Применение метода монте-карло для моделирования теплопроводящих свойств композиционных материалов

строительных композиционных материалов с заданными теплоизолирующими свойствами для ограждающих конструкций зданий и сооружений.

Предсказание теплоизолирующих свойств новых композитов на основе теории обобщенной проводимости сопряжено с трудностями, обусловленными структурной неоднородностью материалов.

Альтернативным подходом к предсказанию теплоизолирующих свойств композитов является математическое моделирование с использованием методов Монте-Карло.

Моделирование по методу Монте-Карло мы решили дополнить анализом влияния размещения включений на величины и пути прохождения локальных тепловых потоков в случайно-неоднородных композиционных материалах.

При этом в двухфазном материале λ(x,y) может принимать только два значения: теплопроводности матрицы λМ или теплопроводности включений λВ.

Дифференциальное уравнение теплопроводности, записанное в соответствие с гипотезой Фурье, в случае координатной зависимости λ и отсутствия источников принимает вид

Данное уравнение дополняется граничными условиями первого рода: фиксированными температурами на внешних границах.

методом релаксации (конечные разности) на прямоугольной сетке размером до 20 млн. узлов. При граничных условиях первого рода форма области может быть задана произвольной. Также в произвольном числе узлов могут быть заданы источники или стоки тепла.

Программа протестирована на задачах, для которых известны аналитические решения. Отклонения численных решений от аналитических составляют менее 10-5.

Подробное описание алгоритма и результатов тестирования можно найти в статье: Загинайло И.В., Максименюк Я.А., Писаренко А.Н. Применение метода эквивалентности при расчете двумерных стационарных температурных полей с источниками в композиционных материалах. Вестник ОГАСА, Выпуск 62, 2015, с.69-75.

из вяжущей матрицы и случайно расположенных теплоизолирующих включений квадратной формы и одинакового размера.

Теплопроводность вяжущей матрицы выбрана равной теплопроводности песочной-цементной смеси λМ = 0,93 Вт/(м·К).

Теплопроводность включений выбрана равной теплопроводности пенопласта λВ = 0,045 Вт/(м·К).

Распределение включений по площади матрицы задавалось равновероятным.

Задавалась минимально допустимая толщина слоя вяжущей матрицы dmin вокруг каждого включения.

размещались в центрах элементарных квадратов; шаг сетки = h

Принятая нумерация узлов показана на рисунке

В выделенных областях эффективная теплопро-водность считалась как среднее значение λМ и λВ

условие «справа»: Т = ТН

Граничное условие «сверху»:

i

Граничное условие «снизу»:

j

Граничные слои области (i=1; i=162; j=1; j=322) не содержат теплоизолирующих включений

Внутренняя область 160 строк, по которой находится эффективная теплопроводность материала

Ширина столбца и высота строки равна шагу сетки h

характерного размера всей области), разной концентрацией включений η и разным dmin .

Для каждого варианта (комбинации а, η и dmin) выполнялось от 4000 до 8000 испытаний: генераций случайного размещения включений и решений уравнения теплопроводности. В результате строилось распределение эффективной теплопроводности материала.

Для каждого испытания сохранялась карта размещений включений.

Для каждого сохраненного испытания по решению исследователя могут быть построены карта температурного поля и карта локальных тепловых потоков между узлами расчетной сетки.

= 0,28; dmin - разное ; по результатам 4000 испытаний.

от dmin в области значений dmin < а. Наименьшие значения λeff при неизменной концентрации включений η достигаются при dmin = 0. При dmin > а такая зависимость практически не проявляется.

Разброс значений (размах распределения) растет по мере уменьшения dmin и по мере роста η и а.

Величина λeff зависит от размера включения а. В диапазоне исследования 3h < a << A с ростом a наблюдается уменьшение значения λeff при неизменных η и dmin.

При dmin = 0 и малых η распределение λeff имеет более вытянутое левое крыло (более вероятны появления низких значений λeff ). При больших η и при приближении dmin к а более вытянутым становится правое крыло распределения (более вероятны появления высоких значений λeff ).

= 0,31; dmin = 2h; λeff = 0,50 Вт/(м·К).

Пик «В»

Пик «К»

Пик «Т»

= 0,31; dmin = 2h; λeff = 0,46 Вт/(м·К).

Пик «В»

Пик «К»

Пик «Т»

= 0,31; dmin = h; λeff = 0,50 Вт/(м·К).

Пик «В»

Пик «К»

Пик «Т»

= 0,31; dmin = h; λeff = 0,44 Вт/(м·К).

Пик «В»

Пик «К»

Пик «Т»

быть направлен под значительным углом к макроградиенту температуры. Это удлиняет тепловой путь и приводит к увеличению теплового сопротивления канала.

Этот эффект проявляется в большей мере при малых dmin .

прямых протяженных теплопроводящих каналов для потоков, направленных вдоль внешнего градиента температур, то через материал будут идти повышенные теплопотери.

Действие теплоизолирующих включений, направляющих тепловые потоки в узкие каналы в теплопроводящей матрице, можно назвать «фокусировкой тепловых потоков». Поэтому можно говорить, что при определенной конфигурации теплоизолирующих включений возникают «тепловые линзы».