Частные случаи пересечения поверхностей второго порядка

Частные случаи пересечения поверхностей второго порядка

При пересечении поверхностей второго порядка линией

Некоторые частные случаи взаимного пересечения поверхностей второго порядка, когда линиями их

Точки пересечения главных меридианов сферы и тела вращения 1 и 2

Пересечение поверхностей вращения методом концентрических сфер-посредников

Условия применимости метода концентрических сфер-посредников:
Обе пересекающиеся поверхности

Определение рабочей зоны сфер-посредников

Центр сфер выбирается в месте пересечения осей искомых

Метод концентрических сфер Определение минимальной сферы

Рис.1 Рис. 2 Рис. 3

Рис. 1

Пересечение поверхностей вращения
методом концентрических сфер

Задача: Определить линию пересечения конуса и цилиндра
Решение:

Определяем радиус минимальной сферы (должна коснуться обеих поверхностей или коснуться одной

Минимальная сфера, вписанная в конус, касается конуса по окружности радиуса R1
и

На плоскости П1 находим горизонтальные проекции 31 и 41 по линии

Задаем сферу произвольного радиуса, больше минимальной, но меньше максимальной. Она рассекает

Соединяем построенные точки между
собой с учетом видимости.
Линия пересечения поверхностей
проходит через

S

Пересечение прямого кругового конуса с
вершиной в точке S и сферы

S

Рассмотрим метод плоскостей-посредников на примере данной задачи в аксонометрии

O

П1

°

О1

S1

1

Первую плоскость –посредник

S

главный меридиан сферы- очерковая окружность, главный меридиан конуса- очерковые образующие (треугольник)

S

Далее будем рассекать обе поверхности горизонтальными плоскостями-посредниками

O

П1

°

Например, взяв плоскость 2, параллельную

S

Повторим операцию с горизонтальными плоскостями-посредниками, взяв плоскость 3 выше плоскости №2

O

П1

°

получим

S

Повторим операцию с горизонтальными плоскостями-посредниками, взяв плоскость 4 ниже плоскости №2

O

П1

°

получим

S

Соединим найденные точки и получим линию пересечения двух искомых поверхностей

O

П1

°

О1

S1

2

°

3

4

°

3

°

7

°

8

°

5

°

°

2

6

1

°

°

4

S

O

П1

°

О1

S1

1
Пересечение прямого кругового конуса с вершиной в точке S и сферы

S

главный меридиан сферы- очерковая окружность, главный меридиан конуса- очерковые образующие

O

П1

°

Получим

На эпюре рассмотрим решение задачи на плоскости П2:
Проекции точек 12 и

Т.к. обе поверхности являются поверхностями вращения, они соосны и оси обеих

Выбираем зону действия сфер-посредников.
R min – расстояние от (.)S2 до

Rmax –расстояние от центра сферы-посредника до самой дальней точки накладки главных

Вводим произвольную сферу – посредник радиуса R1.
Строим сечения сферы – посредника

Вводим произвольную сферу – посредник радиуса R2.
Строим сечения сферы – посредника

Вводим произвольную сферу – посредник радиуса R3.
Строим сечения сферы – посредника

Соединим найденные точки 1-8, принадлежащие обеим искомым поверхностям. Получим линию пересечения

Поверхности конуса и цилиндра с общей фронтальной плоскостью симметрии касаются сферы

Эта закономерность имеет важное значение при проектировании различных архитектурных форм и

Задача 10.11 стр.60
Построить проекции линии пересечения конуса вращения с параболоидом

1-ую плоскость- посредник проведем через плоскость симметрии поверхностей (по главным меридианам).
В

2. Проверяем, можно ли еще взять вертикальные плоскости-посредники, параллельные П2. В

4. Проверяем, можно ли еще использовать горизонтальные плоскости - посредники. В

5. Проверяем возможность применения метода концентрических сфер-посредников:
Обе пересекающиеся поверхности являются

6. Определяем минимальный радиус сферы:
проводим касательно к конусу сферу

7. Определяем максимальный радиус сфер – посредников. Он равен наибольшему расстоянию

8. Т.к. минимальная сфера является соосной с искомыми поверхностями, определяем общие

Точки 7 и 8: фиксируем фронтальную проекцию 72 и 82 на

9.Сфера максимального радиуса пересекает параболоид по двум параллелям и конус по

Рассмотрим отдельно пример с использованием сферы-посредника произвольного радиуса. Для определения промежуточных

Определяем общие параллели сферы посредника и конуса.
На П2 окружности проецируются

Определяем общие параллели сферы- посредника и параболоида вращения.
На П2 окружности проецируются

Находим фронтальные проекции точек пересечения полученных параллелей
92 ≡ 102,

Для определения горизонтальных проекций найденных точек построим на П1 окружность радиусом

Строим горизонтальные проекции 91 , 101, 111 , 121.
Т.к. точки

Таким образом, в результате применения промежуточной сферы-посредника радиусом R4, были найдены

Вернемся к первоначальному чертежу

2

2

1

2

2

1

Для определения дополнительных точек в нижней части конуса вводим
сферу -

Для уточнения линии пересечения (перехода) в верхней части конуса построим сферу

Построим общие параллели сферы-посредника и искомых поверхностей. Найдем общие точки полученных

Построим горизонтальные проекции этих точек 151 и 161, они лежат на

Соединим полученные точки, получим две линии перехода конуса и параболоида вращения

R7

1

2

Пересечение поверхностей вращения методом эксцентрических сфер

Метод эксцентрических сфер применяется в том случае,

Задача 10.9 в) стр. 58:
Построить линию пересечения тора с прямым

1. Проведем плоскость –посредник №1 по плоскости симметрии двух поверхностей. В

2. Далее применим метод эксцентрических сфер - посредников. Через ось тора

Радиус сферы R1- расстояние от центра (.)К2 до точек пересечения плоскости

Определим пересечение сферы-посредника с цилиндром – окружность, перпендикулярная оси цилиндра.
Находим

На П1 горизонтальные проекции точек 31 и 41 находятся на проекции

Задаем следующий срез по тору. Проводим через ось тора (.)О2 плоскость

Проводим сферу –посредник радиусом R2

2

2

●

●

Находим пересечение построенной сферы с цилиндром и определяем точки 52 ≡

Повторяем операцию, разрезав тор плоскостью 4 (42) и построим сферу с

Строим срез третьей сферой по цилиндру. Находим фронтальные проекции точек взаимного

На П1 горизонтальные проекции точек 71 и 81 находятся на проекции