Подготовка к ОГЭ: задача 13 (системы счисления)

(значение) цифры зависит от ее места (позиции) в изображении числа
что понимают под p - основанием позиционной СС?
p – количество знаков, используемых для представления чисел, а также «вес» разряда
развернутая форма представления чисел в позиционных СС?

Ap=anpn + an-1pn-1 + . . . + a2p2 + a1p1 + a0p0

Ap – само число в СС с основанием p
ai – значащие цифры числа
n – число разрядов числа

Теория

. . a2a1a0

свернутой формой представления чисел (1945)

какой формой записи чисел мы пользуемся в повседневной жизни?

где an, an-1, . . . a2, a1, a0 - значащие цифры числа

Теория

перевода методом последовательного деления:
необходимо последовательно делить данное число и получаемые частные на новое основание р до тех пор, пока не получится частное, меньшее делителя;
составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка в обратном порядке.

10 → 2

19 = 100112

система счисления

Теория

счисления

Правило перевода:
представить число в развернутой форме;
вычислить сумму ряда.
Полученный результат является значением числа в 10-ой СС.

Пример: число 32015 перевести в 10-ую СС
32015 =

3 2 1 0

3 · 53 + 2 · 52 + 0 · 51 + 1 · 50 =

= 3 · 125 + 2 · 25 + 1

= 426

32015 = 426

Теория

В ответе укажите двоичное число, основание системы счисления указывать не надо.

а) методом разложения числа на степени основания 2.
Метод заключается в следующем: если число нечетное, раскладываем его на сумму 1 и четной части, из которой выделяем степень двойки, максимально к ней приближенную. Далее алгоритм повторяем. Если исходное число четное, сразу выделяем степени двойки по убыванию. Ответ записываем поразрядно, начиная со старшего. Если очередная степень двойки отсутствует, в этом разряде пишем 0. Метод удобен при небольших числах.

Ответ: 111110

Решение.

126 = 64 + 62 = 64 + 32 + 30 = 64 + 32 +16 + 14 = 64 + 32 +16 + 8 + 6 = = 64 + 32 +16 + 8 + 4 +2 = 26 + 25 + 24 + 23 + 22 +21

126 = 11111102

В ответе укажите двоичное число, основание системы счисления указывать не надо.

б) с помощью алгоритма делением

Решение.

126 = 11111102

Ответ: 111110

считаем его равным 10. Представить число в развернутой форме означает разложить его по базису (полезно надписать над значащими цифрами числа степени, в которые возводится основание 10, начиная с младшего разряда).

А = 3 · 102 + 1 · 101 + 7 · 100

А = 317 = 3 · 102 + 1 · 101 + 7 · 100

2 1 0

Задание 2.
Представить в свернутой форме записи число А9 = 7 · 95 + 3 · 94 + 6 · 92 + 91 + 2

Решение.

Задача не требует решения. Нужно записать значащие цифры исходного числа, начиная со старшего разряда, при этом, если очередной разряд отсутствует, то на этом месте пишем 0.

Задание 3.
Представить число А = 317 в развернутой форме записи

Решение.

Ответ: А9 = 7306129

Ответ: А = 3 · 102 + 1 · 101 + 7 · 100

даны в разных системах счисления. Для решения задачи переведем их в десятичную систему счисления (методом разложения по базису).

Ответ: B < C < A < D

А = 10213

В = 1115

С = 101012

D = 1219

системе счисления.

Решение.

Как видно из условия, все числа даны в разных системах счисления. Для решения задачи переведем их в десятичную (методом разложения по базису). Затем выполним сложение и результат переведем в семеричную систему счисления (методом деления).

Ответ: 1517

136 половинок. В системе счисления с каким основанием вели счет?

Решение.

Т.к. ответ дан в десятичной СС, определяем, сколько было целых груш? Итого: 136 : 2 = 68 груш было.

Ответ: 13

а) решение методом анализа:
т.к. количество груш в СС с основанием р меньше, чем их число в десятичной СС (68 = 53р), значит р > 10.
Проверяем числа ≥11. Находим: р = 13

б) с помощью вычислений:
Переводим 53р в десятичную СС и находим р:

53р = 5·р + 3 5р + 3 = 68 р = 13

что у гостя 13 сыновей и 23 дочери, а всего детей – 102. Найдите, какой системой счисления пользовался гость?

Решение.

Для решения задачи переводим данные нам числа в десятичную систему счисления и из полученного уравнения находим искомое р.

Ответ: гость пользовался четверичной системой счисления

13р + 23р = 102р (р + 3) + (2·р + 3) = р2 + 2
3р + 6 = р2 + 2 р2 – 3р – 4 = 0
(р – 4)·(р + 1) = 0
корень р1 = -1 – не имеет смысла (основание системы счисления не может быть отрицательным числом)
р2 = 4

исходное число. Оно должно оканчиваться на цифру 7.
Отсюда следует вывод: основанием системы счисления может быть число 8 и более.
Окончание числа – это самый младший его разряд. Выделяем его: 37 = 30 + 7.
Число 30 кратно числам 3, 5, 6, 10, 15, 30 . Но системы счисления с основаниями 3, 5, 6 не содержат цифру 7, поэтому не подходят.
Число 10 также не походит, так как по условию задачи число дано в десятичной системе счисления.
Остаются значения р=15 и р=30.

Ответ: в 15-ричной и 30-ричной системах счисления

108 + 1012= ?

Ответ: 10103

Задание 10.
Троичным эквивалентом числа 600 является:

Ответ: 2110203

Задание 11.
Сколько единиц содержит двоичная запись числа 101?

Ответ: 5

Задание 12.
В системе с некоторым основанием число 17 записывается как 101. Укажите это основание.

Ответ: 4

желтых. В какой системе счисления такое возможно?

Ответ: в восьмеричной

Задание 14.
Даны 4 числа. Поставьте их в порядке убывания.
А = 3034 В = 1101012 С = 1356 D = 678

Ответ: CDBA

Задание 15.
Даны 4 числа, они записаны с использованием различных систем счисления. Укажите среди этих чисел то, в двоичной записи которого содержится ровно 5 единиц. Если таких чисел несколько, укажите наибольшее из них.
1) 1510 2) 778 3) 3458 4) FA16

Ответ: 3)

Определите основание системы счисления.

Задание 17 (ФИПИ, открытый банк заданий).
Сколько единиц в двоичной записи числа 519?

Задание 18.
Без перевода чисел в десятичную систему счисления определите, сколько «1» содержится в двоичной сумме F816 + 738 ?

Ответ: 4

Ответ: 5

Ответ: 10

десятичное число 20 записывается как 110. Укажите это основание.

Задание 20.
Вычислите значение суммы в семеричной СС: 111102 + 11104 + 1106 + 108 = ?

Задание 21.
Постройте числа в порядке убывания:
A=12304 B=1456 C= 4711 D=5313

Задание 22.
В каких системах счисления перевод числа 75 оканчивается на 9?

Ответ: 3237

Ответ: ADBC

Ответ: в 11-ричной, 22-ричной, 33-ричной и 66-ричной системах счисления

Ответ: 4