Арифметические действия с целыми неотрицательными числами

неотрицательных чисел;

Связь вычитания со сложением;

Свойства вычитания;

Изучение действия вычитание в начальном курсе математики.

Множество No

Умножение

Сложение

Деление

С помощью этих кнопок можно перейти в электронные конспекты по указанным темам.
Для возвращения в данный конспект нажмите .

Выполняя предметные действия, дети оперируют с конкретными множествами и результат вычитания находят как численность дополнения подмножества.

В гараже стояло 5 машин. Уехало 2 машины. Сколько машин осталось в гараже?

В этой задаче речь идет о двух множествах:

А – множество машин, стоящих в гараже в начале. n(A) = 5

В – множество уехавших машин. n(В) = 2

В ⊂ А

Дошкольники, при решении данной задачи, пересчитают оставшиеся машины, то есть они найдут

Запишите это в тетрадь и щелкните мышкой по голубому полю экрана

Например:

численность дополнения подмножества В до множества А .

В начальной школе дети усваивают, что для решения подобных задач можно не пересчитывать оставшиеся предметы, а из численности множества предметов, которые были, вычесть численность множества убранных предметов

Определение 8: Разностью целых неотрицательных чисел a и b называется целое неотрицательное число с, которое является численностью дополнения подмножества В до множества А, где n(A)=а; n(B)=b, В ⊂ А

Числа называются: a – уменьшаемое, b – вычитаемое, с – разность, запись a – b так же называется – разность.

Определение 9: Действие, посредством которого находится разность, называется вычитание.

Для продолжения работы щелкните по управляющей кнопке.

А

В

Запишите это в тетрадь, продолжив предложение.
Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана.

Проверьте себя, щелкнув мышкой по знаку вопроса. При повторном щелчке по этому знаку подсказка исчезнет.
Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана.

Возврат в оглавление

это сделать щелкните мышкой по знаку вопроса. В этом случае советуем Вам записать, как читается это математическое предложение.
Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю

Запишите эти примеры и свой вывод в тетрадь.
Вы можете проверить себя, щелкнув мышкой по соответствующей кнопке.
Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана.

Выполните это задание дома.
Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана.

Выполните это задание.
Вы можете проверить себя, щелкнув мышкой по соответствующей кнопке
Для продолжения работы вернитесь в оглавление.

(∀а,b∈No) (∃!с∈Nо: с = а – b) ⇔ (а ≥ b)

Теорема: Разность целых неотрицательных чисел a и b существует тогда и только тогда, когда a больше или равно b . Эта разность единственна.

В начальной школе дети сталкиваются со случаями невыполнимости действия вычитания на множестве целых неотрицательных чисел.

Понятие разности неотрицательных чисел (продолжение)

Возврат в оглавление

Задание 2: Составьте 3 примера на вычитание, которые не имеют значения на множестве No. К какому выводу об условии выполнимости действия вычитания должны прийти дети?

Сформулированный Вами вывод соответствует теореме об условии существования разности:

Задание 1: Подберите в учебниках математики задание, в котором бы дети результат действия вычитания находили бы как численность дополнения подмножества.

Данная теорема содержит связку тогда и только тогда, когда, которая предполагает верность прямой и обратной теоремы.

Задание 3: Сформулируйте и запишите прямую и обратную теоремы, а так же сформулируйте эту теорему с использованием связки необходимо и достаточно.

Прямая теорема: Если целое неотрицательное число число a больше или равно b, то существует разность чисел a и b.
(∀а,b∈No) (∃!с∈Nо: с = а – b) ⇒ (а ≥ b)
Обратная теорема:Если разность целых неотрицательных чисел a и b существует, то число a больше или равно b .
(∀а,b∈No) (∃!с∈Nо: с = а – b) ⇒ (а ≥ b)
Для того, чтобы существовала разность целых неотрицательных чисел a и b необходимо и достаточно, чтобы число a было больше или равно b .

Для любых целых неотрицатель-ных чисел a и b справедливо утверждение: единственное целое неотрицательное число с, явля-ющееся разностью этих чисел, существует тогда и только тогда, когда a ≥ b

Из одного числа можно вычесть другое, если первое число больше второго.

это сделать, щелкните мышкой по примерам.
В этом случае советуем Вам записать эти рассуждения.
Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана.

Задание3: Сделайте рисунки, которые помогут детям решить данные примеры:
Запишите, как будут рассуждать дети, решая данные примеры без наглядности.

После решения таких троек примеров дети могут заметить, что если от целого (суммы) отнять одну часть (одно слагаемое), то получим другую часть (другое слагаемое). Таким способом дети могут установить связь действия вычитания со сложением.

