Системы счисления. Что такое система счисления?

Август 21, 2022

Главная
Информатика
Системы счисления. Что такое система счисления?

Содержание

2. СОДЕРЖАНИЕ: Что такое система счисления? Непозиционные системы счисления Позиционные системы счисления Перевод в 10-тичную СС Перевод
3. СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ Почему мы используем цифры от 0 до 9? А как можно считать еще? Оказывается,
4. ВИДЫ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ ПОЗИЦИОННЫЕ НЕПОЗИЦИОННЫЕ В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не
5. НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Ярким примером фактически непозиционной системы счисления является римская, в которой в качестве цифр
6. ПРИМЕР Число 1789. Одна тысяча M, семь сотен DCC, восемьдесят LXXX, девять IX. Запишем их вместе:
7. ПЕРВЫЕ ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Самой первой такой системой, когда счетным "прибором" служили пальцы рук, была пятеричная.
8. Следующая позиционная система счисления была придумана еще в Древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была шестидесятеричная, т.е.
9. ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ Десятичная система счисления — позиционная система счисления по основанию 10. Предполагается, что основание
10. ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2. Используются цифры 0
11. АЛФАВИТ ДВОИЧНОЙ, ВОСЬМЕРИЧНОЙ, ДЕСЯТИЧНОЙ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОЙ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ Количество используемых цифр называется основанием системы счисления.
12. СООТВЕТСТВИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ, ДВОИЧНОЙ, ВОСЬМЕРИЧНОЙ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОЙ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ При одновременной работе с несколькими системами счисления для
13. ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ В ДЕСЯТИЧНУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ Чтобы перевести целое число из позиционной системы счисления с основанием
14. Перевод целых десятичных чисел в 2, 8,16-ую системы счисления
15. ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ЛЮБУЮ ДРУГУЮ Перевод из десятичной системы счисления в систему
16. ПЕРЕВЕСТИ ДЕСЯТИЧНОЕ ЧИСЛО 26 В ДВОИЧНУЮ, ТРОИЧНУЮ, ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ СИСТЕМЫ 2610→Х2 26 0 13 1 6 0
17. Перевести в 2-ую СС 26310→Х2 5410→Х2 17310→Х2 21910→Х2
18. ЗАДАНИЯ: Запишите в развернутом виде числа: 123410 = 3458 = 110102 = Переведите числа в десятичную
19. ПЕРЕВОД 2 ↔ 8 СС Очень просто! Направо и налево от точки откладываем триады - группы
20. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ЭВМ (С ОСНОВАНИЕМ 2N) Перевести число 11001010011010101112 в восьмеричную систему счисления 001
21. ПЕРЕВОД 2 ↔ 16 СС Очень просто! Направо и налево от точки откладываем тетрады - группы
22. Перевести число 11001010011010101112 в шестнадцатеричную систему счисления 0110 0101 0011 0101 0111 6 5 3 5
23. ПЕРЕВЕСТИ ЧИСЛО ИЗ ВОСЬМЕРИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ 14515278 Х16 X=65357
24. Арифметические операции в позиционных системах счисления
25. Все позиционные системы счисления «одинаковы», а именно, во всех них выполняются арифметические операции по одним и
26. Сложение в двоичной системе счисления: 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=102 1 + 1 + 1 = 112
27. Вычитание в двоичной системе счисления: 0-0=0 1-1=0 1-0=1 102-1=1 заем 1 0 0 0 1 0
28. УМНОЖЕНИЕ В ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ:
29. 1010111112
30. Арифметические операции в 8-ричной СС сложение 1 5 68 + 6 6 28 1 1 6
31. Арифметические операции в 8-ричной СС вычитание 2 1 5 68 - 6 6 28 1 6
32. ЗАДАНИЯ
33. ЗАДАНИЕ №1 1. Переведите числа данные в десятичной СС в двоичную , а затем в шестнадцатеричную
34. ОТВЕТ НА ЗАДАНИЕ №1 143,2510 100011112 8F16 31210 1001110002 13816 2. 101101012 18110 1001001102 29410
35. ЗАДАНИЕ №2 Переведите в восьмеричную и шестнадцатеричную СС: 1100102 10110100112 11011110112 1010000102
36. ОТВЕТ НА ЗАДАНИЕ № 2 110010,1012=62,58=32,А16 1011010011,012=1323,28=2D3,416 1101111011,012=1573,28=37B,416 101000010,01112=502,348=142,716
37. ЗАДАНИЕ №3 1. Сложите данные числа: 1100110012+ 1110111012 2. Выполните вычитание: 11011001102 – 1100000102 3.Выполните умножение:
38. ОТВЕТ НА ЗАДАНИЕ №3 1. 110 011 001,00102 2. 1 101 100 110,01002 + 111 011
39. ЗАДАНИЕ №4 1. Переведите число данное в десятичной CC в двоичную , а затем в шестнадцатеричную
41. Скачать презентацию

