Механика твердого тела

Физика

любая прямая проведенная между любыми двумя материальными точками твердого тела при движении всегда остается параллельной самой себе.

Виды движения твердого тела

Центр масс твердого тела ВСЕГДА движется так же, как двигалась бы материальная точка равной массы под действием всех приложенных к телу внешних сил.

При поступательном движении все остальные точки тела движутся параллельно центру масс.

двумя точками твердого тела при движении всегда остается параллельной самой себе.

При поступательном движении достаточно следить за любой одной точкой тела. Остальные движутся параллельно. Описание такого движения ничем не отличается от описания движения одной материальной точки.
Надо следить за не более, чем тремя ее координатами..

Виды движения твердого тела

При поступательном движении достаточно следить за любой одной точкой тела. Остальные движутся параллельно. Описание такого движения ничем не отличается от описания движения одной материальной точки.
Надо следить за не более, чем тремя ее координатами..

закрепленной оси все его точки движутся по окружностям с центрами на оси вращения.

Вращательное движения твердого тела

Тело при этом не обязательно должно совершать полные обороты. Возможны просто колебания.

Достаточно следить за одной координатой - углом поворота φ по отношению к некоторой опорной оси..

φ

– (псевдо)вектор, направленный вдоль оси вращения - по правилу правого винта. «Псавдо» = направление условно, а повороты вокруг разных осей не коммутируют

Ввязь угловой скорости общения ω и линейной
скорости V точки, с радиус-вектором r:
V = [ω,r] => V = ω r sin(α) = R ω

Связь угловой и линейной скорости

Линейная скорость точки при вращательном движении всегда направлена по касательной к траектории движения (окружности).

Угловое ускорение: β = dω/dt [rad/s2] = [s-2 ]

моменту силы относительно той же точки.

Момент импульса частицы относительно некоторой точки.

М = [r, р]

импульса постоянен

Момент импульса остается постоянным и для незамкнутой системы, если суммарный момент внешних сил равен нулю.

Для отдельной материальной точки, движущейся в центральном поле сил, момент импульса тоже остается постоянным относительно точки - центра поля.

массы mi относительно оси OZ:
Mi = RiPi = RiωzmiRi = ωzmiRi2

Момент импульса всего тела массы М
относительно оси OZ :
Mz = ωzΣmiRi2 = ωzIz , где
Iz = ΣmiRi2 =>, момент инерции
твердого тела относительно оси OZ

Переходя от суммирования к интегрированию по объему тела, момент инерции можно записать в виде:
Iz = Σ mi Ri2 = ρ(r)rz2dV

Ньютона для поступательного движения.

Подставим в него момент импульса, выраженный через момент инерции тела в проекции на ось вращения OZ:
d(ωzIz)/dt = Izβz = ΣNiz
Здесь βz - угловое ускорение вращающегося тела в проекции на ось вращения OZ; ΣNiz - сумма проекций всех моментов внешних сил на ось вращения OZ.
Это уравнение движения для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

вращения OZ
можно представить в виде суммы или интеграла
Iz = Σ mi Ri2 = ρ(r)rz2dV

Для отдельной элементарной массы m,
(материальной точки) вращающейся
на расстоянии R от оси,
момент инерции очевидно равен
Iz = mR2

Найдем далее моменты инерции для некоторых симметричных тел

проходящей
через его центр, перпендикулярно его плоскости.

Каждая элементарная масса Δm имеет
момент инерции ΔIz = ΔmR2
Очевидно, что все кольцо массы М имеет
момент инерции
Iz = ΣΔmR2 = МR2

2. Тонкостенный цилиндр, вращающийся относительно оси симметрии

Каждая элементарная масса Δm имеет
момент инерции ΔIz = ΔmR2
Очевидно, что весь цилиндр массы М имеет
момент инерции
Iz = ΣΔmR2 = МR2

ρ,
вращающийся вокруг оси симметрии.

Возьмем вложенный тонкостенный цилиндр
с массой dm = ρL2πrdr
Его момент инерции dIz = dmr2 = ρL2πr3dr

ω

R

r = r+dr

L

Момент инерции всего цилиндра находим,
интегрируя по всем тонкостенным цилиндрам
с радиусами от 0 до R:
Iz = 2πLρ r3dr = πLρR4/2 =
= MR2/2

M = ρLπR2

радиуса R, вращаю-
щаяся вокруг оси OZ, проходящей через ее центр.

