том, что метрическое соотношение общей теории в координатах х, у можно приближенно заменить следующим: , т. е. принять А=В=1.
Помимо этого, в теории пологих оболочек принимается, что при проектировании действующих на элемент сил на оси х и у можно в силу малой кривизны оболочки не учитывать составляющие от перерезывающих сил Qx и Qy (см. рис. б), а в геометрических соотношениях, определяющих изменения кривизн, учитывать только нормальное перемещение w.

Основные гипотезы и исходные соотношения

Соотношения упругости сохраняются без изменения:

Геометрические соотношения записываются в форме

где

Полученные уравнения отличаются от соответствующих уравнений теории пластин наличием членов Nx/Rl, Ny/R2 во втором уравнении равновесия и членов w/R1, w/R2 в геометрических соотношениях для линейных деформаций.

С учетом приведенных зависимостей граничные условия записываются в той же форме как и в общей теории оболочек.
Полученные уравнения в силу своей простоты по сравнению с уравнениями общей теории широко применяются для решения самых разнообразных задач по расчету оболочек. Остановимся на некоторых приложениях.

Обобщенные перерезывающие силы, используемые для записи граничных условий имеют вид

Совокупность сделанных выше упрощений не приводит к существенным погрешностям при расчете пологих оболочек двойной кривизны, если выполняется неравенство:

Полученная в предыдущем вопросе система уравнений пологих оболочек может быть преобразована к трем уравнениям относительно перемещений и, v, w.
Исключая из первых трех уравнений равновесия Qx и Qy с помощью полученных зависимостей и выражая в них далее усилия и моменты через перемещения согласно соотношениям упругости и геометрическим соотношениям, получим

где

Тогда первые два уравнения равновесия (при qx=qy=0) удовлетворяются тождественно, а третье уравнение равновесия после исключения Qx, Qy и замены Мх, Μy, Мху через w, a Nx, Ny — через φ примет вид

Используя выражения для деформаций и путем их дифференцирования исключая функции и и v, получим уpавнение совместности деформаций, аналогичное в теории пластин

Заменяя через Nx, Ny, Nxy с помощью соотношений упругости и вводя функцию напряжений φ, получим

при x=0 и x=a: w=v=0, при y=0 и y=b: w=u=0,

Для того чтобы удовлетворить эти граничные условия, искомые функции w и φ достаточно представить рядами вида

где wmn, φmn — постоянные коэффициенты разложений, которые необходимо определить.
Представляя внешнюю нагрузку р(х, у) таким же рядом

где ртп — известные коэффициенты, и подставляя ряды для w и φ в два уравнения четвертого порядка, получим алгебраическую систему уравнений для определения wmn и φmn:

обращается в нуль. Как известно, цилиндрическая поверхность может быть развернута на плоскость и в координатах х и у=R·β, отсчитываемых вдоль образующей и параллели, метрическое соотношение принимает вид ds2=dx2+dy2 т. е. основное допущение теории пологих оболочек (А=В=1) для цилиндрических оболочек выполняется точно. Что касается двух других допущений, связанных с отсутствием перерезывающих сил в

уравнениях равновесия и тангенциальных перемещений в геометрических соотношениях, то их введение определяет упрощенную, так называемую техническую теорию цилиндрических оболочек, использующуюся для решения широкого круга задач.
В рамках технической теории цилиндрические оболочки описываются уравнениями теории пологих оболочек, в которых следует принять R1→∞, R2=R (см. рис.). Если по краям оболочка шарнирно оперта, решение так же, как и в предыдущем вопросе, может быть построено в двойных тригонометрических рядах.
В качестве примера рассмотрим круговую цилиндрическую оболочку радиуса R, шарнирно опертую на краях х=0 и х=l.

Подставляя разложения u, v, w и р в полученные уравнения теории пологих оболочек
и приравнивая по отдельности члены левых и правых частей уравнений, содержащие одинаковые тригонометрические функции, для каждой тройки неизвестных коэффициентов итп, vmn, wmn получим по три линейных алгебраических уравнения:

для цилиндрической оболочки, на которую не действуют поверхностные нагрузки, т. е. qx=qy=р=0 (см. рис.). При R1→∞ и R2=R уравнение принимает вид

ОСНОВНЫЕ ГИПОТЕЗЫ И ИСХОДНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

В случае шарнирного опирания по краям решение этого уравнения может быть получено в виде двойного тригонометрического ряда типа

Подставляя данный ряд в решаемое уравнеие и приравнивая нулю коэффициенты при cos(ny/R), получим для wn(x) обыкновенное дифференциальное Уравнение восьмого порядка

Решение данного уравнения содержащее восемь произвольных постоянных Cin для каждого n, позволяет удовлетворить любые граничные условия на краях х=0 и х=l. Однако практическое определение частных решений Fni(x) уравнения восьмого порядка связано с большими трудностями, что и вызывает потребность в дальнейшем упрощении теории для снижения порядка уравнения.
Именно такой упрощенной теорией и является рассматриваемая в данном вопросе полубезмоментная теория цилиндрических оболочек, широко используемая при решении конкретных задач, в частности, для расчета цилиндрических оболочек средней длины, нагруженных таким образом, что их деформированное состояние меняется медленно в продольном направлении. В этой теории наряду с гипотезами Кирхгофа используются дополнительные упрощающие статические и кинематические допущения.

То есть в продольном направлении оболочка ведет себя как безмоментная, а в кольцевом — как система нерастяжимых рам. Полубезмоментная теория особенно эффективна для расчета оболочек, подкрепленных системой часто расположенных шпангоутов, которые «размазываются» по длине оболочки, создавая высокую изгибную жесткость в кольцевом направлении.
Три компоненты перемещения и,v и w связаны между собой двумя кинематическими условиями, и поэтому при любой форме направляющей они могут быть представлены, через одну разрешающую функцию Ф(x,s):

Справедливость данного представления может быть проверена непосредственной подстановкой в допущения, представленные выше.

Уравнение для неизвестной функции Ф можно получить с помощью вариационного принципа Лагранжа.

Вариация работы поверхностных нагрузок определяется равенством

Подставляя полученные выражения в уравнение δU-δA=0 и преобразуя его интегрированием по частям таким образом, чтобы под поверхностным интегралом в качестве общего множителя была вариация δФ, получим дифференциальное уравнение для функции Ф и естественные граничные условия.

где , l — длина оболочки.
Отсюда следует дифференциальное уравнение для функции Ф, которое запишем в виде

где

Разрешающая функция Φ(α,β) в этом случае находится в виде ряда

На торцах полубезмоментной оболочки граничные условия формулируются так же, как и для безмоментной оболочки — на каждом торце должны быть заданы или тангенциальные перемещения, или соответствующие им тангенциальные усилия, т. е. и или Nα, v или Nαβ. Аналогичный результат следует и из вариационного уравнения. Контурный интеграл представляет вариацию работы реакций на торцах; он может быть записан в виде

где Фn(α) — неизвестные функции.

где

Полученное уравнение в отличие от уравнения пологой оболочки имеет уже четвертый порядок и по виду совпадает с уравнением осесимметричного краевого эффекта. Его решение можно записать в аналогичной форме

где — частное решение неоднородного уравнения.