Слайд 2

СОДЕРЖАНИЕ:
Что такое система счисления?
Непозиционные системы счисления
Позиционные системы счисления
Перевод в 10-тичную СС
Перевод

из 10-тичной СС
Перевод из 2-ной в 8-ную и обратно
Перевод из 2-ной в 16-ную и обратно
Арифметические операции в позиционных СС
Сложение и вычитание в 2-ой СС
Умножение в 2-ой СС
Сложение и вычитание в 8-ой СС
Решение примеров

Слайд 3

СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ
Почему мы используем цифры от 0 до 9? А

как можно считать еще? Оказывается, существует множество вариантов! И это зависит от такого понятия, как система счисления.
Система счисления (СС) — способ записи чисел с помощью набора специальных знаков, называемых цифрами.

Слайд 4

ВИДЫ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
ПОЗИЦИОННЫЕ
НЕПОЗИЦИОННЫЕ
В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра,

не зависит от положения в числе.
XXI

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от её положения в числе (позиции).
211

Слайд 5

НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
Ярким примером фактически непозиционной системы счисления является римская, в

которой в качестве цифр используются латинские буквы:
I обозначает 1, V - 5, X - 10, L - 50, C - 100, D - 500, M -1000.
Натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр. Например, II = 1 + 1 = 2, здесь символ I обозначает 1 независимо от места в числе.
Для правильной записи больших чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц.

Слайд 6

ПРИМЕР
Число 1789. Одна тысяча M, семь сотен DCC, восемьдесят LXXX,

девять IX. Запишем их вместе: MDCCLXXXIX.
MDCCLXXXIX=1000+(500+100+100)+(50+10+10+10)+(10-1)=1789
Для изображения чисел в непозиционной системе счисления нельзя ограничится конечным набором цифр. Кроме того, выполнение арифметических действий в них крайне неудобно.

Слайд 7

ПЕРВЫЕ ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
Самой первой такой системой, когда счетным "прибором" служили

пальцы рук, была пятеричная.
Следующей возникла двенадцатеричная система счисления. Возникла она в древнем Шумере. Возможно, что она возникала у них из подсчёта фаланг на руке большим пальцем.
На ее широкое использование в прошлом указывает сохранившиеся в ряде стран способы отсчета времени, денег и соотношения между некоторыми единицами измерения. Год состоит из 12 месяцев, а половина суток состоит из 12 часов.
Элементом двенадцатеричной системы в современности может служить счёт дюжинами.
Английский фунт состоит из 12 шиллингов.

Слайд 8

Следующая позиционная система счисления была придумана еще в Древнем Вавилоне, причем

вавилонская нумерация была шестидесятеричная, т.е. в ней использовалось шестьдесят цифр!
В более позднее время использовалась арабами, а также древними и средневековыми астрономами. Шестидесятеричная система счисления, как считают исследователи, являет собой синтез уже вышеупомянутых пятеричной и двенадцатеричной систем.
В настоящее время наиболее распространены десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Слайд 9

ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ
Десятичная система счисления — позиционная система счисления по

основанию 10.
Предполагается, что основание 10 связано с количеством пальцев на руках у человека.
Наиболее распространённая система счисления в мире.
Для записи чисел используются символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, называемые арабскими цифрами.

Слайд 10

ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ
Двоичная система счисления — позиционная система счисления с

основанием 2.
Используются цифры 0 и 1.
Двоичная система используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой и удовлетворяет требованиям:
Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы.
Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать.
Простота создания таблиц сложения и умножения — основных действий над числами

Слайд 11

АЛФАВИТ ДВОИЧНОЙ, ВОСЬМЕРИЧНОЙ, ДЕСЯТИЧНОЙ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОЙ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ
Количество используемых цифр называется

основанием системы счисления.

Слайд 12

СООТВЕТСТВИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ, ДВОИЧНОЙ, ВОСЬМЕРИЧНОЙ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОЙ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ
При одновременной работе с

несколькими системами счисления для их различения основание системы обычно указывается в виде нижнего индекса, который записывается в десятичной системе:
32110 — это число 321 в десятичной системе счисления;
1010000012 — то же число, но в двоичной системе.
Двоичное число 1010000012 можно расписать в виде:
1010000012 = 1*28 + 0*27 + 1*26 + 0*25 + 0*24 +0*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20.

