Свободные затухающие колебания

Сентябрь 14, 2022

Главная
Физика
Свободные затухающие колебания

Содержание

2. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний и его решение Получим это уравнение на примере пружинного маятника. При
3. (*) Для реального колебательного контура ( ) в разделе 5.1 получили Введя обозначения (*) Получим (**):
4. 1) , где начальная амплитуда и начальная фаза определяются из начальных условий: . При небольшом затухании
5. 2) При большом затухании , где - вещественные постоянные, которые определяются начальными условиями. , т.е. X
6. Условие, при котором затухающие колебания переходят в апериодический процесс: Для колебательного контура: -критическое сопротивление, при котором
7. Общие характеристики колебательной системы с затуханием 1. Коэффициент затухания β . Время релаксации τ. Рассмотрим промежуток
8. 2. Логарифмический декремент затухания δ. Отношение амплитуд, соответствующих моментам времени, различающимся на период, называют декрементом затухания
9. 3. Добротность колебательной системы Q. Добротность характеризует потери энергии в колебательной системе Она равна произведению на
10. При малом затухании колебаний : (2) (2) Добротность системы с малым затуханием пропорциональна числу колебаний, в
11. 5.3 Вынужденные колебания Происходят под действием внешней, периодически меняющейся со временем силы. Чтобы в реальной колебательной
12. - некая периодическая функция времени. Пусть, например, она меняется по гармоническому закону: Общий вид дифференциального уравнения
13. Рассмотрим случай не очень быстрого затухания собственных колебаний, когда Тогда а соответствует незатухающим колебаниям с частотой
14. (3) Определим и , потребовав, чтобы x(t) удовлетворял (1). А (4) (5) (3), (4), (5)⇨ (1):
15. Далее используем метод векторных диаграмм. Рассмотрим векторное уравнение (6) Выражение (6) – проекция на ось OX
16. Из прямоугольного треугольника (7) (8) Т.о. А и зависят от соотношения и , хотя вынужденные колебания
17. Резонанс Амплитуда вынужденных колебаний определяется выражением Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждаю- щей силы приводит
18. - частота вынуждающей силы, при которой амплитуда вынужденных колебаний максимальна.
19. Исследуем зависимость : 1) - статическое смещение системы из положения равновесия под действием постоянной силы .
20. Т.о. c ростом коэффициента затухания уменьшается рост амплитуды при резонансе, а резонансная частота смещается влево по
21. (8) Изобразим фазовые резонансные кривые б) меняется . (Например, настройка радиоприемника на частоту передающей станции).
23. Скачать презентацию

Слайд 2

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний и его решение
Получим это уравнение на

примере пружинного маятника. При небольших скоростях движения тела сила сопротивления

(**)

Слайд 3

()
Для реального колебательного контура ( )
в разделе 5.1 получили
Введя обозначения
()
Получим (**):
-

общий вид дифуравнения свободных затухающих колебаний любой природы.

Это однородное линейное (при постоянных коэффициентах) дифуравнение 2-го порядка.
Решение уравнения различно в зависимости от соотношения между коэффициентами. Рассмотрим 2 случая - и .

Слайд 4

1)
, где начальная амплитуда и начальная фаза определяются из начальных

условий: .

При небольшом затухании

Частота колебаний

Период колебаний

Амплитуда

С ростом затухания период колебаний растет.

Слайд 5

2) При большом затухании
, где - вещественные постоянные, которые определяются начальными

условиями.

, т.е. X с течением времени убывает.

При этом система совершает апериодическое движение – возвращение выведенной из состояния равновесия системы обратно происходит без колебаний двумя способами.
1 –систему вывели из состояния равновесия и отпустили без толчка.
2 – вывели из состояния равновесия и сообщили сильный толчок к положению равновесия.

Слайд 6

Условие, при котором затухающие колебания переходят в апериодический процесс:
Для колебательного контура:
-критическое

сопротивление, при котором прекращаются колебания в контуре.

В механической системе с диссипативными силами:

Слайд 7

Общие характеристики колебательной системы с затуханием
1. Коэффициент затухания β . Время

релаксации τ.

Рассмотрим промежуток времени

Отношение двух амплитуд, отстоящих друг от друга на этот промежуток времени

Коэффициент затухания обратен по величине промежутку времени, за который амплитуда уменьшается в e раз.
Промежуток времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации колебаний.

Слайд 8

2. Логарифмический декремент затухания δ.
Отношение амплитуд, соответствующих моментам времени, различающимся на

период, называют декрементом затухания

, где - число колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в е раз.

Логарифмический декремент затухания обратен числу колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в е раз.

