Численное решение систем нелинейных уравнений СНУ

Сентябрь 14, 2022

Главная
Математика
Численное решение систем нелинейных уравнений СНУ

Содержание

2. Общий вид СНУ где F – функции нескольких переменных, х – неизвестные n –порядок системы
3. Методы решения СНУ: 1. Прямых методов для решения СНУ не существует. 2. Итерационные методы. Методы являются
4. Метод Зейделя (метод простых итераций) Ограниченный круг СНУ Исходные данные: Fi(x1, x2,…, xn) Х(0) Е
5. Требование Функции Fi(x1, x2,…, xn) должны быть непрерывны в окрестности точки истинного решения Х и точки
6. Метод Зейделя на примере СНУ 3-го порядка Из 1-го уравнения выражаем неизвестное х1. Из 2-го уравнения
7. Получим новую систему: 2. В правую часть 1-го уравнения подставляем начальные приближения неизвестных х2(0) и х3(0).
8. 5. Далее рассчитывается разность между значениями начальных приближений и уточненными значениями неизвестных. Если то считается, что
9. ЗАМЕЧАНИЕ Метод Зейделя применим, если неизвестные из соответствующих уравнений можно выразить в явном виде. Метод Зейделя
10. Примеры:
11. Метод Ньютона для решения СНУ Основа: разложение функций в ряд Тейлора относительно значений начальных приближений неизвестных.
12. Для реализации метода Ньютона необходимо задать следующие данные: 1. Выражения для функций F1, F2 ,…, Fn
13. Требование Функции Fi(x1, x2,…, xn) должны быть непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки истинного решения Х
14. Метод Ньютона на примере СНУ 3-го порядка Задано: x10, x20 и x30. Истинное решение системы: x1,
15. F1, F2 и F3 разлагаются в ряд Тейлора. Члены, содержащие производные старше первого порядка отбрасываются. Преобразуем
16. Получим систему линейных алгебраических уравнений: Неизвестные - Δx1, Δx2 и Δx3, Вектор-столбец свободных членов – F1,
17. СЛАУ решается любым известным методом (метод Гаусса, метод Крамера), получаем значения неизвестных Δx1, Δx2 и Δx3
18. Если полученные значения Δx1 и Δx2 и Δx3 по модулю оказались менее заданной точности Е, то
19. Блок-схема метода Ньютона в общем виде
20. Блок-схема метода Ньютона для частного случая - системы 2 порядка
22. Скачать презентацию

Слайд 2

Общий вид СНУ
где F – функции нескольких переменных,
х –

неизвестные
n –порядок системы

Слайд 3

Методы решения СНУ:
1. Прямых методов
для решения СНУ не существует.
2. Итерационные

методы.
Методы являются неустойчивыми, однако точность полученного решения определяется пользователем.

Слайд 4

Метод Зейделя (метод простых итераций)
Ограниченный круг СНУ
Исходные данные:
Fi(x1, x2,…, xn)
Х(0)
Е

Слайд 5

Требование
Функции Fi(x1, x2,…, xn) должны быть непрерывны в окрестности точки истинного

решения Х и точки начального приближения Х(0)

Слайд 6

Метод Зейделя на примере СНУ 3-го порядка
Из 1-го уравнения выражаем неизвестное

х1.
Из 2-го уравнения выражаем неизвестное х2.
Из 3-го уравнения выражаем неизвестное х3.

Слайд 7

Получим новую систему:
2. В правую часть 1-го уравнения подставляем начальные приближения

неизвестных х2(0) и х3(0). Получаем уточненное значение неизвестного х1(1).
3. В правую часть 2-го уравнения подставляем начальное приближение неизвестного х3(0) и уточненное значение х1(1). Получаем уточненное значение неизвестного х2(1).
4. В правую часть 3-го уравнения подставляем уточненные значения неизвестных х1(1) и х2(1). Получаем уточненное значение неизвестного х3(1).

