Сложный четырехполюсник (задача)

+ 1 ⎟ ⋅1 − Z
⎝ Z 2 ⎠

1

⎛ Z ⎞

Проверка

D = I 1 = 1

•
I 2

1

•
I 1

B = U 1 = I 1 ⋅ Z 1 = Z

•
I 2
•

• •

• •
I 2 = I 1

1

• •
U 1 U 1

1 =

•
I

=

Z

Z

кз

Находим

Режим короткого замыкания (рис. 3).

⎪⎩I 1 = D ⋅ I 2

⎪U 1 = B ⋅ I 2

⎨ •

⎧ •

•
U 2 = 0,

•

•

Z 1 + Z 2

Z 2

• • •
U 2 = I 1 ⋅ Z 2 = U 1 ⋅

U 1
Z 1 + Z 2

U 1
Z хх

•
I 1 =

=

•

•

2

2

C = I 1 =

2 2

A = U 1 = Z 1 + Z 2 = 1 + Z 1

•
U 2
•

1

Z

•
U

Z Z

•

Находим

Режим холостого хода (рис. 2).

⎪⎩I 1 = C ⋅U 2

⎪U 1 = A ⋅U 2

⎨ •

⎧ •

⎪U 1 = A ⋅U 2 + B ⋅ I 2
⎪⎩I 1 = C ⋅U 2 + D ⋅ I 2
•
I 2 = 0,

•

•

⎨ •

⎧ •

• •

• •

Zхх = Z1 + Z2
Уравнения А-параметров четырехполюсника.

2 4
Рис. 3. Режим короткого замыкания
Zкз = Z1

Рис. 2. Режим холостого хода

3

4

I 1 Z 1 I 2 = 0

U 1

U 2

1

2

Z 2

1 3

I 1 I 2

U 2 = 0

U 1

Z 1

Z 2

Найдем А - параметры простых четырехполюсников.
Сопротивление холостого хода Zхх и короткого замыкания Zкз четырехполюсника определим методом преобразования цепи.

(1), (2).

( 2 )

где

[ A] = [ A′] ⋅[ A′ ].

,

⎪U 1 = A11 ⋅U 2 + A12 ⋅ I 2
⎪⎩I 1 = A21 ⋅U 2 + A22 ⋅ I 2

⎨

⎧ •

• • •

• •

Рис.4. Каскадное соединение
Уравнение передачи четырехполюсника с A-параметрами:

1

U1
2

3
U2
4

Каскадное соединение (рис. 4)
I1 I1'

I1 ''

I2'' I2

I2'

( 1 )

⎟
⎝ r1 ⎠

⎟
1

⎛ 1 0⎞

⎜

A′ = ⎜ 1

1 ⎟
⎠

r2 ⎟
⎟
⎟

⎞

⎜
⎝

⎜

A′ = ⎜

⎜1 +
− jX

⎛

1
− jX C 2

C 2

r2

C 2

1 3 1

2

2

3

4

н)

ж)

r2

Получили А-параметры двух простых четырехполюсников

j⋅
⎜ X

r2

C2

j

r2 ⎟
⎟
1 ⎟
⎠

⎛⎜

⎞⎟

Вычислим A-параметры:

ω = 2⋅π⋅ f = 7.5398 × 10

4

Для четырехполюсника I :
r1 = 700 Ом.

A' = ⎜

1

⎝ 1.4286 × 10 1 ⎠

− 3

0 ⎞

⎛

⎟

Для четырехполюсника II :

r2 = 700

Ом; X =

C2 ω⋅C2

1

= 18.947 Ом.

