Содержание
- 2. 1.2. Функционалы. Постановка простейшей задачи вариационного исчисления Введем понятие функционала и рассмотрим его характерные примеры. О1.
- 3. Таким образом, здесь функционал есть отображение из множества непрерывных кривых, соединяющих две точки в числовую ось
- 4. Интегрируя последнее соотношение, найдем выражение для полного времени: . Очевидно, что от выбора той или кривой
- 5. Пример 4. Задача Цермело. Определить ту траекторию, по которой должен лететь самолет при наличии ветра, так,
- 6. Тогда абсолютная скорость самолета есть V = w + u . Обозначим через φ и ψ
- 7. (для этого напомним, что а cosφ вычисляется по формуле: ). Тогда окончательно имеем: Проиллюстрируем теперь современную
- 8. Поскольку мы полагаем, что у нее существуют y', то естественно считать, что она, как минимум, из
- 9. 1.3. Вариации кривых и функционалов Сейчас мы поступим примерно так, как поступили Л.Эйлер и Ж.Лагранж, рассматривая
- 10. О3. Будем говорить, что кривая (x) из допустимого семейства сообщает функционалу (1.1) относительный минимум, если Подчеркнем,
- 11. Такой min принято называть слабым. Здесь близки как функции, так и производные, как это показывает рисунок
- 12. Для этого изучим так называемую полную вариацию ΔJ =J ( y*+ δy) – J(y*) (1.5) где
- 13. Здесь ΔJ, δJ, δ2J, … - полная, 1-я, 2-я и последующие вариации функционала J, а Δf,
- 14. F(y,h1+h2)= F(y,h1) +F(y,h2), F(y,ch) = kF(y,h), а R(h,y)= 0(h2) в том смысле, что из |h| В
- 15. На пространстве допустимых функций y(x) рассмотрим параметрическое семейство θ > 0 (семейство вариаций δy(x) = θu(x)
- 16. 1.4. Уравнение Эйлера - Лагранжа в дифференциальной форме Итак, будем оставаться в условиях гладкости по всем
- 17. О7. Экстремалью дифференцируемого функционала J(y) назовем такую кривую y(x), на которой F(h,y) = 0 при любом
- 18. Док-во леммы. Пусть f(x*) > 0, a В силу непрерывности f(x) > сonst в некоторой окрестности
- 19. Начнем с того, что по теореме 2: Внеинтегральный член равен нулю, т.к. h(a) = h(b) =
- 20. О7. Уравнение (1.11) называется уравнением Эйлера - Лагранжа для функционала . Замечание 1. Пусть имеется функционал,
- 21. Замечание 2. Свойство кривой y(x) быть экстремалью функционала не зависит от выбора системы координат. Преобразование и
- 22. Обойти требование существования y׳׳(x) можно, используя преобразование Дюбуа - Раймонда, для построения которого введем функцию ,
- 23. Записав необходимое условие экстремума функционала в форме Дюбуа - Раймонда и используя одноименную лемму, получим интегральную
- 24. Вместе с тем в ряде случаев оно допускает сведение к уравнению 1-го порядка или даже может
- 25. 3. Функция f(x,y,y') не зависит от y', т.е. f = f(x,y). Здесь уравнение Эйлера - Лагранжа
- 26. 1.5. Необходимое условие Лежандра слабого минимума функционала Итак, предположим, что мы нашли решение уравнения Эйлера -
- 27. Здесь δy и δy' малы, или, в терминах Чебышевской близости, все допустимые кривые и их первые
- 28. Но, так как, согласно теореме 2, δJ = 0, то нам нужно рассмотреть только вторую вариацию.
- 29. Исследуем эту квадратичную функцию при δy → 0 и δy‘→ 0, выделяя главную часть при предельном
- 30. В согласии с (1.15) принимает вид: . Помня, что на [P,Q] δy' постоянна и мала, а
- 31. и, наконец, Т.о. при ε → 0 главная часть выражения для определяется вторым интегралом и принимает
- 32. Таким образом, мы получили второе необходимое условие минимума функционала. Замечание 1. Для случая функционала, зависящего от
- 33. на всем промежутке [a, b], на котором заданы экстремали. 1.6. Необходимое условие Вейерштрасса сильного минимума функционала
- 34. Обращаясь к разложению полной вариации функционала (1.8) , (1.17) 34
- 35. напомним, что при построении условия Лежандра мы полагали, что можно ограничиться только квадратичными членами, так как
- 36. Тогда имеем: , где Выясним структуру функции Вейерштрасса (1.18), для этого вновь рассмотрим вариации специального вида
- 37. Оценим каждый из интегралов в (1.19): - на [Q,R], разложив Δf в ряд Тейлора и учитывая
- 38. - на [P,Q], в согласии условиями, что δy' - любое, а длина промежутка c ~ ε2,
- 39. Теорему 4. Для того, чтобы экстремаль (x) сообщала сильный относительный минимум функционалу , необходимо, чтобы на
- 40. 4. Для случая функционала, зависящего от n функций неравенство Вейерштрасса имеет вид: , 5. В чем
- 41. Далее мы увидим и другие стороны роли неравенства Вейерштрасса в вариационном исчислении, но для этого нам
- 42. Т.е. т.е. можно ограничиться квадратичными членами в разложении ∆f 1.7. О некоторых проблемах классического вариационного исчисления
- 43. Т.к. f(x,y) = x2/3y׳2, то уравнение Эйлера - Лагранжа таково: fy׳ = x2/3y׳ = const, откуда
- 44. Однако к этому минимуму можно сколько угодно хорошо приблизиться и гладкими функциями. Укажите эти функции. Но
- 45. При этом условие Лежандра на функциях y*(x) и на y**(x) дает, во-первых, , и на y*(x)
- 46. Т.е. «решений» бесконечное множество! Каждое {yn(x)} – решение. Вместе с тем к «негладкому» минимуму можно сколь
- 48. Скачать презентацию