Для продолжения работы щелкните по управляющей кнопке.

Связь вычитания со сложением

Возврат в оглавление

При ознакомлении с действиями сложение и вычитание младшие школьники находят результат, рассматривая предметные действия с множествами. Например:

В основе такого рассуждения лежит следующее определение понятия «разность»:

Определение 10: Разностью целых неотрицательных чисел a и b называется целое неотрицательное число с, являющееся корнем уравнений а = b + х или а = х + b.

Запишите это в тетрадь и щелкните мышкой по голубому полю экрана

6-2

Задание1: Как могут рассуждать дети, решая примеры с использованием данного рисунка?

В дальнейшем результат действия вычитания находят по следующему правилу:
«Чтобы найти разность можно подобрать такое число, которое, при сложении с вычитаемым, даст уменьшаемое».
При решении конкретных примеров дети это правило заменяют такими рассуждениями:
«Шесть – это 4 и 2, значит если от 6 отнять 4, то получится 2».

Задание 2: Запишите рассуждения детей при решении примера 6 – 2.

8 - 3

5 - 2

7 - 5

9 - 7

К четырем красным треугольникам прибавили два зеленых, всего получилось шесть треугольников. Значит 4 + 2 = 6

4+2

Если от шести треугольников отнять четыре красных, то останется два зеленых. Значит 6 – 4 = 2.

6-4

Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана

и _________. Используя это определение, можно вывести правила нахождения неизвестного числа в этих действиях по известному результату и второму числу.

нахождение неизвестного слагаемого

нахождение неизвестного уменьшаемого;

нахождение неизвестного вычитаемого.

Это правила:

Запишите это в тетрадь, вставив пропущенные названия действий.
Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана.

сложение

вычитание

Сформулируйте и запишите эти правила. Чтобы проверить себя, щелкните мышкой кругу рядом с названием соответствующего правила.
Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана.

Чтобы найти неизвестное слагаемое, достаточно из суммы вычесть известное слагаемое.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, достаточно к разности прибавить вычитаемое.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, достаточно из уменьшаемого вычесть разность.

Ознакомление младших школьников с этими правилами может проводиться при рассмотрении троек равенств. Например, для введения правила нахождения неизвестного слагаемого можно рассмотреть такую тройку равенств:

4 + 2 = 6

6 - 2 = 4

6 - 4 = 2

Эти тройки могут быть даны детям в готовом виде или могут быть получены ими в результате решения взаимно обратных задач. Рассмотрим пример такой работы.

Составьте тройку равенств для рассмотрения правил нахождения неизвестного уменьшаемого и вычитаемого.
Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана.

Для продолжения работы щелкните по управляющей кнопке.

в оглавление

Задача
В автобусе ехало 9 пассажиров.

На остановке вышло три человека.

Сколько пассажиров осталось в автобусе?

?

9 – 3 = 6

После решения этой задачи учитель предлагает детям составить обратные задачи и решить их (условие обратных задач может сформулировать сам учитель).

Запишите условие задачи и ее решение.
Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана.

Составьте две обратные задачи, заменяя известное в первой задаче данное словом «несколько», и решите их . Для проверки и продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана.

Обратная задача 1
В автобусе ехало несколько пассажиров. После того как вышло 3 человека, в автобусе осталось 6 пассажиров. Сколько пассажиров ехало в автобусе?

Обратная задача 2
В автобусе ехало 9 пассажиров. После того как вышло несколько человек, в автобусе осталось 6 пассажиров. Сколько пассажиров вышло?

6 + 3 = 9

9 – 6 = 3

В результате дети получают три равенства:

Проверьте составленные Вами задачи и при необходимости внесите изменения. Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана.

Как называются числа в первом равенстве?

Уменьшаемое, вычитаемое , разность

Как получили уменьшаемое 9?

К разности 6 прибавили вычитаемое 3.

Как получили вычитаемое 3?

От уменьшаемого 9 отняли разность 6.

вычи-таемое

умень-шаемое

раз-ность

Запишите это в тетрадь и щелкните мышкой по голубому полю экрана

После такой беседы дети могут сформулировать правила нахождения неизвестного уменьшаемого и вычитаемого.

Для продолжения работы щелкните по управляющей кнопке.

Запишите вопросы учителя и предполагаемые ответы учеников. Для проверки и продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана.

получится девять.

