Техническая механика. Элементы сопротивления материалов

Июль 29, 2022

Главная
Физика
Техническая механика. Элементы сопротивления материалов

Содержание

2. II. Сопротивление материалов
3. Сопротивление материалов Элементы сопротивления материалов - 2 -
4. Механика деформируемого твёрдого тела (МДТТ) Сопротивление материалов Теория упругости Теория пластичности Теория прочности Теория надёжности Теория
5. Механика деформируемого твёрдого тела (МДТТ) Деформация материала = изменение формы и размеров деформируемого тела при воздействии
6. МДТТ: отличия от МАТТ – Число степеней свободы – Аналитические методы анализа, основанные на опыте (сопромат)
7. Элементы сопротивления материалов - 1 -
8. Сопромат Задачи по обеспечению: – нормальной работы элементов конструкции и всей конструкции в целом без риска
9. Новые материалы Аэрогель – материал, на 99,9% состоящий из воздуха
10. Пример. Аэрогели Гели – состоят из высокомолекулярных и низкомолекулярных веществ. Наличие трёхмерного полимерного каркаса (сетки, матрицы)
11. Аэрогель – теплоизолятор Кирпич массой 2,5 кг стоит на куске аэрогеля массой 2,38 г
12. Классификация материалов – кристаллические, – аморфные – упругие, – пластические, – упругопластические, – хрупкие
13. Классификация сил – объёмные и поверхностные – контактные силы – сосредоточенные и распределённые – постоянные и
14. Деформации и внутренние напряжения – деформация, – внутренние силы, напряжения, – метод сечений
15. Метод сечений
16. Допускаемые напряжения [р] = рв / k [р] – допускаемые напряжения, k – коэффициент запаса прочности,
17. План решения задач – определение величины и характера внешних сил, – выбор материала, – выбор параметров
18. Роберт Гук 1635-1703
19. Виды деформаций
20. Растяжение-сжатие
21. Растяжение – сжатие
22. Растяжение – сжатие Растяжение-сжатие - вид продольной деформации стержня или бруса, возникающий в том случае, если
23. Растяжение – сжатие Одноосное или линейное напряжённое состояние. Может быть двух- и трёхосным. Вызывается силами, приложенными
24. Растяжение-сжатие σ = P/F σ – нормальное напряжение, P – растягивающая/сжимающая сила, F – площадь поперечного
25. Условие прочности σ = P/F ≤ [σ] σ – действительное напряжение, [σ] – допускаемое напряжение [σ]
26. Предел прочности σВ = PВ /F σВ – предел прочности, PВ – наибольшая нагрузка до разрушения,
27. Пример. Стяжка ж/д вагонов
28. Стяжка ж/д вагонов ППр: σВ = 50 кг/мм2 ПУпр: σу = 0,6 σВ [σ] = 0,5
29. Стяжка ж/д вагонов Р = 25 т = 25 000 кг ПСеч: F = P/ [σ]
30. Стяжка ж/д вагонов
31. Закон Гука Δl/l = P/EF Е – модуль упругости ε =Δl/l Δl = Pl/EF ε =
32. Закон Гука
33. Модуль упругости: E = σ/ε
34. Диаграмма растяжения А1 – п.проп В1 – п.упр С1 – п.тек К – разруш Z1: ОО1
35. Диаграмма растяжения О3О4 – упр разруш ОО3= Δl0 – пласт деф Δl0 / l – мера
36. Разрушение материала Разрушение – заключительная стадия деформирования материала: разделение материала на составные части. С точки зрения
37. Пример Трубчатая чугунная колонна (труба) с диаметром D = 25 cм сжата силой P = 50
38. h =(D-d)/2 = 2,5 см
39. Коэффициент поперечной деформации ε =Δl/l ε1 =Δb/b μ = ε1 / ε ε1= με μ –
40. Симеон Дени Пуассон Poisson, 1781- 1840 n = - etrans / elongitudinal
41. Коэффициент поперечной деформации
42. Диаграмма напряжения–деформации Е = tg α = σ/ε – модуль Юнга
43. Томас Юнг 1773-1829 Е = σ/ε Английский учёный, физик (один из создателей волновой теории света, механик
44. Диаграммы материалов Е = tg α = σ/ε
45. Диаграмма растяжения чугуна
46. Предел прочности
47. Шведский инженер Юхан Август Бринелль 1849-1925 Металлург, автор метода (1900) определения твёрдости
48. Предел прочности Число твёрдости по Бринеллю Для малоуглеродистой стали σB ≈ 0,36HB σB – предел прочности
49. Допускаемые напряжения [σ] = σв /k [σ] – допускаемые напряжения, k – коэффициент запаса прочности, σв
50. Допускаемые напряжения
51. Выбор коэффициента запаса k – коэффициент запаса прочности
52. Для справки: Сталь ОС: Сталь для рельсового транспорта (оси локомотивов, вагонов и т.п.) Сталь ст2: углеродистая
53. Сложные случаи растяжения-сжатия – Составные стержни из различных материалов – Динамическое нагружение – Температурные напряжения –
54. Петля гистерезиса Циклическое нагружение (идеализированное) Неоднозначная зависимость механического напряжения от деформации упругого тела при циклическом приложении
55. Виды напряжённого состояния
56. Напряжения по наклонным сечениям
57. Напряжения по наклонным сечениям σ0 – в сечении mk σ0 = P / F0 Pα =
58. Нормальные и касательные напряжения Pα = σα+ τα Pα = σ0 cos α σα = Pα
59. Максимальные нормальные и касательные напряжения max σα = σ0 = P/F0 max τα = 0,5 σ0
60. Линейное напряжённое состояние Pα = σα+ τα Соотношения (1): σα = Pα cos α = σ0
