Арифметическая прогрессия

Сентябрь 12, 2022

Главная
Математика
Арифметическая прогрессия

Содержание

2. Содержание Введение Понятие арифметической прогрессии Формула Формула n Формула n-го члена арифметической прогрессии Сумма первых Сумма
3. Понятие арифметической прогрессии
4. Определение. Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и
5. Пример 1. 1, 3, 5, 7, 9, 11, …- это арифметическая прогрессия, у которой Пример 2.
6. Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность , заданная рекуррентно соотношениями ,
7. Арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если d>0, и убывающей, если d Для обозначения арифметической прогрессии используется
8. Формула n-го члена арифметической прогрессии
9. Рассмотрим арифметическую прогрессию с разностью d. и т.д.
10. Для любого номера справедливо равенство Это формула n-го члена арифметической прогрессии. пример
11. Пример. Дана арифметическая прогрессия . Известно, что . Найти . Положим n=22, воспользуемся формулой , получим
12. Перепишем формулу n-го члена арифметической прогрессии в виде Введем обозначения: Получим Подробнее пример
13. Пример. , 3, 5, 7, 9, 11, … - арифметическая прогрессия, у которой . Составим формулу
14. Арифметическую прогрессию рассматривают как линейную функцию y=dx+m, заданную на множестве N натуральных чисел. Угловой коэффициент этой
15. Формула суммы членов конечной арифметической прогрессии
16. Пусть - конечная арифметическая прогрессия - сумма первых n членов арифметической прогрессии - сумма членов прогрессии
17. Сложим эти равенства, группируя попарно слагаемые, получим В каждой из скобок записана сумма, равная сумме .
18. Формула суммы n членов арифметической прогрессии запомни пример
19. Пример. Дана конечная арифметическая прогрессия Известно, что Найти , т.е. . Решение. Имеем Значит, ?
20. С формулой связан один из эпизодов биографии К.Гаусса. Однажды на уроке учитель, чтобы занять первоклассников пока
21. Характеристическое свойство арифметической прогрессии
22. Теорема Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого(и
23. Доказательство Пусть дана арифметическая прогрессия Рассмотрим три ее члена, следующие друг за другом Известно, что Сложив
24. Верно и обратное: если последовательность такова, что для любого n>1 выполняется равенство то - арифметическая прогрессия.
25. Пример. При каком значении x числа 3x+2, 5x-4, 1x+12 образуют конечную арифметическую прогрессию? Решение. Согласно характеристическому
26. Из предложенных последовательностей выберите ту, которая является арифметической прогрессией а) 2; 4; 8; 16а) 2; 4;
27. Верно!
28. Неверно…
29. Найдите сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии, если . а) 294 а) 294 б) 41 а)
30. Верно!
31. Неверно…
33. Скачать презентацию

Слайд 2

Содержание
Введение
Понятие арифметической прогрессии
Формула Формула n Формула n-го

члена арифметической прогрессии
Сумма первых Сумма первых n Сумма первых n членов арифметической прогрессии
Характеристическое свойство арифметической прогрессии
Тест

Слайд 3

Понятие арифметической прогрессии

Слайд 4

Определение.
Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме

предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d – разностью арифметической прогрессии.

пример

Слайд 5

Пример 1. 1, 3, 5, 7, 9, 11, …- это арифметическая

прогрессия, у которой
Пример 2. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, … - это арифметическая прогрессия, у которой
Пример 3. 8, 8, 8, 8, 8, … - это арифметическая прогрессия, у которой

Слайд 6

Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность , заданная

рекуррентно соотношениями
,

Слайд 7

Арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если d>0, и убывающей, если

d<0.
Для обозначения арифметической прогрессии используется знак .

запомни

Слайд 8

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Слайд 9

Рассмотрим арифметическую прогрессию
с разностью d.
и т.д.

Слайд 10

Для любого номера справедливо равенство
Это формула n-го члена арифметической прогрессии.
пример

Слайд 11

Пример. Дана арифметическая прогрессия .
Известно, что . Найти .
Положим n=22, воспользуемся

формулой , получим

Слайд 12

Перепишем формулу n-го члена арифметической прогрессии
в виде
Введем обозначения:
Получим
Подробнее

пример

Слайд 13

Пример. , 3, 5, 7, 9, 11, … - арифметическая прогрессия,

у которой .
Составим формулу n-го члена:

Слайд 14

Арифметическую прогрессию рассматривают как линейную функцию y=dx+m, заданную на множестве N

натуральных чисел.
Угловой коэффициент этой линейной функции равен d – разности арифметической прогрессии.

Слайд 15

Формула суммы членов конечной арифметической прогрессии

Слайд 16

Пусть -
конечная арифметическая прогрессия
- сумма первых n членов арифметической

прогрессии
-
сумма членов прогрессии в порядке возрастания их номеров.
-
сумма членов прогрессии в порядке убывания их номеров.

Слайд 17

Сложим эти равенства, группируя попарно слагаемые, получим
В каждой из скобок записана

сумма, равная сумме .
Всего таких скобок n. Следовательно,

Слайд 18

Формула суммы n членов арифметической прогрессии
запомни
пример

Слайд 19

Пример.
Дана конечная арифметическая прогрессия
Известно, что Найти , т.е.

.
Решение. Имеем
Значит,

Слайд 20

С формулой связан один из эпизодов биографии К.Гаусса. Однажды на уроке

учитель, чтобы занять первоклассников пока он будет заниматься с учениками третьего класса, велел сложить все числа от 1 до 100, надеясь, что это займет много времени. Но маленький Гаусс сразу сообразил, что 1+100=101, 2+99=101 и т.д. и таких чисел будет 50. осталось умножить 101*50. Это мальчик сделал в уме. Едва учитель закончил чтение условия, он предъявил ответ. Изумленный учитель понял, что это самый способный ученик в его практике.