Слайд 9

3. Добротность колебательной системы Q.
Добротность характеризует потери энергии в колебательной системе

Она равна произведению на отношение энергии, запасенной в системе в произвольный момент времени, к убыли этой энергии за один период колебаний.

Рассмотрим колебательный контур с малым затуханием.

Когда вся энергия сосредоточена в конденсаторе, полная энергия колебаний

(1)

Слайд 10

При малом затухании колебаний :
(2)
(2)
Добротность системы с малым затуханием пропорциональна числу

колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в е раз.

Слайд 11

5.3 Вынужденные колебания
Происходят под действием внешней, периодически меняющейся со временем силы.

Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии.
В колебательном контуре, например, такая компенсация осуществляется с помощью источника переменного тока.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение

Получим это уравнение на примере колебательного контура, подключенного к переменной ЭДС.

Слайд 12

- некая периодическая функция времени. Пусть, например, она меняется по гармоническому

закону:

Общий вид дифференциального уравнения вынужденных колебаний любой природы:

Если вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону с частотой Ω
уравнение имеет вид

(1)

(1) – линейное (при постоянных коэффициентах) неоднородное уравнение 2-го порядка. Общее решение такого уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения + любое частное решение неоднородного уравнения:

Слайд 13

Рассмотрим случай не очень быстрого затухания собственных колебаний, когда
Тогда
а соответствует незатухающим

колебаниям с частотой вынуждающей силы:

Где А – амплитуда, - величина отставания по фазе вынужденного колебания от вынуждающей силы.
После приложения периодически действующей силы к колебательной системе вначале возникает переходный процесс: со временем собственные колебания в системе затухают и остаются только колебания вида (2):

(2)

(3)

Слайд 14

(3)
Определим и , потребовав, чтобы x(t) удовлетворял (1).
А
(4)
(5)
(3), (4),

(5)⇨ (1):

Последнее уравнение должно выполняться в любой момент времени. Для t=0:

Т.к. , то

Слайд 15

Далее используем метод векторных диаграмм. Рассмотрим векторное уравнение
(6)
Выражение (6) – проекция

на ось OX векторного уравнения (см. рис.)

а)

б)

Слайд 16

Из прямоугольного треугольника
(7)
(8)
Т.о. А и зависят от соотношения и , хотя

вынужденные колебания происходят при частоте вынуждающей силы.
Если нет затухания, т.е. , то - нет отставания по фазе колеблющейся величины X от вынуждающей силы.

Слайд 17

Резонанс
Амплитуда вынужденных колебаний
определяется выражением
Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждаю-
щей

силы приводит к тому, что при некоторой определенной для данной
системы частоте амплитуда достигает максимального значения. Это явле-
ние называется резонансом, а соответствующая частота - резонансной.
Рассмотрим две ситуации.
а) меняется .

Резонансную частоту определим из условия максимального значения амплитуды или минимального значения для подкоренного выражения в знаменателе. Продифференцировав это выражение по и приравняв нулю, получим условие, определяющее резонансную частоту:

Слайд 18

- частота вынуждающей силы, при которой амплитуда вынужденных колебаний максимальна.

Слайд 19

Исследуем зависимость :
1)
- статическое
смещение системы из положения равновесия под действием

постоянной силы .

3) Изменяем :

Слайд 20

Т.о. c ростом коэффициента затухания уменьшается рост амплитуды при резонансе, а

резонансная частота смещается влево по оси частот.
При резонанса
амплитуд не наблюдается.

добротность системы при малом затухании - отношение амплитуды в резонансе к статическому смещению .

При малом затухании

Слайд 21

(8)
Изобразим фазовые резонансные кривые
б)
меняется . (Например, настройка радиоприемника на частоту передающей

станции).

Свободные затухающие колебания

Содержание

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний и его решениеПолучим это уравнение на

(*)Для реального колебательного контура ( )в разделе 5.1 получилиВведя обозначения(*)Получим (**):-

1) , где начальная амплитуда и начальная фаза определяются из начальных

2) При большом затухании, где - вещественные постоянные, которые определяются начальными

Условие, при котором затухающие колебания переходят в апериодический процесс:Для колебательного контура:-критическое

Общие характеристики колебательной системы с затуханием1. Коэффициент затухания β . Время

2. Логарифмический декремент затухания δ.Отношение амплитуд, соответствующих моментам времени, различающимся на

3. Добротность колебательной системы Q.Добротность характеризует потери энергии в колебательной системе

При малом затухании колебаний :(2)(2)Добротность системы с малым затуханием пропорциональна числу

5.3 Вынужденные колебанияПроисходят под действием внешней, периодически меняющейся со временем силы.