61. Главные напряжения σ1 > σ2 > σ3 Главные нормальные напряжения на площадках, если отсутствуют все касательные
62. Плоское напряжённое состояние σ1 > σ2 > σ3, σ3 = 0 σα = σ1 cos2α1 +σ2
63. Плоское напряжённое состояние σ1 > σ2 > σ3 σ3 = 0 σβ=σ1cos2β1+σ2cos2β2=σ1cos2(α+900)+σ2 sin2(α+900) σβ = σ1
64. Плоское напряжённое состояние σ1 > σ2 > σ3, σ3 = 0 Сумма нормальных напряжения по любым
65. Задача Котёл под давлением
66. Пример. Котёл под давлением q [кг/см2], σ′ и σ″ – ? D – диаметр цилиндрической части,
67. Пример Силы, действующие на торцевые крышки (днища) и растягивающие цилиндрическую часть вдоль образующей: P = q
68. Пример Площадь прямоугольного сечения, проходящего через ось симметрии котла: D . l . Равновесие: q .Dl
69. Общий случай 3-мерного напряжённого состояния
70. Деформированное состояние
71. ε1′ = σ1 /Е, μ – коэффициент поперечной деформации, коэффициент Пуассона ε1″ = -μσ2 /Е, ε1‴
72. Деформированное состояние ε1 = σ1/Е - μ(σ2/Е + σ3/Е) ε2 = σ2/Е - μ(σ1/Е + σ3/Е)
73. Относительное изменение объёма θ = ε1+ ε2+ ε3 = = (1-2μ)(σ1+ σ2+ σ3) /Е Частный случай.
74. Относительное изменение объёма Пояснение к θ = ε1+ ε2+ ε3
75. Работа и энергия
76. Работа силы при упругом деформировании Δl = Pl / EF dˊA = (P + 0,5 .dP)
77. Потенциальная энергия упругой деформации – это энергия, которая накапливается в теле при его упругой деформации U
78. Теории (гипотезы) прочности
79. Проверка прочности σ1 ≤ [σ] (или σ3 ≤ [σ]) σ1 (или σ3) – наибольшее по модулю
80. 1. Теория наибольших нормальных напряжений «+» для растяжения хрупких материалов «–» для сжатия плохо согласуется с
81. εmax – максимальная деформация [ε] – допускаемая деформация 2. Гипотеза наибольшего относительного удлинения (укорочения), по наибольшим
82. + на объёмное сжатие + для пластических материалов, не учит. σ2 – плохо согласуется с практикой
83. Uф – часть потенциальной энергии деформации, вызванной изменением формы 4. Энергетическая теория прочности Uф ≤ [Uф]
84. Пример σ1= qD /(2t), σ2= qD /(4t), σ3= 0 1) Т. наибольших нормальных напряжений: σ1 ≤
85. Результаты по расчётам толщины стенок по 1) = 3) и 4) различаются на 14%. 4): 0,86qD/(2t)
86. Проблемы прочности в связи с процессами разрушения
87. Пластические деформации и разрушение хрупкого тела
88. Теория рассматривает процессы появления и развития пластических деформаций и процессы разрушения как ключевые в определении прочности
89. Расчёты на прочность В зависимости от цели различают три вида расчётов на прочность: 1) проверочный (контрольный),
90. Расчёты на прочность 2) При проектном расчёте нагрузки и материал (допускаемые напряжения) известны, и определяют требуемую
91. Некоторые задачи механики деформируемого твёрдого тела
92. Местные напряжения Концентрация напряжений
93. Местные напряжения Концентрация напряжений ak= σmax /σ
94. Усталость материала Циклическое нагружение
95. Усталость материала
96. Циклическое нагружение
97. Усталость материала Разупрочнение металлов при циклических нагрузках, приводящее к разрушению. Накопление усталости = смещение дислокаций (микроскопических
98. Циклическое нагружение
99. Циклическое нагружение Uф ≤ [Uф] Пределом выносливости называется максимальное напряжение цикла, при котором образец выдерживает неограниченное
100. Скорость деформации Скорость деформации – это относительная деформация, отнесённая ко времени процесса При прокатке средняя скорость
101. Скорость деформации Uф ≤ [Uф]
102. Задача Пример выполнения домашней работы
103. Задача Брус (стержень) переменного поперечного сечения находится под действием нескольких продольных сил. Модуль упругости Е= 2·105
104. Пример решения задачи F1= 20 кН, А1=100 мм2 F2= 15 кН, А2=200 мм2, длина участков указана
105. Алгоритм решения задачи - разбить стержень на участки в продольном направлении, границами которых будут точки приложения
106. Пример решения задачи F1= 20 кН, А1=100 мм2 F2= 15 кН, А2=200 мм2
107. Задача Разбиваем стержень на 3 участка. Используя метод сечений, в пределах каждого участка определяем величину и
108. Задача Для первого участка (длиной 0,5 м) проводим сечение и отбрасываем часть с опорой (левую часть
109. Задача На втором участке продольную силу N2 определяем из уравнения: N2 - F2 = 0, откуда
110. Задача Для третьего участка продольная сила N3 равна нулю: N3 = 0 на этом участке стержень
111. Задача При построении эпюр продольные силы, соответствующие деформации растяжения положительны, а при деформации сжатия отрицательны. При
112. Задача Напряжения на каждом участке F1 = 20 кН, А1 =100 мм2 F2 = 15 кН,
113. Задача Определим для каждого участка величину абсолютной деформации (удлинения или укорочения) ε = Δl / l
115. Скачать презентацию