A'' =

1 + 36.945j

⎝ 5.278j × 10

− 2

7 × 10

2 ⎞

1

⎛

⎜

⎜

⎟

⎟

⎠

A = A'⋅ A'' = ⎜

1

⎝ 1.4286 × 10

− 3

0 ⎞ ⎛

1 ⎠ ⎝ 5.278j × 10

⎛

⎟⋅⎜

1 + 36.945j

− 2

7 × 10

2

1

⎜

⎞

⎟

⎟ =

⎠

= ⎢

1⋅(1 + 36.945j) + 0⋅(5.278j × 10

− 2)
×

⎣ 1.4286 × 10 3 (1 + 36.945j) +
1 + 36.9j

−

⋅(

)

1⋅700 + 0⋅1

1.4286 × 10 3⋅700 + 1⋅1 ⎦

−

⎡

⎢

⎤

⎥ =

⎥

= ⎜

⎝ 1.43 × 10 3 + 0.106j 2

−

700 ⎞
⎟

⎛

⎠

П-четырехполюсник

⎟ =

⎟

⎟
⎟

2 ⎠

⎞

⎜ Z

AП = ⎜ 1

⎜
⎜

⎝ 2

⎛

1 +
Z

+ +
Z Z ⋅ Z

1 +

1

3 2 3

1

Z 1

Z 1
Z 3

1

Z

Z

=

1 +

700

⎣ 700

−18.95j

700⋅(−18.95j)

700 ⎥

700 ⎦

⎡

⎢

⎤

=

1 + 36.9j

⎝ 1.43 × 10 3 + 0.106j 2

−

700 ⎞
⎟

⎛

⎜

⎠

в параметрической форме.
I 1

1

2

3

4

U 1

U 2

⎪⎩I 2 = Y 21 ⋅U 1 + Y 22 ⋅U 2

⎪I 1 = Y 11 ⋅U 1 + Y 12 ⋅U 2

⎨ •

⎧ •

⎟

Y 12 ⎞ U 1 ⎟

U 2 ⎠

⎞

⎝ 21 22 ⎠⎝

⎛ •

⎟

⎟ = ⎜Y

⎛ Y 11

⎜ I 1 ⎟

I 2 ⎠

⎞

⎜ •

⎝

⎛ •

• •

• •

•

Y

⎟ , где | A |= 1.

22 ⎠ 12 ⎝ 1

− | A |⎞

1

11 ⎠

⎛ A22

⎝ 21

Y 12 ⎞

⎛Y 11

⎟ = ⎜
A

− A

⎜
Y Y

Y = ⎜

⎛ 2.86 × 10

− 3

⎝ 1.43 × 10

− 3

−1.43 × 10

− 3

−1.43 × 10 − 5.28j × 10

− 3

− 2 ⎟

⎜

⎞

⎟

⎠

⎪⎩U 2 = Z 21 ⋅ I 1 + Z 22 ⋅ I 2

⎪U 1 =

⎨ •

⎧

11 ⋅ 12 ⋅

I 1 + Z I 2

I 2 ⎟
⎠

12 ⎟⎜ I 1 ⎟

⎞

⎜ •

⎝ 21 22 ⎠⎝

⎞⎛ •

⎜U 1 ⎟ = ⎜

⎛ Z

⎟
2 ⎠

⎞

⎜ •

⎝

⎛ •

• •

• •

•

11

Z

Z Z

Z

U

⎟.

A21 ⎝ 1

− | A |⎞

1

− A22 ⎠

⎛ A11

⎜
⎝ Z 21 Z 22 ⎠

Z 12 ⎞

⎛ Z 11

⎜

⎟ =

3.5 × 10 − 4.74j
Z = ⎜

2

0.13 − 9.47j

−0.13 + 9.47j
⎟
−0.26 + 18.94j ⎠

⎛

⎝

⎞

⎪⎩I 2 = H 21 ⋅ I 1 + H 22 ⋅U 2

⎪U 1 =

⎨ •

⎧

11 ⋅ 12 ⋅

I 1 + H U 2

⎟
2 ⎠

12 ⎟⎜ I 1 ⎟

⎞

⎜ •

⎝ 21 22 ⎠⎝

⎞⎛ •

⎜U 1 ⎟ = ⎜

⎛ H

⎟
2 ⎠

⎞

⎜ •

⎝

⎛ •

• •

• •

•

11

H

U

H H

H

I

⎟.

A22 ⎝ 1

| A | ⎞

1

− A21 ⎠

⎛ A12

⎝ H 21 H 22 ⎠

⎛ H 11 H 12 ⎞

⎜

⎟ =

⎜

H =

⎜ 3.5 × 10

2

0.5 −7.14 × 10 4 − 5.28j × 10

0.5

−

− 2 ⎟

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