Собственные значения и собственные вектора линейного оператора

φ относится к единственному собственному значению.
2. ЛЕММА 2. Если x1 и x2 – собственные векторы оператора φ , относящиеся к одному и тому же собственному значению λ , то их линейная комбинация α·x1+β·x2 – собственный вектор оператора φ , относящийся к тому же собственному значению.
Следствия ЛЕММЫ 2:
а) каждому собственному значению λ соответствует бесконечное множество собственных векторов;
б) если к множеству всех собственных векторов x оператора φ, относящихся к одному и тому же собственному значению λ, присоединить нулевой вектор, то получим подпространство пространства L. Это подпространство называется собственным подпространством оператора и обозначается Lλ.

собственным значениям λ1, λ2,…, λk , линейно независимы.
Следствия ЛЕММЫ 3:
а) линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве Ln, не может иметь более n собственных значений;
б) в пространстве может существовать базис, хотя бы часть которого – собственные векторы оператора.
ТЕОРЕМА 1. Матрица A оператора φ в базисе e1,e2,…,en имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда все базисные векторы ei являются собственными векторами этого оператора.
КРИТЕРИЙ ДИАГОНАЛИЗИРУЕМОСТИ ОПЕРАТОРА: оператор φ диагонализируем тогда и только тогда, когда в пространстве Ln существует базис из собственных векторов оператора .

n-мерного пространства Ln , x – собственный вектор оператора φ , относящийся к собственному значению λ , т.е. φ(x)= λ·x.
Пусть e1,e2,…,en – базис Ln , A – матрица линейного оператора φ в базисе e1,e2,…,en
Получили:
1) x – собственный вектор оператора φ , относящийся к собственному значению λ , тогда и только тогда, когда его координаты ξ1,ξ2,…,ξn являются решением (нетривиальным) системы линейных однородных уравнений (A–λE)X=O.
2) Подпространство Lλ является конечномерным, а его базис образуют собственные векторы x1,x2,…,xk , координатами которых являются решения из фундаментальной системы решений ОСЛАУ
(A–λE)X=O.

Определитель характеристической матрицы, т.е. det(A–λE) – многочлен степени n относительно переменной λ . Этот многочлен называют характеристическим многочленом оператора φ (матрицы A), а его корни – характеристическими корнями оператора φ (матрицы A).
Таким образом, число λ является собственным значением оператора φ тогда и только тогда, когда оно является его характеристическим корнем.

уравнение
оператора или матрицы .

Пример.
Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного матрицей

Решение.
1) Найдём собственные значения , решив характеристическое уравнение

Учитывая, что , получим