Слайд 2

II. Сопротивление материалов

Слайд 3

Сопротивление материалов
Элементы сопротивления материалов
- 2 -

Слайд 4

Механика деформируемого твёрдого тела (МДТТ)
Сопротивление материалов
Теория упругости
Теория пластичности
Теория прочности
Теория надёжности
Теория устойчивости

Слайд 5

Механика деформируемого твёрдого тела (МДТТ)
Деформация материала = изменение формы
и размеров

деформируемого тела
при воздействии внешних силовых факторов.
Деформация – изменение взаимного положения частиц тела: результат изменения межмолекулярных расстояний или перегруппировки кристаллов

Слайд 6

МДТТ: отличия от МАТТ
– Число степеней свободы
– Аналитические методы анализа, основанные

на опыте (сопромат)
– Аналитические методы ТУиП
– Методы дискретизации
и численные методы ТУиП
(пластичность, ползучесть,
вязкопластичность, динамика, прочность
и др.)

Слайд 7

Элементы сопротивления материалов
- 1 -

Слайд 8

Сопромат
Задачи по обеспечению:
– нормальной работы элементов конструкции и всей конструкции
в

целом без риска разрушения:
– выбора размеров и формы,
– выбора материала,
– надёжности и экономии материала,
Динамика, оптимизация, новые материалы

Слайд 9

Новые материалы
Аэрогель – материал,
на 99,9% состоящий из воздуха

Слайд 10

Пример. Аэрогели
Гели – состоят из высокомолекулярных
и низкомолекулярных веществ. Наличие трёхмерного полимерного

каркаса (сетки, матрицы) даёт гелям механические свойства твёрдых тел: отсутствие текучести, способность сохранять форму, прочность и способность
к деформации (пластичность и упругость)
Обладают рекордно низкой плотностью и имеют уникальные свойства: твёрдость, прозрачность, жаропрочность, чрезвычайно низкую теплопроводность. На ощупь лёгкая, но твёрдая пена, похожая на пенопласт

Слайд 11

Аэрогель – теплоизолятор
Кирпич массой 2,5 кг стоит на куске аэрогеля массой 2,38

Слайд 12

Классификация материалов
– кристаллические,
– аморфные
– упругие,
– пластические,
– упругопластические,
– хрупкие

Слайд 13

Классификация сил
– объёмные и поверхностные
– контактные силы
– сосредоточенные
и распределённые
– постоянные

и временные
– ударные и повторно-переменные
– внезапно приложенные

Слайд 14

Деформации
и внутренние напряжения
– деформация,
– внутренние силы,
напряжения,
– метод сечений

Слайд 15

Метод сечений

Слайд 16

Допускаемые напряжения
[р] = рв / k
[р] – допускаемые напряжения,
k – коэффициент

запаса прочности,
рв – предел прочности

Слайд 17

План решения задач
– определение величины
и характера внешних сил,
– выбор материала,
–

выбор параметров сечения,
– вычисление рmax,
– проверка условия прочности:
рmax < [р],
– определение размеров
и проверка их достаточности

Слайд 18

Роберт Гук 1635-1703

Слайд 19

Виды
деформаций

Слайд 20

Растяжение-сжатие

Слайд 21

Растяжение – сжатие

Слайд 22

Растяжение – сжатие
Растяжение-сжатие - вид продольной деформации стержня или бруса, возникающий в том случае,

если нагрузка к нему прикладывается
по его продольной оси (равнодействующая сил, воздействующих на него, нормальна поперечному сечению стержня и проходит через его центр масс)

Слайд 23

Растяжение – сжатие
Одноосное или линейное напряжённое состояние. Может быть двух- и трёхосным.

