Вращательное движение. Лекция 1.4

между которыми неизменны.
При вращении твердого тела вокруг оси все его точки при движении описывают окружности.

1. Вектор момента силы относительно произвольной точки О
2. Вектор момента силы относительно произвольной оси О

При вращательном движении в любой момент времени для всех частиц тела.
Т.к. взаимное расположение частиц тела не меняется, то линейные пропорциональны расстоянию частиц от оси вращения

кратчайшему пути вращается к направлению вектора силы, а движение оси буравчика при этом вращении показывает направление вектора М

Плечо силы – это перпендикуляр, проведенный из полюса на линию действия силы

ВЕКТОР МОМЕНТА СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОЛЬНОЙ ТОЧКИ О

R - плечо силы

Момент силы  М относительно центра О

Правило знаков для момента силы: момент сил положительный, если сила стремиться повернуть  тело по направлению хода часовой стрелки, и отрицательным, если сила стремится вращать тело против хода часовой  стрелки.

точки, характеризует способность силы вызывать поворот вокруг этой точки

ВЕКТОР МОМЕНТА СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОЛЬНОЙ ТОЧКИ

– это скалярная величина, равная проекции на ось z вектора M, найденного относительно произвольной точки этой оси

Физический смысл момента силы вокруг произвольной оси: Момент силы, вычисленный относительно оси, характеризует способность силы вращать тело вокруг этой оси

относительно точки О:

Направление определяется также по правилу правого винта (буравчика)

m

Моментом импульса L (количеством движения) материальной точки массой m называется произведение расстояния r от оси вращения до материальной точки на импульс mV этой точки:

Момент импульса твёрдого тела относительно оси вращения есть сумма моментов импульса всех материальных точек тела:

ИМПУЛЬСА ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ О

Моментом инерции материальной точки называют произведение ее массы на квадрат расстояния до оси вращения

Моментом импульса материальной точки называют произведение момента инерции на угловую скорость

[кг · м2]

[м2·кг/с]

Закон сохранения момента импульса
В замкнутой (изолированной) системе тел (материальных точек) суммарный вектор момента импульса остается неизменным.

данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс материальных точек системы на квадраты их расстоянии до рассматриваемой оси:

Момент инерции тела — мера инертности твердых тел при вращательном движении

Момент инерции — величина аддитивная: момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции частей тела относительно той же оси

Момент инерции точки находящейся на расстоянии R от оси вращения

Момент инерции тела определяется его размерами, формой, распределением и величиной массы, а также положением оси вращения

Физический смысл момента инерции: если на тела, обладающие разными моментами инерции подействовать одним и тем же моментом силы, то тело, обладающее большим моментом инерции, получит меньшее угловое ускорение

момент инерции и замедляет вращение вокруг вертикальной оси

Резко «сгруппировавшись», она уменьшает момент инерции и получает приращение угловой скорости

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ТЕЛА

движении. Так же как масса m – мера инерции при поступательном движении.

относительно оси, параллельной данной, проходящей через центр масс, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями

Якоб Штейнер
швейцарский математик
(1796 – 1863)

Момент инерции тела, вращающегося вокруг оси, не проходящей через центр инерции, вычисляется по теореме о параллельном переносе осей или теореме Штейнера

момента инерции материальных точек на угловое ускорение равна вектору момента силы, действующей на эту материальную точку

Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии:

уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси

Уравнение динамики поступательного движения тела

Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси

на концах невесомого стержня. Расстояние между шарами r = 0,5 м. Масса каждого шара m = 1 кг. Найти: а) момент инерции J1 системы относительно оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно к нему; б) момент инерции J2 системы относительно той же оси, считая шары материальными точками, массы которых сосредоточены в их центрах.
2. К ободу однородного диска радиусом R = 0,2 м приложена касательная сила F = 98,1 Н. При вращении на диск действует момент сил трения Мтр = 9,81 Н⋅м. Найти массу m дисков, если известно, что диск вращается с угловым ускорением ε = 100 рад/с2.
3. Однородный стержень длиной l = 1 м и массой m = 0,5 кг вращается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину стержня. С каким угловым ускорением ε вращается стержень, если на него действует момент сил М = 98,1 мН⋅м?
4. Маховик, момент инерции которого J = 63,6 кг⋅м2 вращается с угловой скоростью ω = 31,4 рад/с. Найти момент сил торможения М, под действием которого маховик останавливается через время t = 20 с. Маховик считать однородным диском.
5. К ободу колеса радиусом 0,5 м и массой m = 50 кг приложена касательная сила F = 98,1 Н. Найти угловое ускорение ε колеса. Через какое время t после начала действия силы колесо будет иметь частоту вращения n = 100 об/с? Колесо считать однородным диском. Трением пренебречь.

энергия движения будет складываться из энергии поступательного движения и энергии вращения:

Если тело вращается вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью то линейная скорость i-й точки
Следовательно,

работа

силы

Момент инерции

Момент импульса твердого тела

Момент силы твердого тела

Момент инерции твердого тела

Основной закон динамики вращательного движения твердого тела

Суммируя по всему телу, получим

по горизонтальной плоскости со скоростью v = 4 м/с. Найти кинетическую энергию Wк диска.
2. Шар диаметром D = 6 см и массой m = 0,25 кг катится без скольжения по горизонтальной плоскости с частотой вращения n = 4 об/с. Найти кинетическую энергию Wк шара.
3. Обруч и диск одинаковой массы m1 = m2 катятся без скольжения с одной и той же скоростью v. Кинетическая энергия обруча Wк1 = 40 Дж. Найти кинетическую энергию Wк2 диска.
4. Диск диаметром D= 60 см и массой m=1 кг вращается вокруг оси, проходящей через центр перпендикулярно к его плоскости с частотой n=20 об/с. Какую работу А надо совершить, чтобы остановить диск?
5. Кинетическая энергия вала, вращающегося с частотой n=5 об/с, Wк =60 Дж. Найти момент импульса L вала.