После ознакомления с правилами нахождения неизвестного числа в действиях сложение и вычитание дети могут решать простейшие уравнения вида:

Связь вычитания со сложением (продолжение)

Возврат в оглавление

Задание: Придумайте свою задачу и обратные ей для введения правила нахождения неизвестного слагаемого. Продумайте иллюстрацию этой задачи.
Запишите вопросы учителя и предполагаемые ответы учеников.

Для продолжения работы вернитесь в оглавление.

Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана.

6 + х = 9

х - 4 = 2

6 - х = 2

Запишите это в тетрадь и щелкните мышкой по голубому полю экрана

Задание: Запишите рассуждения учеников при решении оставшихся уравнений.

Рассуждения учеников при решении уравнения могут быть такими:

6 + х = 9

уравнение содержит действие сложение, значит нам неизвестно 2-ое слагаемое;
чтобы найти 2-ое слагаемое, можно из суммы вычесть 1-ое слагаемое.

мы из суммы 9 вычитаем 1-ое слагаемое 6 и получаем 2-ое слагаемое 3.

х = 9 – 6

х = 3

Младшие школьники знакомятся также с уравнениями, состоящими из двух и более действий. Например:

Задание: Запишите рассуждения учеников при решении этих уравнений. Чтобы посмотреть пример рассуждения, щелкните мышкой по кнопке со знаком вопроса, при повторном щелчке подсказка исчезнет.

(х + 25) + 70 = 220

(х + 15) – 60 = 90

160 - (х + 26) = 89

28 – (15 + х) = 6

(х + 15) – 60 = 90

х + 15 = 90 + 60

х + 15 = 150

х = 150 - 15

х = 135

В данном уравнении последнее действие – вычитание;

Неизвестное содержится в выражении (х + 15), значит нам неизвестно уменьшаемое;

Чтобы найти это уменьшаемое, мы к разности 90 прибавим вычитаемое 60. Получаем 150.

Полученное уравнение содержит действие сложение, значит нам неизвестно 1-ое слагаемое.

Чтобы найти 1-ое слагаемое, мы от суммы 150 отнимем 2-ое слагаемое 15. Получаем 135.

Выполните это задание.
Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана.

(135 + 15) – 60 = 90

150

Проверяем: 135 + 15 = 150; 150 – 60 = 90.

числа из суммы
Вычитание суммы из числа

Запишите это в тетрадь.
Для продолжения работы щелкните мышкой по выделенному свойству. После ознакомления щелкните мышкой по голубому полю экрана.

Задание: Для данных выражений :

39 – 7

43 – 20

50 – 7

43 – 8

30 – 16

Для продолжения работы вернитесь в оглавление.

запишите развернутое решение и найдите значение;
опишите, что с точки зрения определения действия вычитания Вы нашли;
определите какое свойство лежит в основе вычислительного приема;
придумайте задачу, иллюстрирующую данное свойство и запишите все способы решения данной задачи, составлением числовых выражений.

Для ознакомления с организацией работы на уроке по ознакомлению со свойством и приемами вычислений, основанными на этом свойстве щелкните мышкой по оранжевому кругу.
После ознакомления щелкните мышкой по голубому полю экрана.

b и с верно равенство:
(а + b) – с = (а – с) + b =(b – с) + а
(∀а,b, с ∈No) (а ≥ с) ⇒ (а + b) – с = (а – с) + b
(∀а,b, с ∈No) (b ≥ с) ⇒ (а + b) – с = (b – с) + а

Запишите это в тетрадь и щелкните мышкой по голубому полю экрана

Для продолжения работы щелкните мышкой по управляющей кнопке.

В начальной школе знакомство с данным свойством сводится к знакомству с правилом:

Чтобы из суммы вычесть число можно:

Правило «Вычитание числа из суммы» лежит в основе вычислительных приемов вычитания в примерах вида:

Задание:
Запишите развернутое решение каждого примера;
Запишите рассуждения ученика при решении этих примеров.

87 – 40

30 – 4

87 – 4

Чтобы посмотреть пример рассуждения, щелкните мышкой по голубому полю экрана.

87 - 4

Рассуждения ученика:
представляю число 87 в виде суммы разрядных (удобных) слагаемых 80 + 7;

= (80 + 7) - 4

= (7 - 4) + 80

= 3 + 80 = 83

нам удобно из единиц вычитать единицы, поэтому сначала от 7 отнимаю 4, а затем к полученному результату прибавлю 80;

7 отнять 4 – получится 3 и прибавим 80 – получится 83.

Сформулируйте два способа вычитания числа из суммы.
Чтобы проверить себя, щелкайте мышкой по оранжевым кругам.
Для продолжения работы, щелкните мышкой по голубому полю экрана.