Вызывается силами, приложенными
к концам стержня, силами, распределёнными по объёму (силы инерции и тяготения).
Растяжение вызывает удлинение, сжатие вызывает укорочение стержня.
В поперечных сечениях бруса возникает один внутренний силовой фактор
– нормальная сила

Слайд 24

Растяжение-сжатие
σ = P/F
σ – нормальное напряжение,
P – растягивающая/сжимающая сила,
F – площадь

поперечного сечения

Слайд 25

Условие прочности
σ = P/F ≤ [σ]
σ – действительное напряжение,
[σ] –

допускаемое напряжение

[σ] = σВ /k
σВ – предел прочности,
k – коэффициент запаса прочности

Слайд 26

Предел прочности
σВ = PВ /F
σВ – предел прочности,
PВ – наибольшая нагрузка

до разрушения,
F – площадь поперечного сечения

Слайд 27

Пример.
Стяжка ж/д вагонов

Слайд 28

Стяжка ж/д вагонов
ППр: σВ = 50 кг/мм2
ПУпр: σу = 0,6

σВ
[σ] = 0,5 . 0,6 σВ = 0,3 σВ
=>КЗап: k = 1/0,3 = 3,33
=> ДопН: [σ] = σВ/k =
= 0,3 . σВ = 1500 кг/см2

Слайд 29

Стяжка ж/д вагонов
Р = 25 т = 25 000 кг
ПСеч: F

= P/ [σ] ≥ 25 000/1 500 = 16,7 см2
πd 2/4 = F ≥ 16,7 см2
d ≥ 4,55 см
– диаметр по дну нарезки (резьбы)

Слайд 30

Стяжка ж/д вагонов

Слайд 31

Закон Гука
Δl/l = P/EF
Е – модуль упругости
ε =Δl/l
Δl = Pl/EF
ε =

σ/Е, или σ = Eε

Слайд 32

Закон Гука

Слайд 33

Модуль упругости:
E = σ/ε

Слайд 34

Диаграмма растяжения
А1 – п.проп
В1 – п.упр
С1 – п.тек
К

– разруш
Z1: ОО1 – пласт. деф
D1 – п.проч

Слайд 35

Диаграмма растяжения
О3О4 – упр разруш
ОО3= Δl0 – пласт деф
Δl0 /

l – мера пласт
δ = (Δl0 / l) .100% – остат относит удлин
Эффект наклёпа

F0 – первоначальная пл, F1 – в разрыве
ψ = ((F0 - F1) / F0) .100%
– относительное сужение

Слайд 36

Разрушение материала
Разрушение – заключительная стадия деформирования материала:
разделение материала на составные

части.
С точки зрения структуры – разрыв межмолекулярных связей. Разрушение хрупкое и вязкое. При вязком – значительная пластическая деформация материала перед разрушением (глина, пластилин и др). При хрупком – пластическая деформация мала, а разрыв связей происходит сколом или отрывом (стекло, бетон и др). Реальные материалы сочетают одновременно
оба вида разрушения, а подразделение
на хрупкие или вязкие осуществляется
по преобладающему механизму разрушения

Слайд 37

Пример
Трубчатая чугунная колонна (труба)
с диаметром D = 25 cм сжата

силой
P = 50 т. Модуль упругости чугуна
Е = 1 200 000 кг/см2
Допускаемое напряжение
на сжатие [σ] = 300 кг/см2,
длина колонны l = 3,5 м
Определить:
1) толщину стенок колонны
2) её абсолютное укорочение

Слайд 38

h =(D-d)/2 = 2,5 см

Слайд 39

Коэффициент
поперечной деформации
ε =Δl/l
ε1 =Δb/b
μ = ε1 / ε ε1= με
μ

– коэффициент поперечной деформации, коэффициент Пуассона

Слайд 40

Симеон Дени Пуассон Poisson, 1781- 1840
n = - etrans / elongitudinal

Слайд 41

Коэффициент
поперечной деформации

Слайд 42

Диаграмма
напряжения–деформации
Е = tg α = σ/ε – модуль Юнга

Слайд 43

Томас Юнг
1773-1829
Е = σ/ε
Английский учёный, физик (один из создателей волновой теории света, механик (вводит понятия

механической энергии и модуля упругости), врач (впервые описывает астигматизм), астроном, филолог и востоковед
(вводит понятие «индоевропейские языки»).
Полиглот – владеет 13 языками

Слайд 44

Диаграммы материалов
Е = tg α = σ/ε

Слайд 45

Диаграмма растяжения чугуна

Слайд 46

Предел прочности

Слайд 47

Шведский инженер
Юхан Август
Бринелль
1849-1925
Металлург,
автор метода (1900) определения твёрдости

Слайд 48

Предел прочности
Число твёрдости по Бринеллю
Для малоуглеродистой стали
σB ≈ 0,36HB σB –

предел прочности

HB = HBW – число твёрдости по Бринеллю
P – вдавливающая сила
D – диаметр индентора, d – диаметр отпечатка, h – глубина отпечатка