Слайд 13

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ В ДЕСЯТИЧНУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ
Чтобы перевести целое число из

позиционной системы счисления с основанием p в десятичную, нужно справа налево, начиная с 0, расставить разряды, потом каждую цифру умножить на основание системы счисления из которой переводим в степени этого разряда.
Например, переведем число 110012 в десятичную систему счисления. Для этого представим это число в виде степеней двойки и произведем вычисления в десятичной системе счисления.
110012 = 1*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20 = 1*16 +1*8 + 0*4 + 0*2 + 1*1 = 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 2510
Рассмотрим еще один пример. Переведем число 12,348 в десятичную систему счисления.
12,348 = 1*81 + 2*80 + 3*8-1 + 4*8-2 = 1*8 + 2*1 + 3*1/8 +4*1/64 = 10 + 0,375 + 0,0625 = 10,437510

-1

-2

Слайд 14

Перевод целых десятичных чисел в
2, 8,16-ую системы счисления

Слайд 15

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ЛЮБУЮ ДРУГУЮ
Перевод из десятичной

системы счисления в систему счисления с основанием p осуществляется последовательным делением десятичного числа и его десятичных частных на p, а затем выписыванием последнего частного и остатков в обратном порядке.
Переведем десятичное число 2010 в двоичную систем счисления (основание системы счисления p=2). В итоге получили 2010 = 101002.

Слайд 16

ПЕРЕВЕСТИ ДЕСЯТИЧНОЕ ЧИСЛО 26 В ДВОИЧНУЮ, ТРОИЧНУЮ, ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ СИСТЕМЫ
2610→Х2
26 0
13

1
6 0
3 1
1 1
2610=110102

2610→Х3
26 2
8 2
2 2
2610=2223

2610→Х16
26 10
1 1
2610=1А16

ПЕРЕВОД ЦЕЛОГО ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА МЕТОДОМ ПОЭТАПНОГО ДЕЛЕНИЯ

Слайд 17

Перевести в 2-ую СС
26310→Х2
5410→Х2
17310→Х2
21910→Х2

Слайд 18

ЗАДАНИЯ:
Запишите в развернутом виде числа:
123410 =
3458 =
110102 =
Переведите

числа в десятичную систему счисления:
2748 =
BE16=
1101012=
Как будет записываться число 2410 в двоичной системе счисления? 12310 в восьмеричной?

Слайд 19

ПЕРЕВОД 2 ↔ 8 СС
Очень просто! Направо и налево от точки

откладываем триады - группы по три цифры, после чего записываем их в соответствующем 8-ном виде. Неполные триады дополняются нулями.
Пример:
1011010 = 001 011 0102 = 1328
Обратно - с точностью до наоборот:
2578 = 010 101 1112 = 101011112

Слайд 20

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ЭВМ (С ОСНОВАНИЕМ 2N)
Перевести число 11001010011010101112

в восьмеричную систему счисления
001 100 101 001 101 010 111
1 4 5 1 5 2 7
Получаем 14515278

Слайд 21

ПЕРЕВОД 2 ↔ 16 СС
Очень просто! Направо и налево от

точки откладываем тетрады - группы по четыре цифры, после чего записываем их в соответствующем 16-ном виде. Неполные тетрады дополняются нулями.
Пример:
10110101102 = 0010 11 01 01102 = 1328
Обратно - с точностью до наоборот:
2578 = 010 101 1112 = 101011112

Слайд 22

Перевести число 11001010011010101112
в шестнадцатеричную систему счисления
0110 0101 0011 0101

0111
6 5 3 5 7
Получаем 6535716

Слайд 23

ПЕРЕВЕСТИ ЧИСЛО ИЗ ВОСЬМЕРИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ
14515278 Х16
X=65357

Слайд 24

Арифметические операции в позиционных системах счисления

Слайд 25

Все позиционные системы счисления «одинаковы», а именно, во всех них выполняются

арифметические операции по одним и тем же правилам:

справедливы одни и те же законы арифметики:
-коммутативный (переместительный): m + n = n + m
m · n = n · m
ассоциативный (сочетательный): (m + n) + k = m + (n + k) = m + n + k
(m · n) · k = m · (n · k) = m · n · k
дистрибутивный (распределительный): (m + n) · k = m · k + n · k

справедливы правила сложения, вычитания и умножения столбиком;

правила выполнения арифметических операций опираются на таблицы сложения и умножения.