Слайд 8

5. Далее рассчитывается разность между значениями начальных приближений и уточненными значениями

неизвестных.
Если то считается, что значения х1(1)., х2(1)., х3(1) являются решением данной системы. В противном случае эти значения принимаются за начальное приближение и процесс повторяется.

Слайд 9

ЗАМЕЧАНИЕ
Метод Зейделя применим, если
неизвестные из соответствующих уравнений можно выразить в явном

виде.
Метод Зейделя для решения СНУ не является универсальным.

Слайд 10

Примеры:

Слайд 11

Метод Ньютона для решения СНУ
Основа: разложение функций в ряд Тейлора относительно

значений начальных приближений неизвестных.
Затем применяется линеаризация системы.

Слайд 12

Для реализации метода Ньютона необходимо задать следующие данные:
1. Выражения для функций

F1, F2 ,…, Fn в аналитическом виде.
2. Выражения для частных производных функций F1, F2 ,…, Fn по каждому аргументу в аналитическом виде.
3. x10, x20,…, xn0.
4. Е.

Слайд 13

Требование
Функции Fi(x1, x2,…, xn) должны быть непрерывны и дифференцируемы в окрестности

точки истинного решения Х и точки начального приближения Х(0)

Слайд 14

Метод Ньютона на примере СНУ 3-го порядка
Задано: x10, x20 и x30.
Истинное

решение системы: x1, x2 и x3.
Разность:
Δx1=x1-x10, Δx2=x2-x20, Δx3=x3-x30

Слайд 15

F1, F2 и F3 разлагаются в ряд Тейлора. Члены, содержащие производные старше

первого порядка отбрасываются.

Преобразуем систему.

Слайд 16

Получим систему линейных алгебраических уравнений:
Неизвестные - Δx1, Δx2 и Δx3,
Вектор-столбец

свободных членов – F1, F2 и F3 в точке начального приближения,
Коэффициенты - производные функций F1, F2 и F3 по неизвестным x1, x2 и x3 в точке начального приближения.

Слайд 17

СЛАУ решается любым известным методом (метод Гаусса, метод Крамера), получаем значения

неизвестных Δx1, Δx2 и Δx3
x1, x2 и x3 рассчитываются по формулам:
x1=x10+Δx1, x2=x20+Δx2, x3=x30+Δx3

Матрица Якоби
(Якобиан)

Слайд 18

Если полученные значения Δx1 и Δx2 и Δx3 по модулю оказались

менее заданной точности Е, то считается, что рассчитанные значения x1, x2 и x3 являются решением данной системы нелинейных уравнений.
Если хотя бы одно из значений Δx1, Δx2, Δx3 по модулю оказалось выше заданной точности Е, то рассчитанные значения x1, x2 и x3 принимаются в качестве нового начального приближения и процесс повторяется.

Слайд 19

Блок-схема метода Ньютона
в общем
виде

Слайд 20

Численное решение систем нелинейных уравнений СНУ

Содержание

Общий вид СНУ где F – функции нескольких переменных, х –

Методы решения СНУ:1. Прямых методов для решения СНУ не существует.2. Итерационные

Метод Зейделя (метод простых итераций)Ограниченный круг СНУИсходные данные:Fi(x1, x2,…, xn)Х(0)Е

ТребованиеФункции Fi(x1, x2,…, xn) должны быть непрерывны в окрестности точки истинного

Метод Зейделя на примере СНУ 3-го порядкаИз 1-го уравнения выражаем неизвестное

Получим новую систему:2. В правую часть 1-го уравнения подставляем начальные приближения

5. Далее рассчитывается разность между значениями начальных приближений и уточненными значениями

ЗАМЕЧАНИЕМетод Зейделя применим, еслинеизвестные из соответствующих уравнений можно выразить в явном

Примеры:

Метод Ньютона для решения СНУОснова: разложение функций в ряд Тейлора относительно

Для реализации метода Ньютона необходимо задать следующие данные:1. Выражения для функций

ТребованиеФункции Fi(x1, x2,…, xn) должны быть непрерывны и дифференцируемы в окрестности

Метод Ньютона на примере СНУ 3-го порядкаЗадано: x10, x20 и x30.Истинное