Слайд 49

Допускаемые напряжения
[σ] = σв /k
[σ] – допускаемые напряжения,
k – коэффициент запаса

прочности,
σв – предел прочности

Слайд 50

Допускаемые напряжения

Слайд 51

Выбор
коэффициента запаса
k – коэффициент запаса прочности

Слайд 52

Для справки:
Сталь ОС: Сталь для рельсового транспорта (оси локомотивов, вагонов и т.п.)
Сталь

ст2: углеродистая сталь обыкновенного качества для неответственных деталей повышенной пластичности или глубокой вытяжки, малонагруженных элементов сварных конструкций
Сталь ст3: углеродистая сталь обыкновенного качества (трубы и т.п.)
Сталь легированная содержит элементы, обеспечивающие требуемые свойства. Добавки повышают прочность, коррозийную стойкость, снижают опасность хрупкого разрушения: хром, никель, медь, ванадий, титан, азот и др.

Слайд 53

Сложные случаи растяжения-сжатия
– Составные стержни
из различных материалов
– Динамическое нагружение
– Температурные

напряжения
– Циклическое нагружение
– Учёт собственного веса
– Учёт пластической деформации и ползучести
– Учёт эффектов разрушения

Слайд 54

Петля
гистерезиса
Циклическое нагружение (идеализированное)
Неоднозначная
зависимость
механического
напряжения
от деформации упругого тела при

циклическом приложении и снятии нагрузки. Площадь этой петли пропорциональна
механической энергии, которая рассеялась
(превратилась в теплоту) за время цикла

Слайд 55

Виды напряжённого состояния

Слайд 56

Напряжения
по наклонным
сечениям

Слайд 57

Напряжения
по наклонным
сечениям
σ0 – в сечении mk
σ0 =

P / F0
Pα = P/Fα
Fα = F0 / cosα
Pα = P .cos α / F0 =
= σ0 cos α

Слайд 58

Нормальные и касательные напряжения
Pα = σα+ τα
Pα = σ0 cos α
σα

= Pα cos α = σ0 cos2 α
τα = Pα sin α =
= σ0 sin α .cos α =
= 0,5 σ0 sin 2α
(1)

Слайд 59

Максимальные нормальные
и касательные
напряжения
max σα = σ0 = P/F0
max

τα = 0,5 σ0

Соотношения (1):
σα = σ0 cos2 α
τα = 0,5 σ0 sin 2α

Слайд 60

Линейное
напряжённое состояние
Pα = σα+ τα
Соотношения (1):
σα = Pα cos α

= σ0 cos2 α
τα = Pα sin α =
= σ0 sin α cos α =
= 0,5 σ0 sin 2α

Слайд 61

Главные напряжения
σ1 > σ2 > σ3
Главные нормальные напряжения
на площадках,

если
отсутствуют все касательные напряжения

Слайд 62

Плоское
напряжённое
состояние
σ1 > σ2 > σ3, σ3 = 0
σα =

σ1 cos2α1 +σ2 cos2α2 = σ1 cos2α1 +σ2 cos2(α1+ 900)
σα = σ1 cos2α1 +σ2 sin2α1 (2.1)
τα = 0,5 (σ1 sin2α1 + σ2 sin2α2)
τα = 0,5 (σ1-σ2).sin2α1 (2.2)

Слайд 63

Плоское
напряжённое
состояние
σ1 > σ2 > σ3
σ3 = 0
σβ=σ1cos2β1+σ2cos2β2=σ1cos2(α+900)+σ2

sin2(α+900)
σβ = σ1 sin2α +σ2 cos2α (3.1)
τβ = 0,5 (σ1-σ2).sin2β = 0,5 (σ1-σ2).sin(2α+1800)
τβ = - 0,5 (σ1-σ2).sin2α (3.2)

Слайд 64

Плоское
напряжённое
состояние
σ1 > σ2 > σ3, σ3 = 0
Сумма нормальных

напряжения по любым двум ортогональным площадкам постоянна
и равна сумме главных напряжений (2.1)+(3.1):
σα + σβ= σ1+σ2 = const (4.1)
Закон парности касательных
напряжений (2.2)+(3.2):
τβ = - τα (4.2)

Слайд 65

Задача
Котёл под давлением

Слайд 66

Пример. Котёл под давлением
q [кг/см2], σ′ и σ″ – ?
D –

диаметр цилиндрической части,
l – длина, t – толщина стенок
(t мало` по сравнению с D)

Слайд 67

Пример
Силы, действующие на торцевые крышки (днища) и растягивающие цилиндрическую часть вдоль

образующей:
P = q . πD2/4
Кольцо толщиной t и длиной πD (t малò по сравнению с D)
Площадь кольца:
F = t . πD

σ′ = P/F = qπD2/(4 .πD .t) = qD/(4t)

1) σ′ - ?