Слайд 26

Сложение в двоичной системе счисления:
0+0=0 0+1=1
1+0=1 1+1=102
1 + 1

+ 1 = 112

перенос

1 0 1 1 02
1 1 1 0 1 12

Сложение
в 10-ой СС
99
1
100

Слайд 27

Вычитание в двоичной системе счисления:
0-0=0 1-1=0
1-0=1 102-1=1
заем
1 0 0 0

1 0 12
1 1 0 1 12

∙

0 102

0 1 1 102

Вычитание
в 10-ой СС
100
1
99

Слайд 28

УМНОЖЕНИЕ В ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ:

Слайд 29

1010111112

Слайд 30

Арифметические операции в 8-ричной СС
сложение
1 5 68
+ 6 6 28

6 + 2 = 8 = 1*8 + 0
5 + 6 + 1 = 12 = 1*8 + 4
1 + 6 + 1 = 8 = 1*8 + 0

Перенос 1 в след. разряд

Слайд 31

Арифметические операции в 8-ричной СС
вычитание
2 1 5 68
- 6 6

6 -2 = 4
5 - 6 + 1*8 = 7
0 - 6 + 1*8 = 2

заем

Слайд 32

ЗАДАНИЯ

Слайд 33

ЗАДАНИЕ №1

1. Переведите числа данные в десятичной СС в двоичную ,

а затем в шестнадцатеричную СС:
а) 14325
б) 3125
2. Переведите данное число в десятичную СС:
а) 101101011 б)10010011010101

Слайд 34

ОТВЕТ НА ЗАДАНИЕ №1
143,2510 100011112 8F16
31210 1001110002 13816
2. 101101012 18110

1001001102 29410

Слайд 35

ЗАДАНИЕ №2
Переведите в восьмеричную и шестнадцатеричную СС:
1100102 10110100112
11011110112 1010000102

Слайд 36

ОТВЕТ НА ЗАДАНИЕ № 2
110010,1012=62,58=32,А16
1011010011,012=1323,28=2D3,416
1101111011,012=1573,28=37B,416
101000010,01112=502,348=142,716

Слайд 37

ЗАДАНИЕ №3
1. Сложите данные числа:
1100110012+ 1110111012
2. Выполните вычитание:
11011001102 – 1100000102
3.Выполните умножение:
10011112

х 10001002

Слайд 38

ОТВЕТ НА ЗАДАНИЕ №3
1. 110 011 001,00102 2. 1 101 100 110,01002

+ 111 011 101,01012 - 110 000 010,10112
1 101 110 110,01112 0 111 100 011,10012
3. 1 001 1112
х 1 000 1002
1 010 011 111 1002

Слайд 39

ЗАДАНИЕ №4
1. Переведите число данное в десятичной CC в двоичную ,

а затем в шестнадцатеричную CC:
а) 67010 б)16210
2. Переведите данное число в десятичную CC:
а) 11111001112 б)10010112

Системы счисления. Что такое система счисления?

Содержание

СОДЕРЖАНИЕ:Что такое система счисления?Непозиционные системы счисленияПозиционные системы счисленияПеревод в 10-тичную ССПеревод

СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ Почему мы используем цифры от 0 до 9? А

ВИДЫ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯСИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯПОЗИЦИОННЫЕНЕПОЗИЦИОННЫЕВ непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра,

НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯЯрким примером фактически непозиционной системы счисления является римская, в

ПРИМЕР Число 1789. Одна тысяча M, семь сотен DCC, восемьдесят LXXX,

ПЕРВЫЕ ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯСамой первой такой системой, когда счетным "прибором" служили

Следующая позиционная система счисления была придумана еще в Древнем Вавилоне, причем

ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ Десятичная система счисления — позиционная система счисления по

ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ Двоичная система счисления — позиционная система счисления с

АЛФАВИТ ДВОИЧНОЙ, ВОСЬМЕРИЧНОЙ, ДЕСЯТИЧНОЙ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОЙ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯКоличество используемых цифр называется

СООТВЕТСТВИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ, ДВОИЧНОЙ, ВОСЬМЕРИЧНОЙ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОЙ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯПри одновременной работе с

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ В ДЕСЯТИЧНУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ Чтобы перевести целое число из

Перевод целых десятичных чисел в 2, 8,16-ую системы счисления

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ЛЮБУЮ ДРУГУЮПеревод из десятичной

ПЕРЕВЕСТИ ДЕСЯТИЧНОЕ ЧИСЛО 26 В ДВОИЧНУЮ, ТРОИЧНУЮ, ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ СИСТЕМЫ 2610→Х226 013

Перевести в 2-ую СС26310→Х25410→Х217310→Х221910→Х2

ЗАДАНИЯ:Запишите в развернутом виде числа: 123410 = 3458 = 110102 =Переведите

ПЕРЕВОД 2 ↔ 8 СС Очень просто! Направо и налево от точки

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ЭВМ (С ОСНОВАНИЕМ 2N) Перевести число 11001010011010101112

ПЕРЕВОД 2 ↔ 16 СС Очень просто! Направо и налево от

Перевести число 11001010011010101112 в шестнадцатеричную систему счисления 0110 0101 0011 0101

ПЕРЕВЕСТИ ЧИСЛО ИЗ ВОСЬМЕРИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ14515278 Х16X=65357