Приложение: водородоподобный атом; вывод формул

Август 3, 2022

Главная
Физика
Приложение: водородоподобный атом; вывод формул

Содержание

2. Уравнение Шредингера для водородоподобного ато-ма имеет вид: (14.1) где оператор Лапласа: (14.2) Решение этого уравнения впервые
3. Запишем оператор Лапласа в виде (14.3) где - оператор Лежандра (13.20). Решение урав-нения Шредингера ищем в
4. Левая часть уравнения (14.6) зависит только от r, правая часть только от θ, φ, поэтому для
5. Уравнение (14.8) более универсально: оно одинако-во для всех сферически - симметричных полей, по-этому займемся сначала этим
6. Левая часть уравнения (14.11) зависит только от θ, правая часть только от φ, поэтому для того,
7. Очевидно, что решение (14.14) удовлетворяет усло-вию ограниченности. Но т.к. φ - циклическая пере-менная, а область ее
8. Теперь рассмотрим уравнение (14.13). Введем вмес-то θ новую переменную ξ: ξ = cosθ, -1 ≤ ξ
9. Функции P(ξ) называются "присоединенными полино-мами Лежандра", их общий вид был найден еще в 18-м веке французским
10. Определив константу λ = l(l+1), подставим ее в урав-нение (14.7) (14.20) Решение этого уравнения также давно
11. Наиболее простые из полиномов Лагерра имеют вид: (14.21) Итак, волновые ψ-функции (собственные функции уравнения (14.1)) содержат
12. Подведем итоги. Энергия электрона определяется формулой, в точности совпадающей с результа-том, полученным в рамках теории Бора:
13. Схематическое изо- бражение уровней энергии и переходов между ними в атоме водорода
14. Уровни энергии атома водорода. Толщина линии соответствует вероятности перехода.
15. Момент импульса электрона в атоме определяет- ся орбитальным квантовым числом l: (14.24) где орбитальное квантовое число
16. Проекция момента импульса на выделенное на-правление (например, на направление внешне-го магнитного поля) определяется магнитным квантовым числом
17. Для наглядности пространственное квантова-ние вектора момента импульса часто изобра-жают графически на векторных диаграммах: l = 1
18. Графические изображения электронных s-, p- и d-оболочек
19. Графическое изображение 4f-оболочки
20. Схематические изображения электронных оболочек
22. Скачать презентацию

Слайд 2

Уравнение Шредингера для водородоподобного ато-ма имеет вид:
(14.1)
где оператор Лапласа:
(14.2)
Решение этого уравнения

впервые получил Шредин-гер в 1926 году. Решение можно найти теми же ме-тодами, которыми были решены предыдущие за-дачи, но в данном случае процедура решения ока-зывается довольно сложной, а преобразования громоздкими. Применение операторов позволяет сделать выкладки более компактными.

Слайд 3

Запишем оператор Лапласа в виде
(14.3)
где - оператор Лежандра (13.20). Решение урав-нения

Шредингера ищем в виде произведения:
(14.4)
где R(r) и Y(θ,φ) - неизвестные пока функции, завися-щие только от r и от θ,φ соответственно. Обозна-чим для краткости:
(14.5)
Подставляя в уравнение (14.1) и разделяя перемен-ные, получаем:
(14.6)

Слайд 4

Левая часть уравнения (14.6) зависит только от r, правая часть только

от θ, φ, поэтому для того, что-бы равенство (14.6) удовлетворялось для любых r, θ, φ, необходимо, чтобы левая и правая части рав-нялись некоторой константе λ:
(14.7)
и или (14.8)
В уравнение (14.7) входит потенциальная энергия кулоновского взаимодействия электрона с ядром (член 2α/r), поэтому вид функций R(r) и собствен-ные значения энергии определяются этим конкрет-ным видом взаимодействия.

Слайд 5

Уравнение (14.8) более универсально: оно одинако-во для всех сферически - симметричных

полей, по-этому займемся сначала этим уравнением. Запи-шем его в раскрытом виде:
(14.9)
Это уравнение допускает дальнейшее разделение переменных. Будем искать функции Y(θ,φ) в виде:
(14.10)
Подставляем (14.10) в (14.9), и разделяем перемен-ные:
(14.11)

Слайд 6

Левая часть уравнения (14.11) зависит только от θ, правая часть только

от φ, поэтому для того, чтобы равенство (14.11) удовлетворялось для любых θ, φ, необходимо, чтобы левая и правая части равня-лись некоторой константе, которую обозначим в виде m2:
(14.12)
(14.13)
Сначала займемся уравнением (14.12). Его решение хорошо известно:
(14.14)
где A и B - некоторые константы.