Слайд 68

Пример
Площадь прямоугольного сечения, проходящего через ось симметрии котла: D . l

. Равновесие:
q .Dl = 2N => N = q .Dl / 2

Площадь прямоугольного сечения цилиндра
по образующей: t . l
σ″ = N/(t .l) = q .Dl/(2t .l) =
= q .D/(2t)
σ1= q .D/(2t), σ2= q .D/(4t), σ3= 0

Половина
торца
цилиндра

2) σ′′ - ?

Слайд 69

Общий
случай 3-мерного напряжённого
состояния

Слайд 70

Деформированное состояние

Слайд 71

ε1′ = σ1 /Е,
μ – коэффициент поперечной деформации,
коэффициент Пуассона
ε1″ =

-μσ2 /Е,

ε1‴ = -μσ3 /Е

ε1 = (σ1 - μσ2 - μσ3) /Е

ε1 по первому ребру ‖σ1

ε1 = ε1′ + ε1″ + ε1‴

Деформированное
состояние

Слайд 72

Деформированное
состояние
ε1 = σ1/Е - μ(σ2/Е + σ3/Е)
ε2 = σ2/Е - μ(σ1/Е

+ σ3/Е)

ε3 = σ3/Е - μ(σ1/Е + σ2/Е)

Слайд 73

Относительное изменение объёма
θ = ε1+ ε2+ ε3 =
= (1-2μ)(σ1+ σ2+

σ3) /Е

Частный случай. Если σ1 = σ2 = σ3 = σ,

θ = 3σ (1-2μ)/Е

К = Е / (3(1-2μ)) – коэфф. объёмной деформации

θ = (σ1+ σ2+ σ3) / 3К

Слайд 74

Относительное изменение объёма
Пояснение к
θ = ε1+ ε2+ ε3

Слайд 75

Работа и энергия

Слайд 76

Работа силы
при упругом
деформировании
Δl = Pl / EF
dˊA = (P +

0,5 .dP) .d(Δl)

A = 0,5 .P .Δl

dˊA = P .d(Δl)

σ = Eε

ε =Δl/l

Слайд 77

Потенциальная энергия упругой деформации
– это энергия, которая накапливается в теле
при его упругой деформации
U =

A = P2 .l /(2ЕF)
U = σ2 .Fl /(2E), т.к. σ = P/F
Т.к. то удельная U = 0,5 σ .ε
Удельная – энергия единицы объёма

A=0,5P .Δl

U при объёмном напряжённом состоянии

U = (σ12 + σ22+ σ32 – 2μ(σ1σ2+σ1σ3+σ2σ3))/2Е

Δl = Pl / EF

U = 0,5 (σ1 ε1 + σ2 ε2 + σ3 ε3 )

ε = σ/Е,

Слайд 78

Теории (гипотезы)
прочности

Слайд 79

Проверка прочности
σ1 ≤ [σ] (или σ3 ≤ [σ])
σ1 (или σ3)

– наибольшее по модулю главное напряжение,
[σ] – допускаемое напряжение

[σ] = σ0 /k
σ0 – опасное напряжение,
k – коэффициент запаса

Слайд 80

1. Теория наибольших нормальных напряжений
«+» для растяжения
хрупких материалов
«–» для сжатия

плохо согласуется с практикой

σ1 ≠ 0, σ2 ≠ 0, σ3 ≠ 0

σmax ≤ [σ]

Слайд 81

εmax – максимальная деформация
[ε] – допускаемая деформация
2. Гипотеза наибольшего относительного удлинения

(укорочения), по наибольшим относительным деформациям

εmax= ε1 =1/Е.(σ1- μ(σ2+ σ3))

εmax ≤ [ε]

Слайд 82

+ на объёмное сжатие
+ для пластических материалов, не учит. σ2
–

плохо согласуется с практикой
в случае объёмного растяжения

3. Теория наибольших касательных напряжений

τmax = 0,5 (σ1 - σ3)

τmax ≤ [τ],

(1): [τ] = 0,5 [σ]

σ1 - σ3 ≤ [σ]

Слайд 83

Uф – часть потенциальной энергии деформации, вызванной изменением формы
4. Энергетическая теория
прочности
Uф

≤ [Uф]

Uф = A = (1+μ)σ2/(3Е)

Потенциальная энергия деформации при объёмном напряжённом состоянии

Расчётное напряжение

U = (σ12 + σ22+ σ32 – 2μ(σ1σ2+σ1σ3+σ2σ3))/2Е

Слайд 84

Пример
σ1= qD /(2t), σ2= qD /(4t), σ3= 0
1) Т. наибольших нормальных

напряжений:
σ1 ≤ [σ],
3) Т. наибольших касательных напряжений:
σ1 - σ3 ≤ [σ], σ3= 0
σ1 = qD /(2t) ≤ [σ]

q [кг/см2], D – диаметр цилиндрической части,
l – длина, t – толщина стенок

Котёл
под давлением

Слайд 85

Результаты по расчётам толщины стенок
по 1) = 3) и 4)

различаются на 14%.
4): 0,86qD/(2t) ≤ [σ] 1)=3): qD/(2t) ≤ [σ]
Для пластической стали лучше 4)

