10 способов решения квадратных уравнений

его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. Следующим образом: «Если B+D, умноженное на А-А , равно BD, то А равно В и равно D».
Чтобы понять Виета, следует помнить, что А, как и всякая гласная буква , означало у него неизвестное (наше х), гласные же B,D- кэффициенты при неизвестном.
На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает:

Если приведенное квадратное уравнение x2+px+q=0 имеет действительные корни, то их сумма равна -p, а произведение равно q, то есть x1 + x2 = -p , x1 x2 = q
(сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).

где А(х) и В(х) – многочлены относительно х.

Цель:

Вынесение общего множителя за скобки;
Использование формул сокращенного умножения;
Способ группировки.

Способы:

Пример:

х2 + 10х - 24 = 0

х2 + 10х - 24 = 0
х2 + 12х - 2х - 24 = 0
х(х + 12) - 2(х + 12) = 0
(х + 12)(х - 2) = 0

х = - 12 или х = 2

-7 = 0.
(х +3)2 – 16 = 0.
(х +3)2 = 16.
х +3 = 4; х + 3 = -4.
х = 1, х =-7.
Ответ: 1; -7.

Метод выделения полного квадрата

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2,
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2.

уравнений по формуле

Выражение называют дискриминантом квадратного уравнения.

+ 3Х – 10 = 0
Х1·Х2 = – 10, значит корни имеют разные знаки
Х1 + Х2 = – 3, значит больший по модулю корень - отрицательный
Подбором находим корни: Х1 = – 5, Х2 = 2

Например:

2 к свободному члену
у2 - 11у +30= 0.
D>0, по теореме, обратной теореме Виета,
получаем корни: 5;6,
далее возвращаемся к корням исходного уравнения: 2,5; 3.
Ответ: 2,5; 3.

Решение уравнений способом «переброски»

а
второй по теореме Виета равен c/a

Если в квадратном уравнении a+c=b, то один из корней равен (-1),
а второй по теореме Виета равен –c/a

Пример:

Свойства коэффициентов квадратного уравнения

137х2 + 20х – 157 = 0.
a = 137, b = 20, c = -157.
a + b+ c = 137 + 20 – 157 =0.
x1 = 1,
Ответ: 1;

решить графическим
способом. Решим уравнение
Для этого построим два графика:

Ответ:

Абсциссы точек пересечения графиков и будет корнями уравнения.
Если графики пересекаются в двух точках, то уравнение имеет два корня.
Если графики пересекаются в одной точке, то уравнение имеет один корень.
Если графики не пересекаются, то уравнение корней не имеет.

1)y=x2
2)y=x+1

+ bх + с = 0 (а ≠ 0) можно рассматривать
как абсциссы точек пересечения окружности с центром Q (- ; ),
проходящей через точку A(О; 1), и оси Ох .

способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 «Четырехзначные математические таблицы» Брадис В.М.

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения
Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Для уравнения
номограмма дает корни