Интересно!

Слайд 21

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Слайд 22

Теорема
Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда

каждый ее член, кроме первого(и последнего, в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

Слайд 23

Доказательство
Пусть дана арифметическая прогрессия
Рассмотрим три ее члена, следующие друг

за другом
Известно, что
Сложив эти равенства, получим :
Это значит, что каждый член арифметической прогрессии(кроме первого и последнего) равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

Слайд 24

Верно и обратное: если последовательность такова, что для любого n>1 выполняется

равенство
то - арифметическая прогрессия.
Перепишем последнее равенство в виде
Т.е. разность между любым членом последовательности и предшествующим ему всегда одна и та же, а это означает, что задана арифметическая прогрессия.

пример

Слайд 25

Пример.
При каком значении x числа 3x+2, 5x-4, 1x+12 образуют конечную

арифметическую прогрессию?
Решение.
Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению
Решая это уравнение, находим:
При этом значении x заданные выражения 3x+2, 5x-4, 11x+12 принимают, соответственно значения -14,5, -31,5, -48,5. это – арифметическая прогрессия, ее разность равна -17.
Ответ: x=-5,5.

Слайд 26

Из предложенных последовательностей выберите ту, которая является арифметической прогрессией
а) 2; 4;

8; 16а) 2; 4; 8; 16 б) -7; -7; -7; -7 а) 2; 4; 8; 16 б) -7; -7; -7; -7 в) 1; 3; 9; 27
2. Какая из данных арифметических прогрессий является возрастающей?
а) 15; 12; 9; 6а) 15; 12; 9; 6 б) 3; 3; 3; 3 а) 15; 12; 9; 6 б) 3; 3; 3; 3 в) 5; 8; 11; 14
3. Найдите , если .
а) 5 а) 5 б) 13а) 5 б) 13 в) -21
4. Найдите , если .
а) 54а) 54 б) 27а) 54 б) 27 в)9
5.Известно, что . Найдите n.
а) 41а) 41 б) -23а) 41 б) -23 в) 23
6. Известно, что . Найдите d.
а) -3а) -3 б) 3а) -3 б) 3 в) 2

Слайд 27

Верно!

Слайд 28

Неверно…

Слайд 29

Найдите сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии, если .
а) 294 а)

294 б) 41 а) 294 б) 41 в) 57
2. Известно, что . Найдите d.
а) 5 а) 5 б) 3 а) 5 б) 3 в) 9
3. Найдите сумму первых четырнадцати членов арифметической прогрессии, заданной формулой .
а) 497а) 497 б) 511а) 497 б) 511 в)1022

Слайд 30

Верно!

Слайд 31

Арифметическая прогрессия

Содержание

Содержание Введение Понятие арифметической прогрессии Формула Формула n Формула n-го

Понятие арифметической прогрессии

Определение. Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме

Пример 1. 1, 3, 5, 7, 9, 11, …- это арифметическая

Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность , заданная

Арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если d>0, и убывающей, если

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Рассмотрим арифметическую прогрессию с разностью d.и т.д.

Для любого номера справедливо равенствоЭто формула n-го члена арифметической прогрессии.пример

Пример. Дана арифметическая прогрессия .Известно, что . Найти .Положим n=22, воспользуемся

Перепишем формулу n-го члена арифметической прогрессии в виде Введем обозначения: ПолучимПодробнее

Пример. , 3, 5, 7, 9, 11, … - арифметическая прогрессия,

Арифметическую прогрессию рассматривают как линейную функцию y=dx+m, заданную на множестве N

Формула суммы членов конечной арифметической прогрессии

Пусть -конечная арифметическая прогрессия - сумма первых n членов арифметической

Сложим эти равенства, группируя попарно слагаемые, получимВ каждой из скобок записана

Формула суммы n членов арифметической прогрессиизапомнипример

Пример. Дана конечная арифметическая прогрессияИзвестно, что Найти , т.е.

С формулой связан один из эпизодов биографии К.Гаусса. Однажды на уроке

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Теорема Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда

Доказательство Пусть дана арифметическая прогрессия Рассмотрим три ее члена, следующие друг

Верно и обратное: если последовательность такова, что для любого n>1 выполняется

Пример. При каком значении x числа 3x+2, 5x-4, 1x+12 образуют конечную

Из предложенных последовательностей выберите ту, которая является арифметической прогрессиейа) 2; 4;

Верно!

Неверно…

Найдите сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии, если .а) 294 а)

Верно!

Неверно…

Похожие презентации

Содержание
Введение
Понятие арифметической прогрессии
Формула Формула n Формула n-го

Определение.
Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме

Рассмотрим арифметическую прогрессию
с разностью d.
и т.д.

Для любого номера справедливо равенство
Это формула n-го члена арифметической прогрессии.
пример

Пример. Дана арифметическая прогрессия .
Известно, что . Найти .
Положим n=22, воспользуемся

Перепишем формулу n-го члена арифметической прогрессии
в виде
Введем обозначения:
Получим
Подробнее

Пусть -
конечная арифметическая прогрессия
- сумма первых n членов арифметической

Сложим эти равенства, группируя попарно слагаемые, получим
В каждой из скобок записана

Формула суммы n членов арифметической прогрессии
запомни
пример

Пример.
Дана конечная арифметическая прогрессия
Известно, что Найти , т.е.

Теорема
Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда

Доказательство
Пусть дана арифметическая прогрессия
Рассмотрим три ее члена, следующие друг

Пример.
При каком значении x числа 3x+2, 5x-4, 1x+12 образуют конечную

Из предложенных последовательностей выберите ту, которая является арифметической прогрессией
а) 2; 4;

Найдите сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии, если .
а) 294 а)