Разобьем сферу мысленно на множество тонких
перпендикулярных оси OZ колец шириной Rdθ
и с радиусами r = Rsinθ, зависящими от угла θ,
под которым кольцо видно из центра сферы.

ω, Z

o

R

Каждое кольцо имеет момент инерции, равный
dIz = (dm)R2sin2θ

Массы колец пропорциональны их площадям поверхности:
dm = М 2πR|sinθ| Rdθ / 4πR2 = М|sinθ|dθ / 2

θ

Интегрируя по всем кольцам (2 раза по dθ от 0 до π/2), находим:

Iz = MR2 sin3θdθ = MR2 (1 - cos2θ)d(-cosθ) = 2MR2/3

ρ,
вращающийся вокруг оси симметрии.

Возьмем вложенную тонкостенную сферу
с массой dm = ρ4πr2dr
Ее момент инерции dIz = 2(dm)r2 /3= 8πρr4(dr)/3

Момент инерции всего шара находим,
интегрируя по всем тонкостенным сферам
с радиусами от 0 до R:
Iz = (8/3)πρ r4dr = 8πρR5/15 =
= 2MR2/5

M = ρ4πR3/3

ω, Z

o

R

r - r+dr

массы М,
вращающийся вокруг оси перпендикулярной ему
и проходящей через конец стержня

Разобьем мысленно стержень на элементарные
массы dmi = Mdr/L
Каждая элементарная масса имеет момент
инерции dIz = (dm)r2 = Mr2dr/L

Момент инерции всего стержня находим,
интегрируя по всем элементарным массам
с расстояниями до центра вращения от 0 до L:
Iz = (M/L) r2dr = ML2/3

ω

ri

dmi

на расстоянии R от нее:
2. Кольцо и тонкостенный цилиндр, радиуса R,
вращающиеся вокруг оси симметрии
3. Однородный цилиндр радиуса R,
вращающийся вокруг оси симметрии
4. Тонкостенная сфера радиуса R,
вращающаяся вокруг оси симметрии
5. Однородный шар радиуса R,
вращающийся вокруг оси симметрии
6. Однородный тонкий стержень длины L,
вращающийся вокруг оси перпендикулярной ему
и проходящей через конец стержня

Iz = MR2
Iz = MR2
Iz = MR2/2
Iz = 2MR2/3
Iz = 2MR2/5
Iz = MR2/3

через центр масс С.
Найдем его момент инерции относительно
параллельной оси, проходящей через точку О,
отстоящую от С на радиус - вектор а.

IО = ΣmiRi2 = Σmi(Rci + a)2 = ΣmiRci2 + 2aΣmiRci +(Σmi)a2

ΣmiRci2 = IС ; 2aΣmiRci = 0 ; (Σmi)a2 = Ма2

IО = IС + Ма2

Момент инерции тела относительно произвольной оси равен его моменту
инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс,
плюс произведению массы тела на квадрат расстояния между осями.

энергии находим: T = Iz ω2/2

Кинетическая энергия твердого тела: T = Σmivi 2/2

Линейная скорость i-ой точки:
vi = [ω,ri] ; vi = ωRi

T = Σmivi 2/2 = ω2ΣmiRi 2/2

ΣmiRi 2 = Iz

всех внутренних сил, действующих на mi
Fi- равнодействующая всех внешних сил, действующих на mi
fi+ Fi - равнодействующая всех сил, лежащая в плоскости вращения

dAi = (fi+Fi)dri -
элементарная работа всех сил;

После циклической перестановки векторов:
dAi = (dφ[fi ,ri ]) +(dφ[Fi,ri ])

Так как dri = [dφ,ri ]
dAi = (fi [dφ,ri ]) +(Fi [dφ,ri ])

Суммируем по всем элементарным массам:
dA=ΣdAi=(dφ,Σ[fi ,ri]) +(dφ,Σ[Fi,ri])=(dφ,ΣNi внутр) +(dφ,ΣNiвнеш )

Окончательно: dA = (dφ,ΣNi внеш ) = NZ внешdφ
При повороте на конечный угол: A = NZ внешdφ