Пример

4) Энергетическая теория прочности:
≤ [σ],
3q.D /(4t) ≤ [σ]

Слайд 86

Проблемы прочности
в связи с процессами разрушения

Слайд 87

Пластические деформации
и разрушение хрупкого тела

Слайд 88

Теория рассматривает процессы появления и развития пластических деформаций
и процессы разрушения

как ключевые
в определении прочности материала.
Эта теория – синтез теории наибольших касательных напряжений
и теории наибольших удлинений

5. Объединённая теория прочности
Давиденкова-Фридмана

Слайд 89

Расчёты на прочность
В зависимости от цели различают
три вида расчётов на

прочность:
1) проверочный (контрольный),
2) проектный,
3) определение допускаемой нагрузки.
_______________________________
1) При проверочном расчёте нагрузка бруса,
его материал (а, следовательно, допускаемое напряжение) и размеры известны. Определению подлежит наибольшее расчётное напряжение, которое сравнивают с допускаемым.
С проверочными расчётами встречаются,
в частности, при экспертизе выполненных проектов

Слайд 90

Расчёты на прочность
2) При проектном расчёте нагрузки и материал (допускаемые напряжения)

известны, и определяют требуемую площадь сечения бруса и размеры.
3) В некоторых случая проверочный расчёт удобнее вести в форме определения допускаемой нагрузки.
В частности, при изменении режимов технологических процессов, при необходимости повышении нагрузок и, следовательно, необходимости знать их допускаемое значение.
При этом расчёте размеры бруса и его материал (допускаемое напряжение) известны.
Из условия прочности определяют допускаемое значение продольной силы

Слайд 91

Некоторые задачи
механики деформируемого твёрдого тела

Слайд 92

Местные напряжения
Концентрация напряжений

Слайд 93

Местные напряжения
Концентрация напряжений
ak= σmax /σ

Слайд 94

Усталость материала
Циклическое нагружение

Слайд 95

Усталость материала

Слайд 96

Циклическое нагружение

Слайд 97

Усталость материала
Разупрочнение металлов при циклических нагрузках, приводящее к разрушению.
Накопление усталости

= смещение дислокаций (микроскопических несплошностей) на гранях кристаллов при их раскачивании, объединение дислокаций
и образование за счёт этого микротрещин. Микротрещины – в макротрещины: уменьшение живого сечения детали,
а фактические напряжения возрастают
и достигают предела прочности – разрушение

Слайд 98

Циклическое
нагружение

Слайд 99

Циклическое нагружение
Uф ≤ [Uф]
Пределом выносливости называется максимальное напряжение цикла, при котором образец

выдерживает
неограниченное число циклов нагружения, не разрушаясь

Слайд 100

Скорость деформации
Скорость деформации – это относительная деформация, отнесённая ко времени

процесса
При прокатке средняя скорость деформации
Δh - абсолютное обжатие; h0 - высота сечения заготовки; lд - длина очага деформации; V - скорость прокатки

Слайд 101

Скорость деформации
Uф ≤ [Uф]

Слайд 102

Задача
Пример выполнения домашней работы

Слайд 103

Задача
Брус (стержень) переменного поперечного сечения находится под действием нескольких продольных сил.

Модуль упругости Е= 2·105 МПа (Н/мм2)
Определить: 1) внутренние усилия N
2) нормальные напряжения σ,
возникающие в стержне,
3) вычислить абсолютные удлинения (укорочения) участков стержня
и общее изменение длины стержня.
4) Построить эпюры продольных усилий
и нормальных напряжений.

Слайд 104

Пример решения задачи
F1= 20 кН,
А1=100 мм2
F2= 15 кН,
А2=200 мм2,

длина участков указана в метрах

Схема нагружения

Слайд 105

Алгоритм решения задачи
- разбить стержень на участки в продольном направлении, границами

которых будут точки приложения внешних сил, границы стержня и места изменения размеров в поперечном сечении;
- на каждом из участков, используя метод сечений, определить величину внутренней продольной силы и напряжение;
- построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений;
- вычислить удлинение (укорочение) стержня
на каждом из участков и определить общее удлинение (укорочение) как алгебраическую сумму изменений длины на отдельных участках

Слайд 106

Пример
решения задачи
F1= 20 кН,
А1=100 мм2
F2= 15 кН,
А2=200 мм2

Слайд 107

Задача
Разбиваем стержень на 3 участка. Используя метод сечений,
в пределах каждого

участка определяем величину и знак внутреннего продольного усилия N. При этом реакцию опоры можно
не определять, отсекая часть стержня с опорой.