Слайд 7

Очевидно, что решение (14.14) удовлетворяет усло-вию ограниченности. Но т.к. φ -

циклическая пере-менная, а область ее изменения 0 ≤ φ ≤ 2π, то, не-зависимо от значений констант А и В, для выпол-нения условия однозначности решения необходи-мо, чтобы
Отсюда видно, что решение будет однозначным, ес-ли
а это возможно только если m - целое число, вклю-чая отрицательные значения и нуль:
m = 0, ±1, ±2, … (15)

Слайд 8

Теперь рассмотрим уравнение (14.13). Введем вмес-то θ новую переменную ξ:
ξ =

cosθ, -1 ≤ ξ ≤ +1, dξ = - sinθdθ, (14.16)
и будем рассматривать P как функцию ξ. Тогда урав-нение (14.13) принимает вид:
(14.17)
Решение уравнения (14.17) ищется в виде степенно-го ряда, подобно тому, как это было сделано при решении уравнения (12.6). Функция P(cosθ) должна быть непрерывной и конечной при всех углах θ. Чтобы удовлетворить этому условию, параметр λ должен быть равен:
λ = l(l + 1), (14.18)
где l - неотрицательное целое число.

Слайд 9

Функции P(ξ) называются "присоединенными полино-мами Лежандра", их общий вид был найден

еще в 18-м веке французским математиком А.М.Лежанд-ром (A.M.Legendre):
(14.19)
Т.к. уравнение (14.17) содержит 2 целочисленных параметра m и λ = l(l + 1), то формула для полино-ма P также содержит 2 параметра, которые назы-ваются "квантовыми числами" m и l. Например:
и т.д. То, что указанные функции действительно яв-ляются решениями уравнения (14.17), проще всего проверить прямой подстановкой.

Слайд 10

Определив константу λ = l(l+1), подставим ее в урав-нение (14.7)
(14.20)
Решение этого

уравнения также давно известно. Оно ищется в виде степенного ряда аналогично тому, как это было сделано при решении предыдущих задач. Функция R(r) называется радиальной волно-вой функцией (т.к. зависит только от одной коорди-наты r), и выражается через полиномы, которые называются полиномами Лагерра. Кроме квантово-го числа l, в эти полиномы входит еще одно кван-товое число n, которое определяет энергию взаи-модействия электрона с ядром.

Слайд 11

Наиболее простые из полиномов Лагерра имеют вид:
(14.21)
Итак, волновые ψ-функции (собственные функции

уравнения (14.1)) содержат три целочисленных па-раметра (квантовые числа n, l и m):
(14.22)
Например:
Общая теория этих функций описана, например, в учебнике: В.И.Смирнов. Курс высшей математики, том III, часть 2.

Слайд 12

Подведем итоги. Энергия электрона определяется формулой, в точности совпадающей с результа-том,

полученным в рамках теории Бора:
(14.23)
где n = 1, 2, 3, ... - "главное квантовое число". Часто применяются следующие условные обозначения и термины: K-слой, L-слой и т.д.:

Слайд 13

Схематическое изо- бражение уровней энергии и переходов между ними в атоме водорода

Слайд 14

Уровни энергии
атома водорода.
Толщина линии
соответствует
вероятности
перехода.

Слайд 15

Момент импульса электрона в атоме определяет-
ся орбитальным квантовым числом l:
(14.24)
где орбитальное

квантовое число l может прини-
мать значения l = 0, 1, 2, ..., (n-1). Часто применя-ются следующие условные обозначения и тер-мины: s-оболочка, p-оболочка и т.д.:

Слайд 16

Проекция момента импульса на выделенное на-правление (например, на направление внешне-го магнитного

поля) определяется магнитным квантовым числом m:
(14.25)
Магнитное квантовое число может принимать зна-чения:
m = 0, ±1, ±2, …, ± l,
или:
m = -l, -l+1, -l+2,..., 0, 1, 2, ..., l
всего (2l + 1) значений.

Слайд 17

Для наглядности пространственное квантова-ние вектора момента импульса часто изобра-жают графически на

векторных диаграммах:
l = 1
l = 2

Слайд 18

Графические изображения электронных s-, p- и d-оболочек

Слайд 19

Графическое изображение 4f-оболочки

Слайд 20

Приложение: водородоподобный атом; вывод формул

Содержание

Уравнение Шредингера для водородоподобного ато-ма имеет вид:(14.1)где оператор Лапласа:(14.2)Решение этого уравнения

Запишем оператор Лапласа в виде(14.3)где - оператор Лежандра (13.20). Решение урав-нения