это число вычесть из 1-ого слагаемого и к полученному результату прибавить 2-ое слагаемое;

это число вычесть из 2-ого слагаемого и к полученному результату прибавить 1-ое слагаемое.

b и с верно равенство:
а - ( b + с ) = (а – b) - с =(а – с) - b
(∀а,b, с ∈No) а - ( b + с ) = (а – b) - с
(∀а,b, с ∈No) а - ( b + с ) = (а – с) – b

Запишите это в тетрадь и щелкните мышкой по голубому полю экрана

Для продолжения работы щелкните мышкой по управляющей кнопке.

В начальной школе знакомство с данным свойством сводится к знакомству с правилом:

Чтобы вычесть сумму из числа можно

Правило «Вычитание суммы из числа» лежит в основе вычислительных приемов вычитания в примерах вида:

Задание:
Запишите развернутое решение каждого примера;
Запишите рассуждения ученика при решении этих примеров.

60 – 26

75 – 24

42 – 5

Чтобы посмотреть пример рассуждения, щелкните мышкой по голубому полю экрана.

60 - 26

Рассуждения ученика:
представляю число 26 в виде суммы разрядных (удобных) слагаемых 20 + 6;

= 60 – (20 + 6)

= (60 - 20) - 6

= 40 - 6 = 34

нам удобно сначала от 60 отнять 20, а затем от полученного результата отнять 6;

от 60 отнять 20 – получится 40 и отнять 6 – получится 34.

Сформулируйте два способа вычитания суммы из числа.
Чтобы проверить себя, щелкайте мышкой по оранжевым кругам.
Для продолжения работы, щелкните мышкой по голубому полю экрана.

из числа вычесть сначала 1-ое слагаемое и из полученного результата вычесть 2-ое слагаемое;

из числа вычесть сначала 2-ое слагаемое и из полученного результата вычесть 1-ое слагаемое;

с действием вычитание. На этом этапе дети знакомятся:
с записью арифметического действия;
с чтением выражений. Например: 5 – 2: «От пяти отнять два», «Пять минус два»;
Результат действия вычитания на этом этапе находят как численность дополнения подмножества, за исключением случаев вычитания числа 1 (отнять 1 – назвать предыдущее число).

Запишите это в тетрадь и щелкните мышкой по голубому полю экрана

II этап. Изучение приемов вычитания чисел первого десятка. На этом этапе дети:
заучивают наизусть результаты вычитания чисел 2, 3, 4;
знакомятся с названием чисел при вычитании (уменьшаемое, вычитаемое, разность) и со способами чтения выражений. Например: 5 – 2: «Разность чисел 5 и 2», «Уменьшаемое – 5, вычитаемое 2, найти разность»;
изучают прием нахождения результата вычитания, как действия обратного сложению и учатся вычитать числа 5, 6, 7, 8, 9. Например: 9 – 6: «Девять – это шесть и три, следовательно 9 – 6 = 3».

III этап. Изучение приемов вычитания чисел до 20. На этом этапе дети:
знакомятся с приемами нахождения результата действия вычитания, основанными на знании нумерации. Например: 12 – 2: «12 – это 1 десяток и 2 единицы, если вычесть 2 единицы, то останется 1 десяток, следовательно 12 – 2 = 10», аналогично решается пример вида 12 – 10;
13 – 1: «отнять 1 – назвать предыдущее число, перед числом 13 стоит число 12, следовательно 13 – 1 = 12»;
знакомятся с приемами нахождения результата действия вычитания, основанными на правиле Вычитание суммы из числа. Например: 12 – 5: «Нам удобно сначала от 12 отнять 2, получится – 10, а затем отнять 3, получится – 7». После ознакомления с данным приемом, результаты вычитания чисел до 20 заучиваются наизусть.

Для продолжения работы щелкните мышкой по управляющей кнопке.

и щелкните мышкой по голубому полю экрана

IVэтап. Изучение приемов вычитания чисел до 100. На этом этапе дети:
знакомятся с приемами нахождения результата действия вычитания, основанными на знании нумерации. Например: 36 – 6, 36 – 30, 43 – 1 (рассуждения такие же как на III этапе);
знакомятся с приемами нахождения результата действия вычитания, основанными на свойствах «Вычитание числа из суммы» и «Вычитание суммы из числа». Например: 45 – 3; 45 – 30; 35 – 8; 50 – 18; 57 – 13.
знакомятся с алгоритмом письменного вычитания двузначных чисел. Например:
45 – 32; 75 – 35; 56 – 28; 60 – 37.

Для продолжения работы вернитесь в оглавление.