Продольная сила в произвольном поперечном сечении стержня численно равна алгебраической сумме проекций на его продольную ось
всех внешних сил, приложенных
по одну сторону от проведённого сечения

Слайд 108

Задача
Для первого участка
(длиной 0,5 м) проводим сечение
и отбрасываем часть

с опорой (левую часть стержня). Продольную силу N1 определяем, составив уравнение равновесия: N1+F1-F2= 0,
откуда
N1=F2-F1= 15-20 = -5 кН
На эпюре величину N1 указываем со знаком «минус», так как она соответствует сжатию
и направлена к сечению, противоположно показанному направлению

Слайд 109

Задача
На втором участке продольную силу N2 определяем
из уравнения:
N2 -

F2 = 0,
откуда
N2 = F2 = 15 кН
Величина N2 положительна (соответствует деформации растяжения, направлена
от сечения), на эпюре её показываем со знаком «плюс»

Слайд 110

Задача
Для третьего участка продольная сила N3 равна нулю:
N3 = 0
на

этом участке стержень
не имеет деформации

Слайд 111

Задача
При построении эпюр продольные силы, соответствующие деформации растяжения положительны, а при

деформации сжатия отрицательны.
При деформации растяжения продольные силы направлены
от сечения,
при деформации сжатия – к сечению

Слайд 112

Задача
Напряжения
на каждом участке
F1 = 20 кН,
А1 =100 мм2
F2 =

15 кН,
А2 =200 мм2

N1 = -5 кН
N2 = 15 кН
N3 = 0

Слайд 113

Задача
Определим для каждого участка величину абсолютной деформации (удлинения или укорочения)
ε =

Δl / l = P / EF = σ / E

Δl = Pl / EF = σ.l / E

Δl = Δl1 + Δl2 + Δl3 = – 1,25 .10 -5м

Техническая механика. Элементы сопротивления материалов

Содержание

II. Сопротивление материалов

Сопротивление материаловЭлементы сопротивления материалов- 2 -

Механика деформируемого твёрдого тела (МДТТ)Сопротивление материаловТеория упругостиТеория пластичностиТеория прочностиТеория надёжностиТеория устойчивости

Механика деформируемого твёрдого тела (МДТТ)Деформация материала = изменение формы и размеров

МДТТ: отличия от МАТТ– Число степеней свободы– Аналитические методы анализа, основанные

Элементы сопротивления материалов- 1 -

СопроматЗадачи по обеспечению:– нормальной работы элементов конструкции и всей конструкции в

Новые материалыАэрогель – материал, на 99,9% состоящий из воздуха

Пример. АэрогелиГели – состоят из высокомолекулярныхи низкомолекулярных веществ. Наличие трёхмерного полимерного

Аэрогель – теплоизоляторКирпич массой 2,5 кг стоит на куске аэрогеля массой 2,38

Классификация материалов– кристаллические,– аморфные– упругие,– пластические,– упругопластические,– хрупкие

Классификация сил– объёмные и поверхностные– контактные силы– сосредоточенные и распределённые– постоянные

Деформации и внутренние напряжения– деформация,– внутренние силы,напряжения,– метод сечений

Метод сечений

Допускаемые напряжения[р] = рв / k[р] – допускаемые напряжения,k – коэффициент

План решения задач– определение величины и характера внешних сил,– выбор материала,–

Роберт Гук 1635-1703

Виды деформаций

Растяжение-сжатие

Растяжение – сжатие

Растяжение – сжатиеРастяжение-сжатие - вид продольной деформации стержня или бруса, возникающий в том случае,

Растяжение – сжатиеОдноосное или линейное напряжённое состояние. Может быть двух- и трёхосным.

Растяжение-сжатиеσ = P/Fσ – нормальное напряжение,P – растягивающая/сжимающая сила,F – площадь

Условие прочностиσ = P/F ≤ [σ] σ – действительное напряжение,[σ] –

Предел прочностиσВ = PВ /FσВ – предел прочности,PВ – наибольшая нагрузка

Пример.Стяжка ж/д вагонов

Стяжка ж/д вагонов ППр: σВ = 50 кг/мм2ПУпр: σу = 0,6

Стяжка ж/д вагоновР = 25 т = 25 000 кгПСеч: F

Стяжка ж/д вагонов

Закон ГукаΔl/l = P/EFЕ – модуль упругостиε =Δl/lΔl = Pl/EFε =

Закон Гука

Модуль упругости:E = σ/ε

Диаграмма растяженияА1 – п.проп В1 – п.упр С1 – п.тек К

Диаграмма растяженияО3О4 – упр разруш ОО3= Δl0 – пласт дефΔl0 /

Разрушение материалаРазрушение – заключительная стадия деформирования материала: разделение материала на составные

Пример Трубчатая чугунная колонна (труба)с диаметром D = 25 cм сжата

h =(D-d)/2 = 2,5 см

Коэффициент поперечной деформацииε =Δl/lε1 =Δb/bμ = ε1 / ε ε1= μεμ

Симеон Дени Пуассон Poisson, 1781- 1840n = - etrans / elongitudinal

Коэффициент поперечной деформации

Диаграмма напряжения–деформацииЕ = tg α = σ/ε – модуль Юнга

Томас Юнг1773-1829Е = σ/εАнглийский учёный, физик (один из создателей волновой теории света, механик (вводит понятия

Диаграммы материаловЕ = tg α = σ/ε