V этап. Изучение приемов вычитания чисел до 1000 и многозначных чисел. На этом этапе дети закрепляют полученные ранее навыки устных и письменных приемов вычитания, основанных:
на знании нумерации. Например: 353 – 53; 353 – 3; 350 – 50; 1000 – 1
на использовании свойств «Вычитания числа из суммы» и «Вычитания суммы из числа». Например: 340 – 230; 234 – 20; 485 – 7;
на знании алгоритма письменного вычитания трехзначных и многозначных чисел. Например: 456 – 234; 234 – 132; 485 – 372; 1000 - 375

Задание: запишите рассуждения учеников при решении каждого из этих примеров;
Для ознакомления с алгоритмом письменного вычитания щелкните мышкой по знаку вопроса

Задание: запишите рассуждения учеников при решении каждого из этих примеров.

со свойством методом неполной индукции. Здесь детям может быть предложена задача, имеющая несколько способов решения, которые иллюстрируют данное свойство. Числа в задаче подбирают так, чтобы все вычисления проходили:
для сложения и вычитания – в пределах десяти;
для умножения и деления – в пределах таблицы умножения;
Нахождение значений выражений удобным способом с применением данного свойства.
Изучение вычислительного приема, основанного на данном свойстве.

В в спортивном зале было 6 футбольных и 4 волейбольных мяча. Для игры взяли 3 мяча. Сколько мячей осталось в зале?

Ознакомление с вычислительными приемами, основанными на использовании свойств арифметических действий

Возврат в оглавление

Запишите это в тетрадь и щелкните мышкой по голубому полю экрана

Задание:
Запишите план решения задачи в каждом способе.
Запишите каждый способ решения, составив выражения.
Запишите рассуждения учеников, которые приведут их к выводу правила «Вычитание числа из суммы».

Например, при изучении вычислительного приема, основанного на правиле «Вычитание числа из суммы» можно, для ознакомления с правилом, предложить детям задачу:

Выполните это задание.
Для продолжения работы щелкните мышкой по управляющей кнопке.

Посмотрите продолжение иллюстрации, подводящее детей к одному из способов решения этой задачи. Для этого щелкайте мышкой по соответствующей кнопке.
При повторном щелчке по этой же кнопке восстановится исходное положение.
Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана.

щелкните мышкой по голубому полю экрана

Полученное правило используют сначала для нахождения значений выражений удобным способом. Например,

34 - 20 = (30 + 4) - 20 = (30 - 20) + 4 = 10 + 4 = 14

Рассуждения ученика:
представляю число 34 в виде суммы разрядных (удобных) слагаемых 30 + 4;
нам удобно от десятков отнимать десятки, поэтому сначала от 30 отнимем 20, а затем к полученному результату прибавим 4;
30 отнять 20 – получится 10 и прибавим 4 – получится 14.

Затем вводят вычислительный прием, основанный на данном свойстве:

Задание:
Найдите в данном рассуждении правило, которым дети заменяют сложную для них формулировку правила «Вычитания числа из суммы» и подчеркните ее.
Проговорите рассуждения учеников при решении примеров удобным способом, используя там, где это необходимо, данную формулировку.

Выполните это задание.
Для продолжения работы щелкните мышкой по управляющей кнопке.

(80 + 7) - 20

(70 + 9) - 7

(12 + 3) – 4

разряды находились друг под другом;

Если цифра уменьшаемого больше цифры вычитаемого, то произведите вычитание.
Если цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого, то займите одну единицу у следующего разряда. Эта единица составляет 10 единиц данного разряда. Прибавим к десяти имеющиеся единицы данного разряда и произведем вычитание.
Если в следующем разряде нет единиц, то займите единицу в ближайшем слева разряде, в котором есть единицы. Переведите занятую единицу в 10 единиц стоящего справа разряда и займите из них одну, для следующего справа разряда. Поступайте так, пока не дойдете до разряда, в котором производится вычитание. Прибавим к десяти имеющиеся единицы данного разряда и произведем вычитание.
Полученный результат запишите в ответ в соответствующий разряд.

2. Вычитайте, начиная с единиц первого разряда.

3. Повторяйте те же действия со всеми разрядами числа. При этом необходимо учитывать занятые единицы, уменьшая на единицу цифру уменьшаемого, если из данного разряда занимали.
4. Вычитание считается законченным, когда произведены вычисления со всеми разрядами, содержащимися в вычитаемом.

Запишите это в тетрадь и щелкните мышкой по голубому полю экрана

Для продолжения работы щелкните мышкой по управляющей кнопке.